机械振动与机械波20个题型分类

机械振动和机械波考点例析

一、夯实基础知识

1、深刻理解简谐运动、振幅、周期和频率的概念

（1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。

特征是：F=-kx,a=-kx/m （2）简谐运动的规律：

1在平衡位置： ○

速度最大、动能最大、动量最大； 位移最小、回复力最小、加速度最小。

2在离开平衡位置最远时： ○

速度最小、动能最小、动量最小； 位移最大、回复力最大、加速度最大。

3振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位○

置间的直线距离。

加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。 （3）振幅A：

,.

振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。 它是描述振动强弱的物理量。 它是标量。

（4）周期T和频率f：

振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒； 单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。 周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f. 2、深刻理解单摆的概念 (1)单摆的概念：

在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。

(2)单摆的特点：

1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○

2单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○

3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，○当最大摆角α<100时，单摆的振动是简谐

运动，其振动周期T=2L。 g42L1计时器；○2测定重力加速度g=(3)单摆的应用：○.

T23、深刻理解受迫振动和共振

(1)受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱

,.

动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。

1共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最(2)共振：○

2产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。○3共振的应用：大，这种现象称为共振。○

转速计、共振筛。

4、熟练掌握波速、波长、周期和频率之间的关系

（1）波长：在波动中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离。

波长通常用表示。

（2）周期：波在介质中传播一个波长所用的时间。

波的周期与传播的介质无关，取决于波源，波从一种介质进入另一种介质，周期不会改变。周期用T表示。

（3）频率：单位时间内所传播的完整波（即波长）的个数。

周期的倒数为波的频率。波的频率就是质点的振动频率。频率用f表示。 （4）波速：波在单位时间传播的距离。

机械波的波速取决于介质，一般与频率无关。波速用V表示。 （5）波速和波长、频率、周期的关系：

① 经过一个周期T ，振动在介质中传播的距离等于一个波长，所以波速为V② 由于周期T和频率f互为倒数（即f =1/T），所以上式可写成Vf 此式表示波速等于波长和频率的乘积。 5、深刻理解简谐运动的图像和波动图像的意义

T

,.

(1)简谐运动的图象：

1定义：振动物体离开平衡位置的位移X随时间t变化的函数图象。不是运动轨迹，它只是○

反映质点的位移随时间的变化规律。

2作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点，用平滑○

线连接各点便得图线。

3图象特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。 ○

(2)简谐运动图象的应用：

1可求出任一时刻振动质点的位移。 ○

2可求振幅A：位移的正负最大值。 ○

3可求周期T：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。 ○

4可确定任一时刻加速度的方向。 ○

5可求任一时刻速度的方向。 ○

6可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 ○

（3）波的图象：

1波的图象是描述在波的传播方向上的介质中各质点在某时刻离开平衡位置的位移。 ○

2简谐波的图象是一条正弦或余弦图象。 ○

3波的图象的重复性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同。 ○

4波的图象反映机械波的有关信息：质点的振幅、波长、介质中各质点在该时刻的位置、○

已知波的传播方向后可确定各质点在该时刻的振动方向和经过一段时间后的波形图。

(4)振动图象和波动图象的联系与区别

,.

联系：波动是振动在介质中的传播，两者都是按正弦或余弦规律变化的曲线；振动图象和波的图象中的纵坐标均表示质点的振动位移，它们中的最大值均表示质点的振幅。

区别：①振动图象描述的是某一质点在不同时刻的振动情况，图象上任意两点表示同一质点在不同时刻偏离平衡位置的位移；波的图象描述的是波在传播方向上无数质点在某一时刻的振动情况，图象上任意两点表示不同的两个质点在同一时刻偏离平衡位置的位移。

②振动图象中的横坐标表示时间，箭头方向表示时间向后推移；波的图象中的横坐标表示离开振源的质点的位置，箭头的方向可以表示振动在介质中的传播方向，即波的传播方向，也可以表示波的传播方向的反方向。

③振动图象随时间的延续将向着横坐标箭头方向延伸，原图象形状不变；波的图象随着时间的延续，原图象的形状将沿横坐标方向整个儿地平移，而不是原图象的延伸。

4○在不同时刻波的图象是不同的；对于不同的质点振动图象是不同的。 6、正确理解波的干涉、衍射现象，了解多普勒效应

（1）波的叠加原理：

在两列波重叠的区域，任何一个质点的总位移都等于两列波分别引起的位移的矢量和。 （2）波的独立传播原理：

在两列波重叠的区域，每一列波保持自己的特性互不干扰继续前进。 (3)波的干涉:

1产生稳定干涉现象的条件：频率相同；振动方向相同；有固定的相位差。 ○

2两列相干波的波峰与波峰（或波谷与波谷）相遇处是振动最强的地方，波峰与波谷（或○

波谷与波峰）相遇处是振动最弱的地方。

,.

拓展——驻波：是一种特殊的干涉现象。驻波的特点是两波节间的各质点均做同时向下或同时向上，但振幅不同的同步调振动；波形随时间变化，但并不在传播方向上移动。

(4)波的衍射:

1波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。 ○

2能够发生明显的衍射现象的条件是：○障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。

(5)多普勒效应

当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。

(6)声波:

1发声体的振动在介质中的传播就是声波。 ○

人耳能听到的声波的频率范围在20Hz到20000Hz之间。

2频率低于20Hz的声波叫次声波。 ○

3频率高于20000Hz的声波叫超声波。 ○

4空气中的声波是纵波。 ○

5能够把回声与原声区别开来的最小时间间隔为0.1S. ○

6声波也能发生反射、干涉和衍射等现象。 ○

声波的共振现象称为声波的共鸣。

二、分析与解析典型问题

问题1：必须弄清简谐运动的判断方法。

,.

要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。

例1、两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。

O

证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx.

所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。

问题2:必须弄清简谐运动中各物理量的变化特点

简谐运动涉及到的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x存在直接或间位移x 位移x

回复力F=-Kx 势能Ep=Kx2/2

加速度a=-Kx/m 动能

Ek=E-Kx2/2 速度V图1

X X 2EK m,.

接关系：

如果弄清了上述关系，就很容易判断各物理量的变化情况。

例2、弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中：

A．振子所受的回复力逐渐增大 B．振子的位移逐渐增大 C．振子的速度逐渐减小 D．振子的加速度逐渐减小。

分析与解：在振子向平衡位置运动的过程中，易知x减小，根据上述关系很容易判断，回复力F、加速度a减小；速度V增大。即D选项正确。

问题3：必须弄清简谐运动的对称性

简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。

理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。

例3、如图2所示。弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s,从b再回到a的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为：

Va Vb d a o 图2

b c ,.

A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz.

分析与解：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经o到a所用的时间也是0.2s,由于“从b再回到a的最短时间是0.4s”,说明振子运动到b后是第一次回到a点，且ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2s,同理，振子从a经d到a,也历时0.2s,故该振子的周期T=0.8S,根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1.25Hz.故本题答B.

例4、如图3所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。

现将重球（视为质点）从c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d.以下关于重球运动过程的正确说法应是 A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。

d C a b

图3

,.

B、重球下落至b处获得最大速度。 C、重球下落至d处获得最大加速度。

D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。

解：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。

a, d C a b

图4

C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a,,使ab=a,b,根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a,的加速度大小相等，方向相反，如图4所示。而在d点的加速度大于在a,点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。

问题4：必须弄清简谐运动的周期性

简谐运动具有周期性，其运动周期T的大小由振动系统本身的性质决定。理解了这一点，在解决相关问题时就不易出错。

例5、有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h。把

,.

地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。

分析与解：设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为：

gGMM,gG hR2(Rh)2据单摆的周期公式可知T02LL ,T2ggh由以上各式可求得h(T1)R T0例6、一弹簧振子作简谐运动，周期为T ，则下列说法中正确的是：

A、若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍； B、若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍； C、若△t=T，则在t时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度 一定相等； D、若△t=T/2 ，则在t时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等。

解：若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，表明两时刻振子只是在同一位置，其速度方向还可能相反，则△t不一定是T的整数倍，故A选项错误。

若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，这时振子可能处于平衡位置两侧的两个对称的位置上，也可能是两次处于同一位置上，这都不能保证△t一定是T/2的整数倍。故选项B错误。

振子每经过一个周期，必然回到原来的位置，其对应的加速度一定相等。故选项C正确。 经过半个周期，弹簧的长度变化大小相等、方向相反，即一个对应弹簧被压缩，另一个

,.

对应弹簧被拉伸，这两种情况下弹簧的长度不相等，可见选项D错误。

综上所述，本题正确答案为C。

问题5：必须弄清简谐运动图象是分析简谐运动情况的基本方法 简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法。

例7、如图5中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两

A 图5

B 摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则

A、如果mA>mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧； B、如果mAC、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置右侧； D、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置左侧 。

分析与解：由于碰撞后两摆球分开各自做简谐运动的周期相同，任作出B球的振动图象如图6所示，而A球碰撞后可能向右运动，也可能向左运动，因此A球的振动图象就有两种情况，如图6中A1和A2。从图中很容易看出无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞只能

图6

发生在平衡位置。即CD选项正确。

从例7可以看出， 利用振动图象分析问题非常简便。希望同学们养成利用图象分析问题

x B A1 t 0 A2 ,.

的习惯。

问题6：会解机械振动与机械能等的综合问题

例8、如图7所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？（g取10m/s2）

8

分析与解：这是一道共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目。 由题意知，当单摆共振时频率f=0.5Hz,即f固0.5Hz,振幅A=8cm=0.08m. 由T24 o 0.250.5 0.75 图7

f/Hz A/cm gL得L42fg21.0m

根据机械能守恒定律可得：

,.

1A222mmVmmgL(1cos),且（1cosm)2sin2 222L 解得VmAg0.25m/s. L问题7：会根据共振的条件分析求解相关问题

例8、如图8所示。曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz.现匀速转动摇把，转速为240r/min。

（1）当振子稳定振动时，它的振动周期是多大？ （2）转速多大时，弹簧振子的振幅最大？

图8

分析与解：根据图示装置可知，当曲转转动一周时，给弹簧振子施加一次作用力，所以振子做受迫振动，当振子振动稳定时其振动周期等于驱动力的周期（即曲轴的转动周期），即：

T=T驱=60/240S=0.25S.

要使振子做受迫振动的振幅最大，即发生共振，必须满足 f驱=f固=2Hz

所以转速为2r/s（即120r/min）时，振子振动的振幅最大

问题8：波的波速、波长、频率、周期和介质的关系：

例9、简谐机械波在给定的媒质中传播时，下列说法中正确的是（ ）

,.

A．振幅越大，则波传播的速度越快； B．振幅越大，则波传播的速度越慢；

C．在一个周期内，振动质点走过的路程等于一个波长；

D．振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短。

分析与解：波在介质中传播的快慢程度称为波速，波速的大小由介质本身的性质决定，与

振幅无关，所以A、B二选项错。由于振动质元做简谐运动，在一个周期内，振动质元走过的路程等于振幅的4倍，所以C选项错误；根据经过一个周期T ，振动在介质中传播的距离等于一个波长，所以振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短，即D选项正确。

例10、关于机械波的概念，下列说法中正确的是（ ） （A）质点振动的方向总是垂直于波的传播方向

（B）简谐波沿长绳传播，绳上相距半个波长的两个质点振动位移的大小相等 （C）任一振动质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长 （D）相隔一个周期的两个时刻的波形相同

分析与解： 质点振动的方向可以与波的传播方向垂直（横波），也可以与波的传播方向共线（纵波），故A选项错误．

相距一个波长的两个质点振动位移大小相等、方向相同，相距半个波长的两个质点振动位移大小相等、方向相反， B选项正确．这是由于相距半个波长的两个质点的振动状态相差半

,.

个周期，所以它们的位移大小相等、方向相反．

波每经过一个周期就要向前传播一个波长，但介质中的各个质点并不随波向前迁移，只是在各自的平衡位置附近振动，向前传播的是质点的振动状态．所以C选项错误．

在波的传播过程中，介质中各点做周期性的振动，相隔一个周期，各质点的振动又回到上一周期的振动状态．因此，相隔一个周期的两时刻波形相同．故D选项正确．

波动是振动的结果，波动问题中很多知识点与振动有关系，因此要搞清波动与振动的联系与区别，在解决问题时才能抓住关键．

问题9：判定波的传播方向与质点的振动方向

方法一：若知道某一时刻t的波形曲线，将波形曲线沿波的传播方向平移一微小的距离（小于

1，它便是t+t时刻的波形曲线，知道了各个质点经过t时间到达的位置，质点的）4振动方向就可以判断出来了。

方法二：通过波的传播方向判断处波源的位置，在质点A靠近波源一侧附近（不超过

1）4图象上找另一质点B，若质点B在A的上方，则A向上运动，若B在A的下方，则A向下运动。即沿波的传播方向，后振动的质点总是追随先振动的质点来运动的。

同侧法，上下坡法

例11、一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图9所示。已知此时质点F的运动方向向下，则

A．此波朝x轴负方向传播 B．质点D此时向下运动

图9

,.

C．质点B将比质点C先回到平衡位置 D．质点E的振幅为零

分析与解：本题主要考查对波的传播方向与波上某质点运动方向间的关系的推理判断，以及对波形图的想像能力。

对于本题，已知质点F向下振动，由上述方法可知，此列波向左传播。质点B此时向上运动，质点D向下运动，质点C比B先回到平衡位置。在此列波上所有振动质点的振幅都是相等的。故只有A、B选项正确。

例12、简谐横波某时刻的波形图如图10所示。由此图可知（ ） A．若质点a向下运动，则波是从左向右传播的 B．若质点b向上运动，则波是从左向右传播的 C．若波从右向左传播，则质点c向下运动 D．若波从右向左传播，则质点d向上运动

分析与解：运用上述逆向复描波形法可立即判定出B、D正确。

图10

,.

问题10：已知波的图象，求某质点的坐标

例13、一列沿x方向传播的横波，其振幅为A，波长为λ，某一时刻波的图象如图11所示。在该时刻，某一质点的坐标为(λ，0)，经过

1周期后，该质点的坐标： 455A．，0 B., -A C.λ, A D. ，A

44

分析与解：如图11所示，波上P质点此刻的坐标为(λ，0)，由于此列波向右传播，据逆向复描波形法可知，此刻质点P向下运动。再过

1周期，它运动到负向最大位移处，其坐标4图11

变为(λ，-A)，显然选项B正确。

问题11：已知波速V和波形，作出再经Δt时间后的波形图

方法一、平移法：先算出经Δt时间波传播的距离Δx=VΔt，再把波形沿波的传播方向平移Δx即可。因为波动图象的重复性，若已知波长λ，则波形平移n个λ时波形不变，当Δx=nλ+x时，可采取去nλ留零x的方法，只需平移x即可。

方法二、特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt=nT+t,由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别作出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律

画出新波形。

,.

例14、如图12所示，a图中有一条均匀的绳，1、2、3、4…是绳上一系列等间隔的点。现有一列简谐横波沿此绳传播。某时刻，绳上9、10、11、12四点的位置和运动方向如图b所示(其他点的运动情况未画出)，其中点12的位移为零，向上运动，点9的位移达到最大值。试在图C中画出再经过

3周期时点3、4、5、6的位置和速度方向，其他点不必4画(图c的横、纵坐标与图a、b完全相同)。

图13

分析与解：作某一时刻的波形图或通过作图确定波上某些质点的位置和速度方向问题，是一个难点问题，主要考查学生的空间想像能力和推理判断能力。

根据图12 b 9、10、11、12各质点的振动情况，可画出此时刻的波形图，如图13所示。由逆向复描波形法可确定各质点的运动(速度)方向(见图13)。

,.

波上质点3此时在负向最大位移处，再经过3T/4，它到达平衡位置且向下运动；质点6此时在平衡位置且向下运动，再经过3T/4它将到达正的最大位移处。因此，质点3、4、5、6的位置和速度方向如图14所示。

例15、一列简谐横波向右传播，波速为v。沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图15所示。某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q

图14

质点运动到波谷。则t的可能值（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分析与解：解答本题，必须做出在题设条件下可能的波的图形，然后才能作出判定。

,.

题中指出：“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符合这一条件的波形图有4个，如图15所示。显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可能值有4个。故D选项正确。

问题12：已知波的图象，求波速

例16、一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0 m，b点在a点的右方，如图16所示。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动，经过1.00s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移达到负极大，则这简谐横波的波速可能等于( )

A．4.67m/s B．6m/s C．10m/s D．14m/s

分析与解：本题考查振动以及波动的传播规律，只有理解波动(图象)传播的规律，准确把握波动过程中的图象关于时间和空间的周期性，才能作出确切和完整的判断。

由于波向右传播，据“a点位移达正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动”，可画出此时a、b间的最简波形，如图17所示。因未明确a、b距离与波长的约束关系，故a、b间的距离存在“周期性”。即

(n1+)ab14m (n1=0,1,2,……)

a b a b 图16

34图17

,.

因所给定时间与周期的关系未知，故运动时间也存在“周期性”。即

1(n2)Tt1.00S (n2=0,1,2,…)

4因此可能的波速为 VT14(4n21)m/S

4n13当n2=0,n1=0时，V=4.67m/s; 当n2=0,n1=1时，V=2m/s; (n2=0,V随n1增大还将减小。)

当n2=1,n1=0时，V=23.3m/s;（n1=0,V随n2的增大而增大.） 当n2=1,n1=1时，V=10m/s;

据以上计算数据，不可能出现B和D选项的结果，故选项A、C正确。

例17、一列横波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为d的M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰，若经过时间t，N质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？

分析与解：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰．由此我们可以推想，处在直线MN上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形（如图18中A、B、C、D图，各图中均为左端为M，右端为N）：

A B C

D

图18

若波的传播方向由M到N，那么：

在A图中，经过时间t，N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离Sd，24,.

且tTd，所以波速v． 4T2t3d3，44 在B图中，经过时间t，波峰传到N点，则波在时间t内向右前进的距离S且td3d3T，所以波速v．

T4t34t4dTd且t，所以波速v． ，

444T4td33 在D图中，经过时间t，波向右前进的距离S，且tT，所以波速

244dv．

T2t 在C图中，经过时间t，波向右前进的距离S 若波的传播方向从N到M，那么：

在A图中，质点N此时要向下振动，经过时间t，N到达波峰，则时间t3T，在时间43d33d，所以波速v． 242tT 在B图中，经过时间t， N到达波峰，则时间t，在此时间内波向左前进的距离

4ddS，所以波速v．

44T4t3d33T 在C图中，波在时间t内向左前进的距离S，且t，所以波速444d3dv．

T4t34t11 在D图中，质点N经过T变为波峰，所以tT，在时间t内波向左前进的距离

44ddS，所以波速v．

64T6tddd3d3d 所以该列波可能的波速有五种v、v、v、v、v．

6t4t2t4t2tt内波向左前进的距离S 其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N点的距离S，波速v就等于向上到N点的距离SS．例如：最后一种情况中，波峰在传播方tdSd，所以波速v．其它情况读者可自行解决． 6t6t,.

问题13：已知某质点的振动图象和某时刻的波动图象进行分析计算

例18、图19甲所示为一列简谐波在

y/cm 0.2 P 0 50 100 150 200 x/cm 图19(甲)

t=20s时的波形图，图19乙是这列波中P点的振动图线，那么该波的传播速度和传播方向是：

A．V=25cm/s,向左传播； B．V=50cm/s,向左传播； C．V=25cm/s,向右传播； D．V=50cm/s,向右传播。

分析与解：由图19甲读出λ=100cm,由图19乙读出T=2S，据V=λ/T得V=50cm/s.

将图19乙之y-t图延长到t=20s时刻，可以看出P点运动方向向上，再看图19甲，波若向右传播，则P运动方向向下，波若向左传播，则P运动方向向上，故判定波是向左传播

图19(乙)

的。

综上所述，本题应选B。

y/cm 0.2 t/s 0 1 2 3 4 5 ,.

问题14：已知某两质点的振动图象进行分析计算 例19、一列机械波沿直线ab

a

ab=2m,a、b两点的振动情况如图

y/cm 法中正确的是：

A．波速可能是

t/s b 20所示，下列说向右传播，

2m/s 430 a 2 b 4 图20（甲）

8m 32C．波长可能大于m

38D．波长可能大于m。

3B．波长可能是

图20乙

分析与解：t=0时刻，a质点在波谷，b质点在平衡位置且向y轴正方向运动，根据波由

3n2.(n0,1,2) 4828这样由此可知波长不可能大于m（对应的波速也不可能大于m/s）。(m)，

4n333882当n=0时，(m)；当n=10时，(m)，由V=λ/T得对应的波速Vm/s。

34343a传向b（如图20甲所示），可知波长λ满足故选项AB正确。

问题15：已知某两时刻的波动图象进行分析计算。 例20、一列横波如图21所示，波长8m，实线表示

y x O 图21

t10时刻的波形图，虚线表示t20.005s时刻的波形

图．求：

（1）波速多大？

（2）若2Tt2t1T，波速又为多大？ （3）若Tt2t1，并且波速为

,.

3600m/s，则波沿哪个方向传播？

分析与解：（1）因为题中没有给出波的传播方向，故需要对波沿x轴正方向和x轴负方向传播分别进行讨论．又因为题中没有给出tt2t1与周期T的关系，故需要考虑到波的重复性．

若波沿x轴正方向传播，则可看出是波形传播的最小距离

12m 4 波传播的可能距离是 SS0n8n2（ m）

S8n2 则可能的波速为 V） 1600n400( m/s）,（n = 0、1、2、……，

t0.0053 若波沿x轴负方向传播，则可看出是波形传播的最小距离S06m

4 波传播的可能距离是SS0n8n6（ m）

S8n6 则可能的波速为 V） 1600n1200( m/s）,（n = 0、1、2、……，

t0.005（2）当2Tt2t1T时，根据波动与振动的对应性可知2S，这时波速的通

S0解表达式中n=1．

若波沿x轴正方向传播，则波速为 V1600n4002000（ m/s） 若波沿x轴负方向传播，则波速为 V1600n12002800（ m/s）

（3）当Tt2t1，波速为3600m/s时，根据波动与振动的对应性可知t2t1T， 所以波向前传播的距离大于波长S，而且可以计算出 SVt36000.00518（m） 由于波长等于8m，这样波向前传播了

S1812个波长．由波形图不难判断出波是84沿x轴向右传播的．也可以由波速的通解表达式来判断：

若波沿x轴正方向传播，则波速为 V1600n400（ m/s），当n=2时， V3600（ m/s）．

若波沿x轴负方向传播，则波速为 V1600n1200（ m/s），当n=1时，V2800/（ m/s），当n=2时，V4400（ m/s）．

所以波是沿x轴向右传播的．

,.

问题16：能正确确定振动加强和振动减弱位置。

例21、如图22所示，在半径为R=45m的圆心O和圆周A处，有两个功率差不多的喇叭，同时发出两列完全相同的声波，且波长=10m。若人站在B处，正好听不到声音；若逆时针方向从B走到A，则时而听到时而听不到声音。试问在到达A点之前，还有几处听不到声音？

1分析与解：因为波源A、O到B点的波程差为r=r1—r2=R=45m=4，所以B点发

2生干涉相消现象。

在圆周任一点C上听不到声音的条件为：

r = r1—r2 =（2k+1）=5（2k+1）

2将r2=R=45m代入上式得：r1=5（2k+1）+ r2 所以：r1=10k+50 或 r1= —10k+40

而0 < r1 < 90m，所以有：0 <（10k+50） < 90m 和 0 <（—10k+40） < 90m

求得 :—5 < k < 4

即k = —4、—3、—2、—1、0、1、2、3，所以在到达A点之前有八处听不到声音。 问题17：能正确作出两列波叠加后的波形图。 确定两列波相遇后的波形问题的思路是首先根据波的独立传播原理分别画出给定时刻的两列波的波形；再根据

图

波的叠加原理，对各个质点的位移进行合成，画出叠加以后的波形图。

例22、如图23甲所示，两列相

23图22

a

b 图23乙

c

d

,.

同的波相向传播，当它们相遇时，图23乙中可能的波形是：

A．图（a）和图(b); B．图（b）和图(c); C．图（c）和图(d); D．图（a）和图(d).

分析与解：当两列相遇时，达到图24所示的状态时，叠加以后的波形应是图23乙(b).

当两列相遇时，达到图25所示的状态时，叠加以后的波形应是图23乙(c). 所以正确答案应是B.

例23、A、B两波相向而行，在某时刻的波形与位置如图26所示，已知波的传播速度为

图24 图25

A

B

图26 图27

V，图中标尺每格长度为L，在图中画出又

经过t=7L/V时的波形。(参考答案

分析与解：根据波的叠加原理很容易确定经过t=7L/V时的波形如图27所示。 问题18：确定两列频率不相同的波叠加后的各质点的运动情况。

不同频率的两列波相遇也可以叠加，也存在振动加强和振动减弱的点，但这些点不是固定的，而是随时变化的，因此看不到稳定的干涉图样。

,.

例24、如图28所示，一波源在绳的左端发生半个波1，频率为f1,振幅为A1；同时另一波源在绳的右端发生半个波2，频率为f2,振幅为A2.图中AP=PB，由图可知（ ）

A、两列波同时到达P点；

B、两列波相遇时，P点的波峰可达（A1+A2）； C、两列波相遇后各自保持原来波形独立传播；

D、两列波相遇时，绳上振幅可达（A1+A2）的质点只有一点。

分析与解：1、2两列波在同一条绳上传播，波速相同，所以A、B的运动状态传播相同距离历时相同，两列波应同时到达P点，选项A是正确的；两列波到达P点后，在彼此穿过区间，P处质点的位移为两列波独立引起的位移之和，由于两波频率不同，波长不同，相向传播时，两波峰不会同时到达P点，故在P处两列波叠加的位移峰值不会达到（A1+A2），选项B是错误的；两波峰可同时到达的一点应是与图28中现正处于波峰的两质点的平衡位置等距的一点：如果f1>f2,则λ1<λ2,则P点右侧某处质点振幅可达到（A1+A2），而如果f1λ2,则P点左侧某处质点振幅可达到（A1+A2），选项D是正确的；根据波的叠加原理，两列波相遇后各自保持原来的波形，即如选项C所述。

综上所述，本题正确答案为ACD.

问题19：确定两列波叠加后某质点的振动方向

在两列波相遇的区域里，任何一个质点的振动

1

a

1

b

1 2 A P 图28

B 甲

2

图29

乙

2 ,.

速度，都等于两列波分别引起的振动速度的矢量和。

例25、.两列沿相反方向传播的振幅和波长都相同的半波，如图29（甲）所示，在相遇的某一时刻两列波“消失”,如图29（乙），此时图中a、b质点的振动方向是：

A．a向上，b向下； B. a向下，b向上； C. a、b都静止； D. a、b都向上。

分析与解：两列波在相遇的某一时刻两列波“消失”了，是因为两列波分别引起各质点的位移矢量和为零。但两列波分别引起各质点总的振动速度的矢量和不为零。对于a点，波1使其振动的速度为零，波2使其振动的速度也向下，故a点的振动合速度应向下。而对于b点，波1使其振动的速度方向向上，波2使其振动的速度为零，故b点的振动合速度应向上。所以B选项正确。

问题20：会解波动现象在工农业生产中的应用问题。

例26、利用超声波可以探测鱼群的位置。在一只装有超声波发射和接收装置的渔船上，向选定的方向发射出频率f=5.8×104Hz的超声波后，经过时间t=0.64s收到从鱼群反射回来的反射波。已知这列超声波在水中的波长λ=2.5cm,求鱼群到渔船的距离是多少？

分析与解：所发射的超声波在水中的传播速度为： Vf2.51025.8104m/s1450m/s

超声波往返的路程为SVt14500.64m928m 渔船到鱼群的距离为：S1=S/2=464m. 例27、利用超声波测量汽车的速度

超声波遇到障碍物会发生反射，测速仪发出并接收反射回来的超声波脉冲信号，根据发

,.

出和接收到的时间差，测出汽车的速度。图30（a）是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的时间差，测出汽车的速度。图30（b）中是测速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是由汽车反射回来的信号。设测速仪匀速扫描，p1、、p2之间的时间间隔Δt＝1.0s，超声波在空气中传播的速度是V＝340m./s，若汽车是匀速行驶的，则根据图（b）可知，汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是 m，汽车的速度是_____________m/s

分析与解：本题由阅读图30（b）后，无法让人在大脑中直接形成测速仪发射和接受超声波以及两个超声波在传播过程中量值

A 关系形象的物理图象。只有仔细地分析图30（b）各符号的要素，深刻地思考才会在大脑中形成测速仪在P1时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t1=0.4S

接收到信号，在P2时刻发出的超声波，经汽车反射后经过t2=0.3S接收到信号的形象的物理情景图象。根据这些信息很容易给出如下解答：

汽车在接收到p1、、p2两个信号之间的时间内前进的距离是:

S=V（t1-t2）/2=17m，汽车通过这一位移所用的时间t=Δt-（t1-t2）/2=0.95S.所以汽车的速度是V1S/t17.9m/S.

三、警示易错试题

典型错误之一：因忽视周期性引起的多解而出错。 例28、如图31所示，光滑的弧形槽的半径为R（R远大于

C M A N B 0

P1

1

n1

2

3

P2 图30b 图30a

4 n2

5

B

图31

,.

弧长MN），A为弧形槽的最低点。小球B放在A点正上方离A点的高度为h，小球C放在M点。同时释放两球，使两球正好在A点相碰，则h应为多大？

错解 :对B球，可视为单摆，延用单摆周期公式可求C球到达O点的时间：

tCTC42R g对B球，它做自由落体运动，自h高度下落至O点tB2h. g2h要求两球相碰，则应有tB=tC,即g22RR。 ，解得：h8g分析纠错：上述答案并没有完全错，分析过程中有一点没有考虑，即是振动的周期性，因为C球在圆形轨道上自C点释放后可以做往复的周期性运动，除了经过TC/4时间可能与A相碰外，经过t=TC/4+NtC(N=0,1,2……)的时间都可以与A相碰。正确答案是：

1h2(2n1)2R (n=1,2,3,4……)

8典型错误之二：因对波的叠加原理理解不深刻而出错。

例29、两列简谐波均沿x轴传播，传播速度的大小相等，其中一列沿x轴正方向传播，如图32中实线所示。一列波沿x负方向传播，

y 如图32中虚线所示。这两列波的频率相等，振动方向均沿y轴，则图中x=1,2,3,4,5,6,7,8

Vx Vx x 01 2 3 4 5 6 7 8 x 图32

,.

各点中振幅最大的是x= 的点，振幅最小的是x= 的点。

错解：从图中可以看出：振幅最大的是x=2，6的点，振幅最小的是x=4，8的点。 分析纠错：对于x=4、8的点，此时两列波引起的位移的矢量和为零，但两列波引起的振动速度的矢量和最大，故应是振动最强的点，即振幅最大的点。对于x=2和6的点，此时两列波引起的位移矢量和为零，两列波引起的振动速度的矢量和也为零，故应是振动最弱的点，即振幅最小的点。

典型错误之三：因没有理解波的图像会随时间变化而出错

例30、 如图33所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到x=5m的M点时开始计时，已知P点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4s，下面说法中正确的是（ ）

图33

A．这列波的波长是4m

B．这列波的传播速度是10m/s

C．质点Q（x=9m）经过0.5s才第一次到达波峰

D．M点以后各质点开始振动时的方向都是向下

错解：由质点Q（x=9m），经过0.4s波传到它，又经过T/4（0.1s）Q点第一次到达波峰，所以C对。

分析纠错 ：（1）从图33上可以看出波长为4m，选A。

,.

（2）实际上“相继出现两个波峰”应理解为，出现第一波峰与出现第二个波峰之间的时间间隔。因为在一个周期内，质点完成一次全振动，而一次全振动应表现为“相继出现两个波峰”，即T=0.4s。则V=λ/T=10m/s,所以B选项正确。

（3）质点Q（x=9m）经过0.4s开始振动，而波

是沿x轴正方向传播，即介质中的每一个质点都被它左侧的质点所带动，从波向前传播的波形图34可以看出，0.4s波传到Q时，其左侧质点在它下方，所以Q点在0.5s时处于波谷。再经过0.2ss即总共经过0.7s才第一次到达波峰，所以选项C错了。

（4）从波的向前传播原理可以知道，M以后的每个质点都是先向下振动的。所以选项D是对的。

此题正确答案为A，B，D。

典型错误之四：因错误认为“双向波”是一列波而出错 例31、如图35所示,S为上下振动的波源， 振动频率为100Hz，所产生的横波左右传播， 波速为80m/s，已知P、Q两质点距波源S的距离为SP=17．4m，SQ=16．2m。当S通过平衡位置向上振动时，P、Q两质点的位置是：

A．P在波峰，Q在波谷； B．都在波峰；

图36

C．都在波谷 ；

D．P在波峰，Q在波峰。

图35

图34

,.

错解：根据λ=VT=0.8m,SP=17．4m=(21+3/4)λ,SQ=16．2m=(20+1/4)λ,据此可作出波形图如图36所示，故可得到“P在波峰，Q在波峰”，而错选D。

图37

分析纠错：波源S在振动的过程之中要形成分别向左右传播的两列波，波形应如图37所示，故可得到“P在波峰，Q在波谷”，而应选A。

典型错误之五：因忽视各质点的振动方向与波源的起振方向相同而出错。

例32、在均匀介质中，各质点的平衡位置在同一直线上，相邻两质点的距离均为s，如图38甲所示。振动从质点1开始向右传播，质点1开始运动时的速度方向竖直向上。经过时间t，前13个质点第一次形成如图38乙所示的波形。关于这列波的周期和波速有如下说法

A.这列波的周期T=2t/3 B这列波的周期T=t/2 C.这列波的传播速度v=12s/T D.这列波的传播速度v=16s/T

错解：由图38可知：波长λ=8s,而在时间t内波向前传了3λ/2,所以周期T=2t/3，传播速度v=12s/T，即AC正确。

图38

,.

分析纠错：上述解答错在没有理解题意，题说“经过时间t，前13个质点第一次形成如图38乙所示的波形”，并不说波只传到前13个质点。如果是只传到前13个质点，由于第13个质点此时振动方向向下，所以质点1开始运动时的速度方向也应该竖直向下，这与题给条件矛盾。所以在时间t内波向前传了2λ,所以周期T=t/2，传播速度v=16s/T，即BD正确。

四、如临高考测试

1、一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1／4，在地球 上走得准的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是：

A、1／4h B、1／2h C、2h D、4h

2、如图39所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D，其中甲是从圆心A出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B到达另一端D，丙沿圆弧轨道从C点运动D，且C点很靠近D点。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是：

A．甲球最先到达D点，乙球最后到达D点； B．甲球最先到达D点，丙球最后到达D点； C．丙球最先到达D点，乙球最后到达D点；

B A D C 图39

D．甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点。

3、把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，筛子在做自由振动时，每次全振动用时1s，在某电压下电动偏心轮转速是36r/min。已知如果增大电压可以使偏心轮转速提高，增大筛子的质量，可以增

,.

大筛子的固有周期。那么，要使筛子的振幅增大，下列哪些做法正确（ ） ①提高输入电压

②降低输入电压

③增加筛子质量

④减小筛子质量

A．②④ B．②③ C．①③ D．①④

4、如图40，一弹簧振子A沿光滑水平面作简谐运动。在振幅

B 相同的条件下， 第一次当振子A通过平衡位置时，将一块橡皮泥B轻粘在A上共同振动，第二次当振子A刚好位于位移最大值时将同一块橡皮泥轻粘在A上之后的振`动过程中，具有相同物理量的是：

A、振幅； B、周期；

C、最大速度值； D、最大加速度值 。

5、细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬点正下方

图40

A 1摆长处有一个能挡住2摆线的钉子A，如图41所示。现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放。对于以后的运动，下列说法中正确的是（ ） A． 摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小； B． 摆球在左、右两侧上升的最大高度一样； C． 摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等； D． 摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍。

6、一列简谐波沿一直线向左运动，当直线上某质点a

向上运动到达最大位移时，a点右方相距0.15m

右 左 a b

图41

A • 图42

,.

的b点刚好向下运动到最大位移处，则这列波的波长可能是（ ） A．0.6m B．0.3m C．0.2m D．0.1m

7、图43中，波源S从平衡位置y=0开始振动，运动方向竖直向上(y轴的正方向)，振动周

期T=0.01s，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为V=80m/s．经过一段时间后，P、Q两点开始振动,已知距离SP=1.2m、SQ=2.6m．若以Q点开始振动的时

刻作为计时的零点，则在图44的振动图象中，能正确描述P、Q两点振动情况的是（ ）

A. 甲为Q点振动图象； B. 乙为Q点振动图象

V P

S 图43

V Q

y t 0 T 2T 0 y t T 2T 0 y t T 2T 0 y t T 2T 甲

乙 图44

丙 丁 C. 丙为P点振动图象； D. 丁为P点振动图象

8、如图45，一简谐横波在x轴上传播，轴上a、b两点相距12m。t ＝0时a点为波峰，b点为波谷；t ＝0.5s时，a点为波谷，b点为波峰。则下列判断中正确的是 A．波一定沿x轴正方向传播 ;

0 B．波长可能是8m; C．周期可能是0.5s;

a 图45

b x ,.

D．波速一定是24m/s.

9、一列简谐横波沿x轴负方向传播，图46是t = 1s时的波图，图47是波中某振动质元位移随时间变化的振动图线(两同同一时间起点)，则图47可能是图46中哪个质元的振动线？（ ）

A．x = 0处的质元； B．x = 1m处的质元； C．x = 2m处的质元； D．x = 3m处的质元。

y/m O 1 2 3 4 5 x6 /m 形图用图

图46 y/m O 1 2 3 4 5 6 t/s 图47 10、公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时

间内货物在坚直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。

x 取竖直向下为正方向，以某时刻作为计时起点，即t0，其振动图象如图48所示，则（ ）

o t T/2 图48 T 1T时，货物对车厢底板的压力最大; 41B． tT时，货物对车厢底板的压力最小;

23C． tT时，货物对车厢底板的压力最大;

43D． tT时，货物对车厢底板的压力最小.

4A． t11、某人在山脚下（设与海平面等高）测得一单摆的周期为T0,在山顶上测得此单摆的周期变化了ΔT,设山脚处地球的半径为R，则此山高度为 。 12、一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t=0时刻的波形如图49所示，已知在t=1.1s时刻，质点P出现第三次波峰，那么质点Q第一次出现波峰的时间是_______。

图49

,.

13、如图50所示，一块涂有炭黑玻璃板，质量为2kg，在拉力F的作用下，由静止开始竖直向上运动。一个装有水平振针的振动频率为5Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线，量得

OA=1cm,OB=4cm,OC=9cm.求外力F的大小。（g=10m/s2,不计阻力）

F O A B C 图50

14、公安警车正以40m/s的速度追赶一罪犯，警报器每隔0.5s响一声（响声时间很短，可以不计），而罪犯在前方也以20m/s的速度逃跑，则罪犯听到警声的时间间隔是多少？若要罪犯听不到警报声，则罪犯应以多大的速度逃跑？

15、某台心电图仪的出纸速度（纸带移动的速度）为2.5cm/s,医院进行体检时记录下某人的心电图如图51所示，已知图纸上每小格边长为5mm。设在每分钟时间内人的心脏搏动次数为人的心率，则此人的心率约为多少？（保留两位有效数字）.

图51

(参考答案见下期讲座)

,.

专题六：动量考点例析如临高考测试参考答案：

1.D; 2.C; 3.D; 4.BD; 5.B; 6.C; 7.A; 8.C; 9.9:1; 10. mVctanθ; 11.0,2; 12.rV; 13.100kg.

14.解：机车启动时，由牛顿第二定律得:F-kmg=ma1. 根据运动学公式,V12a1d,V12(2222Fkg)d m机车挂接2号车厢的极短时间动量守恒：mV1=2mV2. 在加速阶段，F-k.2mg=2ma2,V2/2V222a2d,V2/23F5(kg)d 2m3/机车挂接3号车厢，2mV23mV3

在加速阶段，Fk.3mg3ma3,V3/2V322a3d

同理可得3号车厢挂接、加速后的速度V3/为： V3/24F7nF2n1(kg)dVn/21(kg)d 3m3n1m3挂接车厢n时有(n-1)mV/n-1=nmVn得：

Vnn1F2n1(kg)d nm3F2n12n1kg0,所以Fkmg. m332n1临界值为Fkmg，不倒车时牵引力为：F0=kmg.

3要求Vn≥0,即要求

比较知F15.解：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量

守恒定律，有 MV1m(V1u)0

狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度V1满足 MV1mv(Mm)V1

,.

可解得 V1Mmu(Mm)mv

(Mm)2 将u4m/s,v5m/s,M30kg,m10kg代入，得 V12m/s

（2）设雪橇运动的方向为正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度为Vn－1，则狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度Vn1满足 MVn1mv(Mm)Vn1

这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vn满足 MVnm(Vnu)(Mm)Vn1 解得 Vn(vu)[1(Mn1muMn1)]()

MmMmMm狗追不上雪橇的条件是 Vn≥v 可化为 (M(Mm)u)n1

MmMu(Mm)vlg( 最后可求得 n1Mu(Mm)v)(Mm)u，代入数据，得 n3.41

Mmlg()M狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终的速度大小为 V4=5.625m/s