B样条曲线曲面特殊形状的构造原理与方法

维普资讯 http://www.cqvip.com 第１３卷第３期　２００７年　９月　湖南环境生物职业技术学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ—Ｂｉｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｖｏ１．１３　Ｎｏ．３　Ｓｅｐｔ．　２００７　文章编号：１６７１—６３６１（２００７）０３—００４５—０４　Ｂ样条曲线曲面特殊形状的构造原理与方法　贺志民　（浙江林学院理学院，浙江杭州３１１３００）　摘要：在曲线曲面的设计中，经常遇到特殊形状的设计，如直线中插入尖点和直线段，曲面中插入棱线和直　纹面，这些简单重型值点方法来实现，但若在曲面中夹尖点，平面片和棱角仍存在较大困难，而这些特殊形状　在曲面设计中又经常用到，本文通过巧妙地构造型值点阵，得到了夹平面片，尖点和棱角的３次Ｂ样条曲面　的构造原理与方法．图８，参６．　关键词：平面片；尖点；棱角　中图分类号：ＴＰ３９１　文献标识码：Ａ　在曲线曲面的设计中，常常要作一些特定的　形状要求，例如在曲线夹有尖点和直线段，或曲面　夹有棱角和直纹面，这些都可通过重型值点方法　来实现　】，但若在曲面中夹人尖点，平面片和棱　角仍存在困难　Ｊ，而这些特殊形状在曲面设计中　又经常用到，本文给出了它们的构造原理与方法，　由于它们与曲线中尖点和直线段，曲面中棱线和　直纹面的构造相互关联，因此文中一并加以介绍．　＝ｔ…，此时，基函数　－３．４（ｔ），Ｎｉ－２．４（ｔ），Ｎ　，４　（ｔ）的支承区问将减少２个，Ｎｉ＿４．　（ｔ），　，　（ｔ）的　支承区问将减少一个，如图１所示．　１　曲线中尖点和直线段的构造原理　与方法　１．１尖点的构造　当型值点列｛Ｑ　｝　：。∈　中置Ｑ　＝Ｑ　＝　Ｑ…时，由累加弦长公式计算节点矢量有：ｔ　＝ｔ　图１一个３重节点的Ｂ样条基　Ｆｉｇ．１　Ａ　Ｂ—ｓｐＨｎｅ　ｂａｓｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ａ　３一ｍｕｌｔｉ　ｋｎｏｔ　　）＝１，故有　显然在ｔｉ处只有Ｎｉ＿２．　（ｔ）非零，且Ｎ　（ｔＰ（ｔ　）＝Ｎｉ－２，４（ｔ　）Ｐ　＝Ｑｉ　，　Ｐ　（ｔｉ－）＝Ｐ　（ｔｉ－１－　ｉ　）等　＝　（Ｐｉ－Ｐｉ－１）ｌ（Ｐｉ－Ｐｉ－１）　Ｐ　（ｔｉ＋）＝Ｐ　（ｔ…＋）ｌｌ（Ｐ…一Ｐｉ）　即Ｐｉ＝Ｑｉ，且Ｐ　Ｐ　，Ｐ　Ｐ…皆与曲线相切．　无重点情况下３次Ｂ样条是ｃ２连续的，且节　收稿日期：２００７—２一ｌ１　基金项目：浙江省教育厅自然科学基金资助项目（编号：２００６０６７６）。　作者简介：贺志民（１９６６一），男，湖南常宁人，副教授，研究方向：智能计算与计算机图形学　维普资讯 http://www.cqvip.com 湖南环境生物职业技术学院学报　２００７年９月　点的重数每增加１，节点处的连续阶就降低１阶，此　时节点的重复度为３，于是在Ｐ（ｔ　）即Ｑｉ处曲线的　连续阶降为０，即只有曲线连续，切线不连续，因而　在Ｑｉ间形成直线，如图２所示．　Ｑｒ．Ｊ＝Ｑｒ＝　＋　图２　夹尖点的插值曲线设计　Ｆｉｇ．２　Ａ　ｃｕｒｖｅ　ｉｎｓｅｒｔｅｄ　ｗｉｔｌｌ　ａ　ｃｕｓｐ　１．２直线段的构造　型点点列｛Ｑ　｝ｍ　ｎ　Ｊ；。∈　。中置Ｑ　＝Ｑ　时，　有：ｆ　＝ｔ　，３次　样条基本函数　－４＇　（ｔ），Ｎｉ－３Ｉ　（ｔ），Ⅳｆ－２．　（ｆ），　－１．　（ｆ）的支承区间将减少一个，　如图３所示．　图３一个二重节点的Ｂ样条基　Ｆｉｇ．３　Ａ　Ｂ—ｓｐｌｉｎｅ　ｂａｓｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｌｌ　ａ　２一ｍｕｌｔｉ　ｋｎｏｔ　在ｔ　处只有两个基函数非零，且　（ｔ　）　＋　－２＿４（ｔｆ）＝１．　ｆ　－３Ｉ４（　）　一ｌ＋　一２．４（ｔ　）Ｐ　＝Ｑｆ　ｊＩ　Ｐ　一）＝＿　『＿（Ｐ　一Ｐ　）ＩＩ（Ｐｉ—Ｐ　）　Ｌ　ｉ＋１　一２　即Ｐ　，Ｑ　，Ｐ　共线，且Ｐ　，Ｐ　在Ｑ　处与曲线　相切，该点处切线连续，而曲率不连续，单个的二　重点给曲线形状带来的影响并不是很直观　，　因此在构造复杂曲线时用得不多，但在复杂曲面　中可用于构造棱线，详见下一节．　在曲线的设计中，二重点主要用于在两个连　续的二重点间构造直线段．即当型值点列｛Ｑ　｝　：。　∈　中置Ｑ　＝Ｑ；，＝Ｑ…＝Ｑｍ时，有：ｔ　＝　ｔ；，ｔ…＝ｔ１＋２相关基函数　＿４．４（ｔ），Ｎ　．４（ｔ），Ｎ“　（ｔ），Ｎ…。　（ｔ）的支承区间将减少一个，Ⅳ　．　（ｔ），　（ｆ）的支承区间将减少两个，如图４所示　图４两个连续的二重节点的Ｂ样条基　Ｆｉｇ．４　Ａ　Ｂ—ｓｐｌｉｎｅ　ｂａｓｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｔｗｏ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　２一ｍｕｌｔｉ　ｋｏｎｔｓ　在ｔ；，ｔ…处分别只有两个基函数非零，且　－３．４（ｔ　）＋　－２Ｉ４（ｔｆ）＝１；　－１．４（ｔ…）＋Ⅳｆ，４　（ｔｆ＋１）＝１；　－３，４（　）Ｐｉ一。＋　－２，４（　）Ｐｉ＝ＱＩ　一ｌ－４（　＋１）Ｐｉ＋ｌ＋　－２，４（ｆｆ）　＋２：Ｑｉ＋ｌ　Ｐ，（　＋。）＝　（　＋　一Ｐｉ＋。）０（　＋　一　＋。）　＋３　ｉ　Ｐ，（　）＝『＿　（　一Ｐｉ一。）ＩＩ（Ｐｉ—Ｐｉ一。）　即Ｐ　Ｐ　，Ｑ　，Ｑ…，Ｐ…，Ｐｍ皆共线，曲线在　Ｑ　，Ｑ…处均为Ｃ　连接，因而在Ｑ　Ｑ…间形成直　线，如图５．　图５夹直线的曲线设计　Ｔａｂ．５　Ａ　ＣＵ＿ｒＶｅ　ｉｎｓｅｒｔｅｄ　ｗｉｔｌｌ　ａ　ｌｉｎｅ　ｓｅｇｍｅｎｔ　２　曲面中棱线，直纹面，棱角及平面　片的构造原理与方法　已知拓扑型值点阵｛Ｑ　｝　ｍｎ　Ｊ：。∈　。中，要构　造一张双３次Ｂ样条曲面插值这些数据点，采用　４个角点处节点矢量取为三重节点的办法，使数　据点阵四角的数据点成为整张曲面的４个角点，　使其它数据点成为对应的相邻曲面片的公共角　点，每一排数据点位于曲面的一条等参数线上，由　反求控制顶点算法知，可建立未知控制顶点　　．＝０，１，…ｒ／ｔ＋２，　＝０，１，…，　＋２的线性方程组，　求解过程化为两个阶段的曲线反求控制顶点问　题．待求的双３次Ｂ样条曲面方程为：　肌＋２ｎ＋２　Ｐ（Ｍ，Ｗ）＝２　ｏ　２ｏＮ　ｕ）Ｎ　ｗ）Ｐ　（　（　＝维普资讯 http://www.cqvip.com 第１３卷第３期　贺志民：Ｂ样条曲线曲面特殊形状的构造原理与方法　４７　，　（　）Ｐ　Ｊ　，　（　）　形成一条棱线，　向的控制多边形和截面曲线如　图６（其中“．”表示控制顶点，“　”表示型值点，　虚线表示截面曲线或控制曲线，实线表示控制多　边形），从图中可以清晰的看到：第　行的每一个　ｎ＋２　令Ｐ　（　）＝　』　，４（　）Ｐ　，　＝０，１，…，ｍ＋２，　ｍ＋２　得：Ｐ。（　，　）＝∑Ｐ。（　）Ｎｉ．　（　）这样相当于曲线　问题中控制顶点被控制曲线Ｐ　（　）所代替，若固　定一参数值　，就给出了在这些控制曲线上ｍ＋３　个点Ｐ　（　），　０，１，…，ｍ＋２，而这些点又作为控　型值点都与它两旁的控制顶点共线，截面曲线在　该点与控制多边形相切．　若型值点阵｛Ｑ　｝　ｉ＝　０Ｊ：。＝０∈　中，第如行　制顶点就定义了曲面上以　为参数的等参数线，　当参数　取遍整个定义域时，就描述了整张曲　面，并且其中有ｎ＋１条插值给顶的数据点，每一　条插值数据点阵的一列数据点．这ｎ＋１条等参数　线称为截面曲线－６　Ｊ，分别对这些截面曲线反求控　制顶点Ｐ“，　＝０，１，…，ｍ，　＝０，１，…，ｎ＋２，则　ｍ＋２　～　ｓｉ（　＋３）＝ＬＮ，，４（　＋３）．ＰｉＪ＝Ｑ　Ｊ，　＝０，１，…，ｍ，　Ｊ＿＝０，１，…，ｎ，一张以这些截面曲线为它的等参数　线的曲面，需要一组控制曲线来定义截面曲线的　控制顶点Ｐ　（　）＝Ｐ　，　０，１，…，ｍ＋３，　＝０，　１，…，ｎ．以型值点Ｑ　的　参数值　，　＝０，１，　…，ｎ为控制曲线节点，问题转化为ｍ＋３条曲线　的反求控制顶点问题：　ｎ＋２——　，４（　＋３）Ｐ　＝Ｐ　＝０，１，…，ｎ，Ｊ＿：０，　１，…，ｍ＋２；　解这些方程组，得到所求Ｂ样条曲面的（ｍ＋　３）Ｘ（ｎ＋３）个控制顶点Ｐ　，　＝０，１，…，ｍ＋２，　＝０，１，…，ｎ＋２．其构造过程完全与以上所述相　同，分两步进行，第一步求得截面曲线及其控制多　边形，第二步求得控制曲线及其控制多边形，从而　得出控制网格，它与型值点一起唯一界定了所求　的双３次Ｂ样条曲面．因此在构造复杂曲面时，　只需按照具体要求考虑两个参数方向的截面曲线　及控制曲线使它们分别满足要求即可．下面详细　介绍复杂曲面中棱角、直纹面、尖点、棱角、平面片　的构造方法．　２．１棱角、直纹面的构造　若值点阵｛Ｑ　，｝　ｉ＝　０　。∈　中，第ｉ。行元素为　二重点，既Ｑ　Ｊ＝Ｑ　Ｊ，（Ｊ＿＝０，１，…，ｎ），则　向　的ｎ＋１条截面曲线中每一条都将在相应点　Ｑ　√，（　＝０，１，…，ｎ）处ｃ　连续，每个　＿Ｉ　．，　Ｑ　．１．，，（　＝０，１，…，ｎ）对应的控制顶点Ｐ　：　，　Ｐ¨，（　＝０，１，…，ｎ）将与Ｑ　－　共线，且Ｐ　，　Ｐ　．Ｊ在Ｑ￣ｏ－１ｊ处截面曲线相切，而ｕ向由于无重　型值点控制曲线仍保持ｃ　连续，这样由截面曲　线、控制曲线、型值点阵唯一确定的曲面使在第ｉ。　和第芘＋１行都为二重点，即Ｑ　＝Ｑ　ｆ，且　Ｑ¨　＝Ｑ　＋２ｊ，（Ｊ＝０，１，…，ｎ），此时　向的ｎ＋１　条截面曲线中每一条都将在Ｑ　ｆ，Ｑ”　处ｃ　连　续，相应控制顶点Ｐ　一ｌＪ，Ｐｉｏｊ　Ｐ　＋ｌＪ，Ｐ　＋２Ｊ，（＿，＝　０，１，…，ｎ）都在直线Ｑ　，Ｑ　＋ｌ１ｆ上，ｎ＋１条线段　Ｑ¨Ｑ　，　分别被光滑嵌人截面曲线，而　向控制　曲线仍Ｃ　连续，这样曲面便在第　行与第芘＋１　行之间形成直纹面，　向控制多边形和截面曲线　的情形与夹棱线曲面类似（即图６所示）．　图６　夹棱线曲面的控制多边形及截面曲线　Ｔａｂ．６　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｐｏｌｙｇｏｎ　ａｎｄ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ｃｕｒｖｅｓ　ｏｆ　ｌｔｎ　ｌｉｎｅ—　ｉｎｓｅｒｔｅｄ　Ｂｕｒ［ａｃｅ　２．２尖点、棱角、平面片的构造　若型值点阵｛Ｑ　｝　ｉ＝　０　。∈　中，在两个方向　都为三重点，即Ｑ　Ｊ＝Ｑ　，（　＝芘一１，如＋１），这　样将在　和　两个方向分别有三条截面曲线或　控制曲线在Ｑ　处ｃｔＪ连续，并且每条曲线都有　一个控制顶点通过点Ｑ　两旁的其他两个顶点　与Ｑ　的连线分别与截面曲线或者控制顶点相　切，因此曲面在该点形成尖点，　的控制多边形和　控制曲线如图７所示，Ｑ　是三个控制多边形的　共同顶点，对应的三条截面曲线也通过该点，并且　该点与它邻近的控制顶点所在的直线通过下一个　型值点，这样尖点周围不会出现非正则曲线，　向　与之相同．　若型值点阵｛Ｑ　ｉ＝　０Ｊ＝０∈　中，Ｑ　以及　Ｑｉｏ，Ｊｏ＋１都是两个方向上的二重点，即Ｑ　『．』０一　＝　Ｑ　一ｌ　＝Ｑ【０ＩＪｏ一１＝Ｑ　Ｊｏ，且Ｑｉ０－Ｉ　Ｊｏ＋Ｉ＝Ｑ　一Ｉ、Ｊｏ＋２＝　Ｑ　加＋　＝Ｑ　加　，则这实际上相当与　向ｉｏ一１的　第ｉ。＋１条截面曲线都分别通过单个二重型值　维普资讯 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４８　湖南环境生物职业技术学院学报　２００７年９月　点，因而Ｃ　连续，并且控制多边形及截面曲线与　夹棱线时Ｗ向情相同；而ｕ向第ｉ。一１和第ｉ。条　控制曲线在Ｑ　处重合，都被光滑地嵌入直线段　ＱｉｏＪｏＱ　『０＋。，该方向上的控制多边形和控制曲线　如图８，有４个控制顶点在直线Ｑ　Ｑ　『０＋　上，两　个控制多边形和两条控制曲线在这两点间重合，　从而整个曲面在Ｑｉｏ，ＪｏＱ　『０＋　形成棱角．　Ｑ如一ｌ痂一１　Ｑ　０—１　＋１　＝＝　一１　＝Ｑ￣ｏＪｏ一１＝Ｑ￣ｏＪｏ　一１　＋２＝ＱｉｏＪｏ＋１＝Ｑ￣ｏＪｏ＋２　　＝Ｑｌ０＋２，ｋ一１＝Ｑ　＋２，ｋ　Ｑ　＋１　一１　Ｑ　＋１０＋１，ｋ＋２＝Ｑ　＋２痂＋１＝Ｑ　＋２而＋２　Ｑ　０＋１而＋１　Ｑｌ＝则Ｗ向的第ｉ。一１及ｉ。条截面曲线被光滑嵌　入直线ＱｉｏＪｏＱ　＋１第ｉ０＋１及ｉ０＋２条截面曲线　被光滑嵌入直线Ｑ　Ｊ０Ｑ　＋　Ｊ０＋　，而ｕ向的第　一　１及矗条控制曲线被光滑嵌入直线段Ｑ　『０　Ｑ　『ｎ＋　，第　＋１及　＋２条控制曲线被光滑嵌入　直线段Ｑ　＋　Ｊ０Ｑ　＋　＋　，并且在这４个相邻点都为　Ｃ　连续，因而在４点ＱｉｏＪｏＱ　Ｊ０＋　Ｑｉｏ＋ｌＪｏＱ　＋１　Ｊ０＋１间　形成平面片．两个方向上的控制多边形及控制　（或截面）曲线都与夹棱角曲面中的　向情形类　似．　图７　夹尖点曲面的控制多边形及截面曲线　Ｔａｂ．７　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｐｏｌｙｇｏｎ　ａｎｄ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ＣＵｎ￣＇ｅｓ　ｏｆ　ａ　ｃｕｓｐ—　ｉｎｓｅｒｔｅｄ　ｓｕｒｆａｃｅ　参考文献：　［１］朱心雄．自由曲线曲面造型技术［Ｊ］．北京：科技出版　社，２０００．　若型值点阵｛Ｑ　Ｊ｝　Ｊ：。∈　向的二重点，即　中，Ｑ　Ｊ０，　［２］姚傲秋，周儒荣，丁秋株复杂组合曲线的设计与拟合　——重节点Ｂ样条法［Ｊ］．航空学报，１９８４，１（１）：３４—　Ｑ　。Ｊ０＋　，Ｑ　＋。Ｊ０，Ｑ　＋　Ｊ０＋　四个相邻点都是两个方　３８．　［３］施法中．计算机辅助几何设计与非均匀有理Ｂ样条　［Ｂ］．北京：航空航天大学出版社，１９９４．　［４］ＣｈｅｎＱＹ，ＷａｎｇＧＺ．Ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆＢｅｚｉｅｒ—ｌｉｋｅ　ｃｕ￣ｅｓ［Ｊ］．　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｉｄｅｄ　Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　Ｄｅｓｉｇｎ，２Ｏ０３，ｚ０（３）：２９—３９．　［５］Ｄｅｎｇ　Ｃ　Ｓ．，Ｗａｎｇ　Ｇ　Ｚ．Ｏｎ　ｏｎｖＣｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆｔｈｅ　ｏｎｔＣｒｏｌ　Ｐｏｌｙ－　ｇｏｎｓ　Ｓｅｒｉｅｓ　０ｆ　Ｃ—Ｂｅｚｉｅｒ　Ｃｕｒｖｓ［Ｊ］．ＧＭＰ，ｅ２０Ｏ４（１）：４９—　５５．　［６］方美娥，满家巨，汪国昭，等．重型值点阵的样条插值　统一求解算法［Ｊ］．高校应用数学学报，２００６，２１　图８　夹棱角曲面的控制多边形及截面曲线　Ｔａｂ．８　Ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｐｏｌｙｇｏｎ　ａｎｄ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ＣＵｎ￣＇ｅｓ　ｏｆ　ａｎ　ａｒ＿　ｒｉｓｅ—ｉｎｓｅｒｔｅｄ　ｓｕｒｆａｃｅ　（１Ｏ）：９５—１０４．　Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ　ａｎｄ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｎ　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　Ｓｐｅｃｉａｌ　Ｓｈａｐｅｓ　０ｆ　Ｂ—ｓｐｌｉｎｅ　Ｃｕｒｖｅｓ　ａｎｄ　Ｓｕｒｆａｃｅｓ　ＨＥ　Ｚｈｉ—ｍｉｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｆｏｒｅｓｔｒｙ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ　３１１３００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｈｅｎ　ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ　ＣＨＩＶＥＳ　ａｎｄ　ｓｕｒｆａｃｅｓ，ｗｅ　ｏｆｔｅｎ　ｎｅｅｄ　ｉｎｓｅｒｔ　ｓｏｍｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｓｈａｐｅｓ．Ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｉｎｓｅｒ－　ｒｉｎｇ　ｃｕｓｐｓ　ａｎｄ　ｌｉｎｅｓ　ｉｎ　ａ　ＣＨＩＶｅ　ａｎｄ　ｃｒｅａｓｅ　ａｎｄ　ｒｕｌｅｄ　ｓｕＩ￣ａｃｅｓ　ｉｎ　ａ　ｓｕｒｆａｃｅ．Ｔｈｉｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｍｕｈｉｐｏｉｎｔ　—ｍｅｔｈｏｄ．Ｂｕｔ　ｉｔ，Ｓ　ｓｔｉｌｌ　ｄｉｆｉｃｕｌｔ　ｔｏ　ｉｎｓｅｒｔ　ｃｕｓｐｓ．ｐｌａｉｎ　ｐａｔｃｈｅｓ　ｏｒ　ａｒｒｉｓｅｓ　ｉｎｔｏ　ａ　ｓｕｒｆａｃｅ．Ｗｈｉｌｅ　ｔｈｅｓｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｓｈａｐｅｓ　ａｒｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ｉｎ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｄｅｓｉｇｎｓ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ　ａｎｄ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｎ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｐｌａｉｎ　ｐａｔｃｈｅｓ，　ｃｕｓｐｓ　ａｎｄ　ａｒｒｉｓｅｓ　ｉｎ　ａ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｗｅｒｅ　ｐｕｔ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｆｏｕｎｄｉｎｇ　ｓｏｍｅ　ｐｏｉｎｔ—ｍａｔｒｉｘｅｓ．８ｆｉｇｓ．，６ｒｅｆｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｌａｉｎ；ｐａｔｃｈｅｓ；ｃｕｓｐ　ａｒｒｉｓｅｓ