第二章 强化训练 函数的性质

1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上的单调性也相同的是( ) A．y＝1－x2 1

C．y＝－

x答案 A

解析 根据题意，函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，对于选项A，函数y＝1－x2为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，符合题意；对于选项B，函数y＝log2|x|是偶函数，1

在(－∞，0)上为减函数，不符合题意；对于选项C，函数y＝－为奇函数，不符合题意；对x于选项D，函数y＝x3－1为非奇非偶函数，不符合题意．故选A. 9

2．函数f (x)＝x＋(x≠0)是( )

xA．奇函数，且在(0,3)上是增函数 B．奇函数，且在(0,3)上是减函数 C．偶函数，且在(0,3)上是增函数 D．偶函数，且在(0,3)上是减函数 答案 B

解析 因为f (－x)＝－x＋

999

x＋＝－f (x)，所以函数f (x)＝x＋为奇函数． ＝－xx－x

B．y＝log2|x| D．y＝x3－1

9

又f′(x)＝1－2，在(0,3)上f′(x)<0恒成立，

x∴f (x)在(0,3)上是减函数．

3．若函数f (x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是( ) A．奇函数 C．非奇非偶函数 答案 A

解析 由f (x)是偶函数可得b＝0， ∴g(x)＝2ax3＋9x， ∴g(x)是奇函数．

4．(2020·湖北武汉重点中学联考)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x－1)≥－1，则x的取值范围为( ) A．(－∞，－1] C．[0,1] 答案 C

解析 由题意，得f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x－1)≥f (1)，则|2x－1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.

5．若定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，且f (1)＝8，则f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是( ) A．f (2 019)f (2 020)>f (2 021) C．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021) D．f (2 020)解析 因为定义在R上的奇函数f (x)满足对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝－f (x)成立，所以f (x＋4)＝f (x)，即函数f (x)的周期为4，且f (0)＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－8，所以f (2 019)＝f (4×504＋3)＝f (3)＝－8，f (2 020)＝f (4×505)＝f (0)＝0，f (2 021)＝f (4×505＋1)

B．[1，＋∞)

D．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．偶函数 D．既奇又偶函数

＝f (1)＝8，即f (2 019)－x＋2，x>1，

①f (x)＝sin x；②f (x)＝tan x；③f (x)＝x，－1≤x≤1，

－x－2，x<－1；同具有的性质是( ) A．周期性 C．奇函数 答案 C

解析 f (x)＝sin x为奇函数，周期为2π且有最大值； f (x)＝tan x为奇函数且周期为π，但无最大值； －x＋2，x>1，



作出f (x)＝x，－1≤x≤1，

－x－2，x<－1大值；

x2，x>0，

作出f (x)＝的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．

x－

－2，x<0

2x，x>0，

④f (x)＝－x则它们共

－2，x<0.

B．偶函数 D．无最大值

的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最

所以这些函数共同具有的性质是奇函数．

3

x＋，且f (3)＝3， 7．(2019·衡水中学调研)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝－f 2则f (2 022)＝________. 答案 3

3

x＋， 解析 ∵f (x)＝－f 2333

x＋＋＝－f x＋＝f (x)． ∴f (x＋3)＝f 222∴f (x)是以3为周期的周期函数． 则f (2 022)＝f (673×3＋3)＝f (3)＝3.

8．奇函数f (x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)

＋f (－3)的值为________． 答案 9

解析 由于f (x)在[3,6]上为增函数，所以f (x)的最大值为f (6)＝8，f (x)的最小值为f (3)＝－1，因为f (x)为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.

9．若函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t满1

ln ≤2f (1)，那么t的取值范围是_______． 足f (ln t)＋f t1

答案 e，e

解析 由于函数f (x)是定义在R上的偶函数， 1

ln ， 所以f (ln t)＝f t1

ln ≤2f (1)，得f (ln t)≤f (1)． 由f (ln t)＋f t又函数f (x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的， 1

所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.

e

10．已知f (x)是定义在R上的奇函数，f (x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f (x)＝|x－3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________. 答案 0

解析 因为f (x)为奇函数，f (x＋1)为偶函数，所以f (x＋1)＝f (－x＋1)＝－f (x－1)，所以f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x＋1)＝f (－x＋1)中，令x＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.

所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝505[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.

11．已知函数f (x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f (x＋2)＝－f (x)，且当x∈[0,2)时，f (x)＝log2(x＋1)，求： (1)f (0)，f (2)，f (3)的值； (2)f (2 021)＋f (－2 022)的值． 解 (1)f (0)＝log21＝0，

f (2)＝－f (0)＝0，

f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log2(1＋1)＝－1.

(2)依题意得，当x≥0时，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)， 即当x≥0时，f (x)是以4为周期的函数．

因此，f (2 021)＋f (－2 022)＝f (2 021)＋f (2 022)＝f (1)＋f (2)． 而f (2)＝0，f (1)＝log2(1＋1)＝1， 故f (2 021)＋f (－2 022)＝1.

12．(2019·吉林长春四校联考)已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x，若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，求实数m的最大值． 解 因为g(x)－h(x)＝2x，① 所以g(－x)－h(－x)＝2－x.

又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)＋h(x)＝2－x，② 2x＋2－x2－x－2x联立①②，得g(x)＝，h(x)＝. 22

2x－2－x4x－12

由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤x＝＝1－.

2＋2－x4x＋14x＋1

21－2233

因为y＝1－x为增函数，所以当x∈[－1,1]时，＝1－＝，所以m≤，maxx

54＋14＋14＋153

即实数m的最大值为.

5

x＋1

13．已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为(x1，

xy1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)等于( )

i＝1m

A．0 B．m C．2m D．4m 答案 B

x＋1x＋11

解析 因为f (x)＋f (－x)＝2，y＝＝1＋.所以函数y＝f (x)与y＝的图象都关于点(0,1)

xxxm

对称，所以xi＝0，yi＝×2＝m，故选B.

2

i＝1

i＝1

m

m

ax＋1，－1≤x<0，

14．设f (x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x)＝bx＋2

，0≤x≤1，x＋113，则a＋3b的值为________． 其中a，b∈R.若f  ＝f 22答案 －10

解析 因为f (x)是定义在R上且周期为2的函数， 3－1且f (－1)＝f (1)， 所以f ＝f 221－1， 故f ＝f 221

b＋221从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①

12＋12

b＋2

由f (－1)＝f (1)，得－a＋1＝，

2即b＝－2a.②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.

15．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________. 答案 －8

解析 因为定义在R上的奇函数满足f (x－4)＝－f (x)，所以f (x－4)＝f (－x)．由f (x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称，且f (0)＝0.由f (x－4)＝－f (x)知f (x－8)＝f (x)，所以函数的周期为8.又因为f (x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[－2,0]上也是增函数，作出函数f (x)的大致图象如图所示，那么方程f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x116．函数f (x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)． (1)求f (1)的值；

(2)判断f (x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f (4)＝1，f (x－1)<2，且f (x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解 (1)因为对于任意x1，x2∈D， 有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，

所以令x1＝x2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)f (x)为偶函数，证明如下：

令x1＝x2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 1

所以f (－1)＝f (1)＝0.

2

令x1＝－1，x2＝x，有f (－x)＝f (－1)＋f (x)， 所以f (－x)＝f (x)，

又f (x)的定义域关于原点对称，所以f (x)为偶函数．

(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x)是偶函数，所以f (x－1)<2，等价于f (|x－1|)又f (x)在(0，＋∞)上是增函数．

所以0<|x－1|<16，解得－15