班级_____________ 姓名_____________
一 全等三角形判定定理与性质 二 对称式全等
1.如图，CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD、CE交于O点，且AO平分∠BAC，试说明OB=OC.
2.如图，∠E=∠F= 900 , ∠B=∠C,AE=AF,试说明EM=FN.
EMCBEOCDA三 角平分线的运用
1.ABC中,AD是A的平分线，E.F分别是AB.AC上的点，且EDFBAF180求证：DE=DF
A0FCDEB2.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：AE+CD=AC
BEOAD
BAN
F
3.如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，AD⊥BD，AE⊥CE，D、E为垂足，BD、CE交于O点.(1)求证：△ABD≌△ACE(2)求证：OE=OD
3.已知，在四边形ABCD中，BC＞AB,DA=DC,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180
DCAD
BEADOC
BC
4.如图，AB=AC,点D、E分别在AC、AB上, AG⊥BD ，AF⊥CE ，垂足分别为是G、F，且AG=AF，求证：
AAD=AE
EDGF
BC4.在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD,求证：BC=AB+CE
A ED BC
1
5.在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD, ∠ABC+∠AED=180°，求证AD平分∠CDE
BA4.已知△ABC中，AD平分∠BAC，E,F分别在BD，AD上，DE=CD,EF=AC，求证EF//AB
五 中垂线的运用
AF
CDEB
四 倍长中线法的运用
1． 已知在三角形ABC中，AB=10，BC=8，求第三边AC边上的中线BD的取值范围。
B
CAD
2. 已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图， 求证EF＝2AD。 F EA
CBD
EDC1.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
2、已知：如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，
EBGACFDCD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N。求证：AN=BM。
13.已知：AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE=AC，AF=AB．求AD=EF
2
BDCFEA2
3．如图，在△ABC中，AD平分BAC，分别过点D作DEAB于E，DFAC，交AC的延长线于F. A（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）过D作DGBC于G，若BE=CF，BG=5cm，求BC的长.
EBGCFD6.如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM. (1)求证：AE∥CF；
(2)若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC.
六：等腰三角形
1、如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O． (1)求证：AD=AE
(2)连接OA，BC，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由．
A A 4.如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DGBC于G，G为BC中点，DEAB于E，DFAC交AC的延长线于F。 （1）求证：BECF；
（2）如果AB6，AC4，求AE，BE的长。
5.如图：在△ABE中，点C是BE边上的一点，连接AC，已知AD是∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB边于点F。 （1）求证：△EAF≌△EDF A （2）求证：DF∥AC
（3）判断∠EAC与∠B相等吗？说明理由。
F
EBDC
3
D O B
E D C
O B
E C
2．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点．
求证：AB=AC．
ABDC3．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于 F，且AE=EF。求证：AC=BF
E A 4．如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若AA'BB'AB，∠BAC的度数为_____________．
A' 7、 在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，M是BC的中点，过M作ME//AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BECF
B' 1(ABAC) 2BEAFDMCC B D 则5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF. (1)求证：△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系，并说明理由。
6、如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。
4
8、如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，BD＝CF，CD＝BE，G为EF中点，连结DG，问DG与EF之间有何位置关系?证明你的结论。
9．已知如图：AB=DE，直线AE、BD相交于C，∠B+∠D=180°，AF∥DE，交BD于F，求证：CF=CD A
D BCF
E
10、在三角形ABC中，AB=AC，直线l过点A，过B、C分别作BC的垂线交l与D,E两点，求证：AD=AE
E
L
A
BC
D
七：等腰直角三角形
1、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (1)求证：BF=AC； (2)求证：CE=
4.已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，直角∠EDF的顶点D是BC 边上的中点，点E、F分别是AB、AC两边上的两个动点，那么在 E、F运动过程中下列结论正确的是_______________。 ①AE=CF ②四边形AEDF是面积不变 ③DF=BE ④△DEF始终为等腰直角三角形 ⑤∠AED=∠AGF。
BEAGFDC1BF； 2B
ADFHGEC2、如图，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．求证：
BD=DE=CE．
A
5.两个等腰直角三角形ABC与DEF，点E,B,C在同一条直线上，P是CE中点，探究DP与AP的关系、
A
D ECFB
EADCEB3、在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于点E，又AE=证：BD平分∠ABC
1BD,求2A6.（1）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AB于E,交AD于F， 过F作FG//BC交AB于G，AE=4，则BG=
（2）在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BE是∠ABC的平分线,交AC 于E，交AD于F,FG⊥AD于G，求证AG=FD
GBFDCAGFBDCE（3）已知，如图6，⊿ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB于D，∠CAB 的平分线交CD于F，交CB于E，EG
DBCE⊥AB于G，求证：EG=CF
CFE
5
A图6DGB
7、（1）如图，BM、CN分别是△ABC的高，且BP=AC , QC=AB ,试判断AP和AQ的关系.
Q
NA
MPBC2.如图D是等边三角形ABC内一点，AD=BD, ∠DBP=∠DBC,且BP=BA. 求：∠P的度数. PA
DBC（2）．已知如图，在锐角△ABC中，BE，CF是高，在BE,CF或它们的延长线上分别截取CQ=AB,BP=AC,且PP`⊥BC,QQ`⊥BC，求证：PP`+QQ`=BC
AP E FQ
B Q`P`C
八：等边三角形
1（1）等边△ABC的BC边上有一点D,作∠DAE=60°，DE交∠C外角平分线于E,则△ADE是 。 （2）等边△ABC的BC边上有一点D,作∠ADE=60°，DE交∠C外角平分线于E,则△ADE是等边三角形吗？
A
A
EE
3、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BMCN，AM，BN交于点Q． 求证：（1）AM=BN； （2）∠BQM60．
6
A
Q
B
M
N
C
BDCBDC九 动点问题
11．如图，等边△ABC的边长为6cm，点P在直线CA上，动点Q以cm/秒的速度由B向C在射线BC
3上运动，当点P与点A相距4cm时，点Q运动_____ ___秒能使△ABP△CAQ。
CPD A N QABB M C
5． 如图：一动点P在底边长为8cm，腰长为5cm•的等腰△ABC•的底边BC•上从B•向C•以0．25cm/s的速度运动，当点P运动到与△ABC•的两个顶点组成等腰三角形时，求点P运动的时间．
A
BC P
十：截长补短 1．（1）已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
（2）如图，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB＋BD．
A2.如图，在等腰△ABC中，腰长ABAC8厘米，底边BC6厘米，点D为AB的中点．如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动．当点N的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BMD与△CNM全等．
3．如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向终点A运动，当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等。
4．如图，在长方形ABCD中，AB=9cm，BC=6cm，点P沿着AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿着DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0t4.5），那么：
（1）当t为何值时，QAP是等腰直角三角形；
（2）设四边形QAPC的面积为S，写出S与t之间的关系式；
（3）是否存在t值，使以点Q、A、P为顶点的三角形与PBC全等，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由。 CD
QB D
C
②若延长CB至N，使BN=AB，连接AN，是否可以证出（1）中结论？
BDC（3）如图，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D。求证：①CD=AB+BD；
③若作AC的中垂线分别交AC于G，交CD于H，连接AH，能否得到（1）中的结论？
7
AAPBCDB 2．（1）如图,梯形ABCD中,∠A= ∠D =90度, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
（2） 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
(3)已知：如图,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC上的点，∠FAE=∠DAE。 求证：AF=AD+CF。
BEAD求证：AE=BD+DE。
A12CED3B图1-101图2-6FC(4)已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D。 求证：AD+DB=BC。
A
D
CB
(5)如图所示，在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D。
8
(6)已知四边形ABCD中，AB=AD, ∠BAD=60°，∠BCD=120°证明：BC+DC=AC A
D B C
十一：几何不变性
1.△ABC与△CDE都是等边三角形，B,C,D在同一条直线上，连接AD,BE分别交CE,AC于点G,F.取BE与AD交点为O.
E(1)下列结论：①AE=BD;②AG=BF;③FG=CG,;④FG//BD;⑤∠BOC=∠DOC
AO
FG
BCD(2)如果图变成下图，其余条件都不变，上面（1）中的结论还有哪些成立？
（3）如下图，当B,C,D三点不在同一条直线上，（1）中结论还有哪些成立？
E
A
O
F BCG D
（4）下图呢？ F G A O BC D
2.如图1，有公共直角顶点的两个等腰直角三角形ACD与ECD，连接BE,AD。判断BE与AD的关系
AAA
E D BB图1CDCBC 图2图3E ED
3.将两个全等的三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°, ∠A=∠D=30°,点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F. (1)求证：AF+EF=DE;
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<а<60°,其他条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立;
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③. 你认为(1)中的结论还成立吗? 若成立, 写出证明过程;若不成立,请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由. D
B
BEB EFCACFC图①A图②A图③
D
9
4.已知四边形ABCD中，BA⊥AD于A,BC⊥CD于C,BA=BC,∠ABC=120°，∠EBF=60°，△EBF绕B点旋转，它的两边分别交直线AD、CD于E、F。 （1）当∠EBF绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证∠ABE=∠CBF=30°； （2）当∠EBF绕B点旋转到AE≠CF时;
在图二的情况下，请探究AF、CF、EF之间满足的数量关系，并说明理由；
在图三的情况下，请继续探究AE、CF、EF之间又满足怎样的数量关系，并说明理由。
5.如图，等边△ABC中，CD//AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ、使得∠APQ=∠BAC。
（1）①如图1，探索∠PAC与∠PQC的数量关系并证明； DA②如图1，求证：AP=PQ Q
B CP
10
（2）如图2，若将“等边△ABC”改为“等腰直角△ABC（AB=AC）” AD
BCP
Q
（3）如图3，若继续将“等腰直角△ABC”改为“等腰△ABC(AB=AC)”
，其他条件不变，(2)z中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由。
A
D
E
QBPC十二： 综合大题
1．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M，点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA。 （1）求证：△DME≌△CME；
（2）若∠MFC=120°，求∠BAM的度数；
（3）试猜想∠PMB与∠FCM有怎样的数量关系？请证明你的结论。
2.（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接AD、BE相交于P，求证：BE=AD
（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，求证∠DPE=60° 3、如图：已知等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点(与B、C不重合)，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)． (1)求证：AM＝AN；
(2)连接DE分别与边AB、AC交于点G、H，如图2，当∠BAD是多少度时，AD=DH？
(3)在(2)的条件下，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE
ADEMNBPC图1
11
AOHEDGMNBPC图2
4.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB上的高，AF为∠BAC的角平分线，AF交CD于点E,交BC于点F.
(1) 如图1，①∠ACD ∠B（选填“<，=，>”中的一个）（2分） ②如图1，求证：CE=CF；（2分）
(2) 如图1，作EG∥AB交BC于点G,若AD=a,
图1 △EFG为等腰三角形，求AC（含a的代数式表示）；（3分） (3)如图2，过BC上一点M，作MN⊥AB于点N，使得MN=ED，探索BM与CF的数量关系.（3分）
CFGEA
5、在锐角三角形ABC中,AH为BC边上的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线相交于点M。试证明：
（1）BG=CE;(2)BG⊥CE;(3)M是EG的中点；（4）∠EAM=∠ABC;(5)△ABC与AEG面积相等。
DEMGDB
6.已知：在△ABC中，CA=CB=10cm，O为AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且EOF2A. （1）若A=45°
①如图1，连接OC，当E、F分别在线段AC、BC上时，求证：△COE≌△BOF； ②如图2，在E、F分别在AC延长线上和CB延长线上时，求CFCE的值； （2）如图3，若A=30°，且E、F分别在AC延长线和线段BC上，试说明CF与CE满足怎样的关系式.
EEC
CCE
FF
ABOAB
ABOO F
7、已知两个全等的等腰直角ABC和DEF，其中ACBDFE90，点E为AB中点，DEF可绕点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在的直线）于M，N。
（1）如图1，当线段 EF经过ABC顶点时，点N与点C重合，线段DE与线段AC交于M，求证：AMMC；（3分）
（2）如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M，连接MN，请探究线段AM、MN和CN之间的等量关系，并说明理由。（4分）
（3）如图3，当线段EF与线段BC的延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M，连接MN，请猜想线段AM、MN和CN之间的等量关系，并说明理由。（5分）
F
A
12
BC8.如图，点M是锐角△ABC内任意一点，连接AM,BM,CM.以AB为边向外作等边△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.(1)求证：△AMB≌△ENB
(2)若AM+BM+CM的最小，则称M为△ABC的费马点。若点M为△ABC的费马点，求∠AMB,∠BMC,
（2）连接AO，求证：AO 平分∠DOE
D
EANM
∠CMA的度数；
（3）小东收到启示，得到做一个锐角△的费马点的简单方法。如图：分别以三角形ABC的两边AB,AC为边向外作等边三角形ABE和ACF，连接CE,BF，设交点为M，则M为△ABC的费马点，说明这种做法的依据。
EAEAF C
N
M
M
BCCB
9、三角形ABC中, ∠BAC为锐角，分别以AB,AC为直角边向两侧作等腰直角三角形ABD与ACE，连接CD,BE，CD，BE相交于O。 （1）求证：CD⊥BE;（3分）
D
DB(3):M,N分别为CD,BE的中点，猜测△AMN是什么三角形，并证明你的结论
EA
BOC10．已知ABC中，ABAC,点P从点B出发沿线段BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的
延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D。 （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，探索线段BE、
DE、CD的数量关系
E
BA
OC13
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