2017年北京市高考理科数学试题与答案

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=

（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}

（2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

（A）（–∞，1） （B）（–∞，–1） （C）（1，+∞） （D）（–1，+∞） （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）2 （B）

32（C） （D）

5385x3，（4）若x，y满足xy2， 则x + 2y的最大值为

yx，（A）1 （B）3 （C）5 （D）9

1

xx（5）已知函数f(x)3()，则f(x)

13

（A）是奇函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数

（B）是偶函数，且在R上是增函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数

（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn<0”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

（A）32 （B）23 （C）22 （D）2

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数

N约为1080.则下列各数中与

（参考数据：lg3≈0.48）

MN最接近的是

（A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

y2（9）若双曲线x1的离心率为3，则实数m=_________.

m2（10）若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则

a2=_______. b2 2

（11）在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40上，点P的坐标为（1,0），则|AP|

的最小值为___________.

（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若

sin1，则cos()=___________. 3（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．

（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别

为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________. ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

在△ABC中，A =60°，c=（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积. （16）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=6，AB=4． （I）求证：M为PB的中点； （II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

3a. 7 3

（17）（本小题13分）

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人 数，求的分布列和数学期望E（）；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

（18）（本小题14分）

已知抛物线C：y=2px过点P（1，1）.过点（0，

2

1）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，2N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.

4

（19）（本小题13分）

已知函数f（x）=ecosx−x.

（Ⅰ）求曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，（20）（本小题13分）

设{an}和{bn}是两个等差数列，记

π]上的最大值和最小值. 2x

cnmax{b1a1n,b2a2n,,bnann}(n1,2,3,)，

其中max{x1,x2,,xs}表示x1,x2,,xs这s个数中最大的数．

（Ⅰ）若ann，bn2n1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，使得cm,cm1,cm2,是等差数列．

cnM；或者存在正整数m，n 5

参考答案

一、 （1）A （2）B （3）C （4）D（5）A （6）A （7）B （8）D

二、 （9）2

（10）1 （11）1

（12）79

（13）1,2,3（答案不唯一） （14）Q1

p2

三、

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为A60，c37a，

所以由正弦定理得sinCcsinAa33337214. （Ⅱ）因为a7，所以c3773.

由余弦定理a2b2c22bccosA得72b2322b312， 解得b8或b5（舍）.

所以△ABC的面积S1132bcsinA283263. （16）（共14分）

解：（I）设AC,BD交点为E，连接ME.

因为PD∥平面MAC，平面MAC平面PBDME，所以PD∥ME. 因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.

（II）取AD的中点O，连接OP，OE.

因为PAPD，所以OPAD.

又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD. 因为OE平面ABCD，所以OPOE. 因为ABCD是正方形，所以OEAD.

如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0,2)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，

6

BD(4,4,0)，PD(2,0,2).

设平面BDP的法向量为n(x,y,z)，则nBD04x4y0，即nPD0x2z0. 2令x1，则y1，z2.于是n(1,1,2).

平面PAD的法向量为p(0,1,0)，所以cosnp|n||p|12.

由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为

3.

（III）由题意知M(1,2,222)，D(2,4,0)，MC(3,2,2). 设直线MC与平面BDP所成角为，则sin|cos||nMC|n||MC||269.

所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为269. （17）（共13分）

解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为

15500.3. （Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.

所以的所有可能取值为0,1,2.

P(0)C221C112C22C21C2,P(1)23,P(2)2C2. 46C446所以的分布列为

7

 P 0 1 2 1 6故的期望E()02 31 6121121. 636（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）由抛物线C：y22px过点P（1，1），得p所以抛物线C的方程为y2x. 抛物线C的焦点坐标为（

1. 211，0），准线方程为x. 441（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为ykx（k0），l与抛物线C的交点为M(x1,y1)，N(x2,y2).

21ykx由2，得4k2x2(4k4)x10. y2x则x1x21k1，. xx12k24k2因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1,y1). 直线ON的方程为y因为 y1y2y1yyy2y12x1x22x112 x2x2y2yyx，点B的坐标为(x1,21). x2x211(kx1)x2(kx2)x12x1x222

x21(2k2)x1x2(x2x1)2 x2(2k2)0，

11k24k2k2 x2所以y1

y2y12x1. x28

故A为线段BM的中点.

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）因为f(x)excosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1,f(0)0.

又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y1.

（Ⅱ）设h(x)ex(cosxsinx)1，则h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.

当x(0,π2)时，h(x)0， 所以h(x)在区间[0,π2]上单调递减.

所以对任意x(0,π2]有h(x)h(0)0，即f(x)0. 所以函数f(x)在区间[0,π2]上单调递减.

因此f(x)在区间[0,π]上的最大值为f(0)1，最小值为f(π)π222.

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）c1b1a1110,

c2max{b12a1,b22a2}max{121,322}1，

c3max{b13a1,b23a2,b33a3}max{131,332,533}2.

当n3时，(bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0， 所以bknak关于kN*单调递减.

所以cnmax{b1a1n,b2a2n,,bnann}b1a1n1n. 所以对任意n1,cn1n，于是cn1cn1， 所以{cn}是等差数列.

（Ⅱ）设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2，则

bknakb1(k1)d2[a1(k1)d1]nb1a1n(d2nd1)(k1).

9

所以ca1n(n1)(d2nd1),当d2nd1时，nb1b1a1n,当d2nd1时，

①当d10时，取正整数md2d，则当nm时，nd1d2，因此cnb1a1n. 1此时，cm,cm1,cm2,是等差数列. ②当d10时，对任意n1，

cnb1a1n(n1)max{d2,0}b1a1(n1)(max{d2,0}a1).

此时，c1,c2,c3,,cn,是等差数列. ③当d10时， 当nd2d时，有nd1d2. 1所以

cnnb1a1n(n1)(d2nd1)nn(dbd1)d1a1d212n n(d1)d1a1d2|b1d2|.

对任意正数M，取正整数mmax{M|b1d2|a1d1d2d,d2}，

1d1故当nm时，

cnnM. 10