人教版高中数学,正弦定理(一)

第一章 解三角形

§1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)

课时目标

1．熟记正弦定理的内容；

2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．

ABCπ

1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝.

2222

πab

2．在Rt△ABC中，C＝，则＝sin_A，＝sin_B.

2cc

3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

abc

4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，

sin Asin Bsin C

这个比值是三角形外接圆的直径2R.

一、选择题

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则 a∶b∶c等于( )

A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶3∶2 答案 D

2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( ) A.3＋1 B．23＋1 C．26 D．2＋23 答案 C

ab

解析 由正弦定理＝，

sin Asin B

4b得＝，∴b＝26. sin 45°sin 60°

3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( ) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 答案 A

解析 sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．

4．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( ) A．A>B B．AC．A≥B D．A，B的大小关系不能确定 答案 A

解析 由sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B. 5．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B等于( ) A．45°或135° B．60°

C．45° D．135° 答案 C

abbsin A

解析 由＝得sin B＝

sin Asin Ba2sin 60°2＝＝.

23

∵a>b，∴A>B，B<60° ∴B＝45°.

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么角C等于( )

A．120° B．105° C．90° D．75° 答案 A

解析 ∵c＝3a，∴sin C＝3sin A＝3sin(180°－30°－C)

31

＝3sin(30°＋C)＝3sin C＋cos C，

22

即sin C＝－3cos C. ∴tan C＝－3. 又C∈(0°，180°)，∴C＝120°. 二、填空题

7．在△ABC中，AC＝6，BC＝2，B＝60°，则C＝_________. 答案 75°

262

解析 由正弦定理得＝，∴sin A＝.

sin Asin 60°2

∵BC＝21

8．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.

3

10

答案

2

110

解析 ∵tan A＝，A∈(0°，180°)，∴sin A＝.

310BCAB

由正弦定理知＝，

sin Asin C

BCsin C1×sin 150°10

∴AB＝＝＝.

sin A210

10

2π

9．在△ABC中，b＝1，c＝3，C＝，则a＝________.

3

答案 1

解析 由正弦定理，得 31＝， 2πsin Bsin3

1

∴sin B＝.∵C为钝角，

2

π

∴B必为锐角，∴B＝，

6

π∴A＝.

6∴a＝b＝1.

10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.

答案 30°

解析 ∵b＝2a∴sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60°， ∴sin(A＋60°)＝2sin A 即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A，

33

化简得：sin A＝cos A，∴tan A＝，∴A＝30°.

33

三、解答题

11．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．

abc

解 ∵＝＝，

sin Asin Bsin C

2

22×

2asin B22sin 45°

∴b＝＝＝＝4.

sin Asin 30°1

2

∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，

asin C22sin 105°22sin 75°∴c＝＝＝＝2＋23.

sin Asin 30°1

2

12．在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形． 解 a＝23，b＝6，absin A， 所以本题有两解，由正弦定理得：

bsin A6sin 30°3

sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.

a223

当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝43； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝23. 所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23. 能力提升

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．

π答案 6

π

解析 ∵sin B＋cos B＝2sin(＋B)＝2.

4

π

∴sin(＋B)＝1.

4

π

又04

22×

21asin B

由正弦定理，得sin A＝＝＝. b22π

又a6

a

14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范

b

围．

解 在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°， B<90°，

，即2B<90°

－3B<90°，180°

∴30°asin Asin 2B由正弦定理知：＝＝＝2cos B∈(2，3)，

bsin Bsin B

a

故的取值范围是(2，3)． b1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其它两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． 2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况. bsin A ab A为直角 或钝角 无解 一解(锐角)