数形结合思想例题选讲

数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线

以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法；

以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。 例题选讲

类型一：集合的运算及韦恩图

利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系比较复杂，且没有学容斥原理前，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

例1．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A.MPS B。MPS C.MPðIS D.MPðIS 解：阴影部分是M与P的公共部分（转化为集合语言就是MP），

且在S的外部（转化为集合语言就是CIS），故选C。通过上述例子，我们知道：当应用题中牵涉到集合的交集、并集、补集时，用韦恩图比用数轴法简便。

类型二：图表信息题

此类题目都有图形（或图表）作为已知条件，须联系函数的性质分析求解，解决问题的关键是从已知图形（图表）中挖掘信息.

例2．直角梯形ABCD如图（1），动点P从B点出发，由BCDA沿边运动，设

点P运动的路程为x，如果函数yf(x)的图象如图（2），则ABCABP的面积为f(x)．的面积为（ ）

D C

P

A B

图（1）

A．10 B．16

y O 4 9 14 x 图（2）

D．32

C．18

解：由yf(x)图象可知,当x由04时f(x)由0变最大,说明BC4， 由x4及x9时f(x)不变,说明P点在DC上,即CD=5. 所以AD=14-9=5,过D作DGAB则DG=BC=4

AG3,由此可求出AB=3+5=8.

SABC11DBBC8416 选B 22例3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01 A．y=2x-2 B.y=

12(x-1) C.y=log2x D.y=log1x 22解：解法一:把表中x的数值取整数代入下列函数中逐一计算,近似估算,最接近y值的一个函数为y12x1.故选B. 212x1的图象.故2解法二:把表中x,y近似描点连线,对照可得最接近的函数为y选B.

类型三：解析几何中直线与曲线

例4．曲线y=1+4x2 (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取

值范围

解析 方程y=1+4x2的曲线为半圆，

yM1y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线

答案 （

53xo2,］ -2124类型四：方程（多指二元方程）及方程的曲线交点问题

2例5．已知最小正周期为2的函数y=f(x)，当x∈[-1,1]时，f(x)=x，则函数y=f(x)

（x∈R）的图象与y=|log5x|的图象交点个数为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

解：本题考查周期函数的图象和性质，对数函数的图象和性质及含有绝对的函数的图

y .由图象可知，有5个交点,故选D. 象的画法，本题考查数形结合思想

y=log5x

xo 1 3 5

类型五：二次函数类型

例6．设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围

解法一 由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立

考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方 如图两种情况

不等式的成立条件是

yy(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)

0a∈(–3,–2]， (2)a1g(1)0-1oaxa-1oxy综上所述a∈(–3,1)

解法二 由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)

令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l对应的a∈(–3,1)

-11o-2x类型六：函数知识解应用题

函数知解应用题的题型比较丰富,一般为中档题,其中对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．

例7．某医药研究所开发一种新药.如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每

毫升血液中的含药量y（毫克）与 y(毫克) 时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线.

4 据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时， 治疗疾病有效.则服药一次治疗该疾病有效的时间为（ ） 3 7

A. 4小时 B. 4 小时

815

C. 4 小时 D. 5小时

16

2 1 O ykt 1 1y2ta t (小时) kt, 0t1,解：由已知图象可得f(x)1ta将点(1,4)代入可得k4,a3.

(), t1.24t, 0t1,∴f(x)1t3

(), t1.2t1,4t0.25,11t5, 令f(x)0.25可得t1,或1t3()0.25,160t12∴

1115t5, 从而得服药一次治疗该疾病有效的时间为5-4,故应选C. 161616类型七：创新题

例8．如图,三台机器人M1,M2,M3和检测台M（M与M1,M2,M3均不能重合）位

于一条直线上,三台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测,送检程序设定：当M1把零件送达Ｍ处时，M2即刻自动出发送检，当M2把零件送达M处时，M3即刻自动出发送检，设M2的送检的速度为v，且送检速度是M1的２倍、M3的３倍．

M1M-2 -1 0 1 2 3

M2M3

（１）求三台机器人M1,M2,M3把各自生产的零件送达检测台M处的时间总和； （２）现要求三台机器人M1,M2,M3送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M在该直线上的位置．

解：（１）由已知得检测台M的位置坐标为0，则机器人M1,M2,M3与检测台M的距离分别为2,1,3．又M2的送检的速度为v，

则M1的送检的速度为v，M3的送检的速度为v.

故三台机器人M1,M2,M3按程序把各自的生产零件送达检测台Ｍ处的时间总和为

1213y21314. 11vvvv23（２）设x为检测台M的位置坐标，则三台机器人M1,M2,M3与检测台M的距离分别为

|x(2)|,|x1|,|x3|．

于是三台机器人M1,M2,M3按程序把各自的生产零件送达检测台Ｍ处的时间总和为

y|x(2)||x1||x3|1(2|x2||x1|3|x3|).

11vvvv23只要求f(x)2|x2||x1|3|x3|的最小值．

6x6,(x2),2x14,(2x1),而f(x)由分段函数图象得当x[1,3]时，有f(x)min12．

12,(1x3),6x6,(x3),12即送检时间总和最短为.

v又检测台M与M1,M2,M3均不能重合，故可将检测台M设置在直线上机器人M2和

M3之间的任何位置（不含M2,M3的位置），都能使各机器人M1,M2,M3的送检时间总和

最短.