勾股定理单元测试卷解析版
数 学
本试卷满分120分，考试时间120分钟
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1．在直角三角形ABC中，∠B＝90°，以下式子成立的是( B ) A．a＋b＝c C．b＋c＝a
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B．a＋c＝b D．(a＋c)＝b
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2．在△ABC中，三边长a，b，c满足b－a＝c，则互余的一对角是( B )
A．∠A与∠B C．∠B与∠C
B．∠C与∠A D．以上都不正确
3．下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是( C )
A．3，5，9 C．1，3，2
B．4，6，8 D．3，5，6
4．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( C )
A．钝角三角形 C．直角三角形
B．锐角三角形 D．等腰三角形
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22b－25．在△ABC中，三边a，b，c满足(a－b)＋＋(c－8)＝
0，那么此三角形为( C )
A．等边三角形 C．等腰直角三角形
B．等腰三角形 D．直角三角形
6．如图所示，已知三个正方形的面积分别为225，289和S，则面积为S的正方形的边长为( B )
A．4 B．C．16
D．7．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
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AEB＝90°，
AE＝
A．48
C．76
B．60 D．80
8．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( C )
A．90° C．45°
B．60° D．30°
9．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达A，乙客轮用20min到达B.若A，B两处的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的
航行方向可能是( C )
A．北偏西30° C．南偏东60°
B．南偏西30° D．南偏西30°
10．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是( D )
A．1 C．3
B．2 D．4
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝41，AC＝9，则BC＝40．
12．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面合格(填”合格”或”不合格”)．
13．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为10．
14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别1以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，
2Q，过点P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是1.6．
16．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”
章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，则可列方程为x＋9＝(10－x)．
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17．为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，点D在BC上且BD＝AC＝1.通过计算可得5＋1＞10.(填“＞”“＜”或“＝”)
18．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S202012018的值为()．
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三、解答题(本大题共7小题，满分66分)
19．(8分)如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
解：设AD＝x米，则AB为(10＋x)米，AC为(15－x)米，BC为5米，∴(x＋10)＋5＝(15－x)，解得x＝2，∴树高AB＝10＋x＝12米．
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20．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的值．
解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝3，BD＝2，∴AD＝AB－BD＝5，∵DC＝1，∴AC＝AD＋DC＝5＋1＝6. 21．(9分)洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
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解：设旗杆的高为x米，则绳子的长为(x＋2)米，由勾股定理2121得，x＋5＝(x＋2)，解得x＝，∴旗杆高米． 4422222．(9分)如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AD＝3cm，BC＝12cm，CD＝13cm，AB＝4cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？
解：东东的判断不正确，可添加DB⊥BC或DB＝5cm.理由如
下：∵四边形具有不稳定性，∴∠A可以是锐角，可以是直角，也可以是钝角，∴判断不正确．如果添加DB⊥BC或DB＝5cm，那么∠A恰好是直角．当BD⊥BC时，∵BC＝12cm，CD＝13cm，∴BD＝CD－BC＝5cm，在△ABD中，AB＝4cm，AD＝3cm，BD＝5cm，∴4＋3＝5，∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°；当DB＝5cm时，在△ABD中，AB＝4cm，AD＝3cm，BD＝5cm，∴AB＋AD＝BD，即4＋3＝5，∴△ABD是直角三角形，即∠A＝90°. 23．(10分)如图，甲船以16n mile/h的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行．已知两船离开码头1.5h后相距30n mile，乙船的航行速度是多少？
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解：设码头所在的位置为C，1.5h后甲船所在位置为A，乙船所在位置为B，则AC与正北方向的夹角为45°，BC与正北方向的3夹角为45°，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，AC＝16×＝24(n mile)，2AB＝30(n mile)，由勾股定理，得AC＋BC＝AB，∴BC＝AB－3AC＝30－24＝324，∴BC＝18(n mile)，∴乙船的航行速度为18÷222222222＝12(n mile/h)． 24．(10分)一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙
7米．
(1)这个梯子的顶端离地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
解：(1)AB＝252－72＝24(米)，故这个梯子的顶端距地面有24米． (2)OB′＝20(米)，∴OA′＝25－20＝15(米)，∴AA′＝15－7＝8(米)，故滑动了8米． 25．(12分)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝
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15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°.
(1)请你猜想∠A与∠C关系； (2)求出四边形ABCD的面积．
解：(1)∠A＋∠C＝180°.理由如下：连接AC.∵AB＝20cm，BC＝15cm，∠ABC＝90°，∴由勾股定理，得AC＝AB＋BC＝625.又∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，∴CD＋AD＝625＝AC，∴∠D＝90°.∴∠DAB＋∠DCB＝360°－180°＝180°. (2)由(1)知，11∠D＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×20×15＋×7×24＝22222222
234(cm)．即四边形ABCD的面积是234cm.
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