【高考地位】
反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等. 【方法点评】
类型一 证明“至多”或“至少”问题
使用情景：证明“至多”或“至少”问题． 解题模板：第一步 首先假设命题不成立； 第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾； 第三步 最后得出结论.
例1. 若{正整数}，且。求证：或中至少有一个成立。
【答案】详见解析.
【变式演练1】(1)已知（2）已知
中至少有一个小于2。
，求证：
.
1
类型二 证明“不可能”问题
使用情景：证明“不可能”问题．
解题模板：第一步 首先假设命题不成立； 第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾； 第三步 最后得出结论. 例2.给定实数
，且
，设函数
，求证：经过这个函数
图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴． 【答案】详见解析. 【解析】
试题分析：要证明经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴，可以考虑假设函数图象上存在两点
，使得直线
平行于轴．然后得出矛盾。 ，使得直线．
由
平行于
轴．设，
得
证明：假设函数图象上存在两点
且
，解得
函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.
．与已知矛盾．故经过这个
2
【点评】在证明不可能问题上，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反证法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与已知相矛盾。
【变式演练2】（Ⅰ）求证：当（Ⅱ）证明：
时，
；
不可能是同一个等差数列中的三项.
类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题
使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题． 解题模板：第一步 首先假设命题不成立； 第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾； 第三步 最后得出结论. 例3.求证：方程【答案】详见解析. 【解析】
试题分析：可以假设方程证明：由对数的定义易得，
的解有两个，然后得出矛盾。
是这个方程的一个解．假设这个方程的解不是唯一的，
的解是唯一的．
它还有解，则．，则，即．①由假设，得
3
，从而：当时，有；②当时，有．③
显然，②，③与①都矛盾，这说明假设不成立．所以原方程的解是唯一的.
【点评】有关存在性与唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法．“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”，“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”．有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，也可考虑应用反证法.
【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数A．自然数B．自然数C．自然数D．自然数【答案】D
中恰有一个偶数”时正确的假设为（）
都是奇数 都是偶数 中至少有两个偶数
中至少有两个偶数或都是奇数
考点：反证法.
【高考再现】
1. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D 【解析】
试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好， 乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反， 丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反， 即乙、丁可以知道自己的成绩
4
故选D。
【考点】合情推理
【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。 2. 【2016高考山东文数】观察下列等式：
；
；
；
；
……
照此规律，_________．
【答案】
5
3. 【2015高考广东，理8】若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）
A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【答案】
．
4.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设一个实根”时，要做的假设是（ ） A.方程C.方程【答案】
没有实根 B.方程至多有两个实根 D.方程
至多有一个实根 恰好有两个实根
为实数，则方程
至少有
【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题，难度较小. 5. 【2015高考北京，理20】已知数列
满足：
，
，且
．
记集合（Ⅰ）若（Ⅱ）若集合（Ⅲ）求集合
．
，写出集合
的所有元素；
的所有元素都是3的倍数；
存在一个元素是3的倍数，证明：的元素个数的最大值．
6
【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8
（Ⅲ）由于次
中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其
中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由
的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知， ①若
和
除以9的余数一样，
都是3的倍数，所以
都是3的倍数，所以
中有3的倍数，由（2）知：所有的
除以9的余数为为3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项. ②
中没有3的倍数，则
起，
都不是3的倍数，对于
除以9的余数只能是1，4，7，2，5，
8中的一个，从除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，...... ,不断
的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多8项，则时，
，项数为8，所以集合
的元素个数的最大值为8.
考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.
【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，
7
本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生. 【反馈练习】
1．【2018陕西名校五校联考】某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断： 甲说胡老师不是上海人，是福州人； 乙说胡老师不是福州人，是南昌人； 丙说胡老师不是福州人，也不是广州人.
听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师( )
A. 一定是南昌人 B. 一定是广州人 C. 一定是福州人 D. 可能是上海人 【答案】D
【解析】若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对；若胡老师是广州人，则甲全不对，乙全不对； 若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙全错；若胡老师是上海人，则甲全错，乙对一半，丙全对；故选择D.
2．【2018广西南宁摸底联考】甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ）
A. 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D. 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C
3．用反证法证明命题：“时，假设的内容应该是 A. C.
都能被5整除 B.
，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”
都不能被5整除
不都能被5整除 D. 能被5整除
【答案】B
【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
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命题“，如果可被整除，那么至少有1个能被5整除．”的否定是“
都不能被5整除”，故选B. 4．【2018河北邢台市模拟】①已知
；②设为实数，
，求证，求证
，用反证法证明时，可假设与
中至少有一个不小
于，用反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）
A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确
C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确 【答案】C
【解析】根据反证法的格式知，①正确；②错误，②应该是选C.
与都小于，故
5．设大于0，则3个数的值
A. 至多有一个不大于 1 B. 都大于1 C. 至少有一个不大于1 D. 都小于1 【答案】C
6． 已知二次函数
，且
时，
．
的图象与轴有两个不同的交点，若
（1）证明：是的一个根；
（2）试比较（3）证明：
与的大小；
．
9
【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】 试题分析：（1）由
的图象与
；（3）证明见解析．
轴有两个不同的交点，∴有两个不等实根
，得出是的根，在根据根与系数的关系，即可证明是的
一个根；（2）利用反证法，假设假设，又，得出，得出矛盾，即可
得出；（3）由，得，
（3）证明：由又
，∴
，得．
，∴
，
二次函数的图象的对称轴方程为，
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即，又，∴，∴．
考点：二次函数的性质及不等式关系的判定．
7．【2018吉林乾安第七中学模拟】（1）用分析法证明：当
；
（2）证明：对任意
，
，
，
这个值至少有一个不小于. 成立，
，
时，
【解析】（1）要证不等式成立，只需证即证： 即证： 即证： 因为（2）假设即则而
，（*）
.
成立， 所以
，所以原不等式成立. 成立， 成立，
这3个值没有一个不小于0，
这与（*）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.
8．设立.
， ，且.证明： 与不可能同时成
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9. 已知由
是互不相等的实数，求证：
确定的三条抛物线至少有一条与轴
有两个不同的交点.
【解析】假设三条抛物线都与轴有一个交点或无交点
则，将上述三个式子相加得
，
配方得 当且仅当
时等号成立，又
，这与
不全相等
矛盾
有两个不同的交点 .
假设不成立，三条抛物线至少有一条与
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