复数的基本概念及其运算

复数的基本概念及其运算

一、考点：

(1) 复数的概念

(2) 复数的几何意义。

(3)复数的运算法则，能正确地进行复数的运算

二、主要内容

1.引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根吗？

2．复数的有关概念和性质：

2(1)i称为虚数单位，规定i1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b∈R．

(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)

(3)复数的相等设复数

z1a1bi1,z2a2b2i(a1,b1,a2,b2R)，那么z1z2的充要条件是：

1

a1b1且a2b2．

注：两个不全为实数的复数不能比较大小(如：2i>i,2i=i,2i(4)复数的几何意义表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．

复数z=a+bia,bR．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)

向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．

22|z|ab(6)复数的模：对于复数z=a+bi（a，b∈R），|z|表示复数z的模，

(7)复数与实数不同处:

①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较

2

大小．

②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．

3．复数的代数运算

（1）i4n=1，i

4n1=i，i

4n2=1，i

4n3=i；

（2）in· i

n1· i

n2·i

n3

=1， in＋i

n1＋i

n2＋i

n3

=0；；

5z1abi，z2cdia，b，c，dR，z1z2acbdi；z1•z2acbdbcadi；特别，若zabia，bR，则z•zz2a2b2；z1abizdiabicdicdicdiacbdc2d2bcadc2d2iz202c(6)复数的乘法满足交换律、分配率与结合律：

z1z2z2z1;(z1z2)z3z1(z2z3)

z1(z2z3)z1z2z1z3

三、典型例题分析

3

①实数？②虚数？③纯虚数？ ④在复平面上对应的点第三象限?

2、已知复数a2z7a6a21(a25a6)i(aR)，实数a取什么值时，z分别为：

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.

3、实数k为何值时，复数z(1i)k2(35i)k2(23i)分别是：

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.

练习： 若xR，x3i27iR，则x__________

例2 已知x2y26(xy2)i0，求实数x,y的值.

例3 已知a12ai44i，求复数a.

例4 已知x是实数，y是纯虚数，且满足（2x1）iy(3y)i,求x与y. 练习：求适合等式：(3x1)iy(y2)i的x,y的值，其中xR，y是纯虚数.

例5 (1)复数zii2在复平面对应的点在第_______象限。

4

(2)若z12i，z23ai(aR)，z1z2的和所对应的点在实轴上，则a为（ ）

Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．1

(3)复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则（ ）

Ａ．a2或a1 Ｂ．a2且a1 Ｃ．a0 Ｄ．a2或a0

(4)设z(2t25t3)(t22t2)i，tR，则下列命题中正确的是（ ）

Ａ．z的对应点Z在第一象限 Ｂ．z的对应点Z在第四象限

Ｃ．z不是纯虚数 Ｄ．z是虚数

2练习：当3m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于 ( A.第一象限； B.第二象限； C.第三象限； D.第四象限

3i例6 (1)复数

z12i的共轭复数是__________。

(2)复数abi(a，bR)等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）

Ａ．(ab)21 Ｂ．a2b21 Ｃ．a2b21 Ｄ．(ab)21

(3)已知复数z1i，求实数a、b使az2bz(a2z)2

)

5

(5i)(3i)5i________|(32i)(4i)|__________i例7 计算(1) 1i_________已知z112i，则12iz等于________

(2)设复数z满足，求复数z.

(3)设z1,z2C，已知|z1||z2|1,|z1z2|2，求|z1z2|.

i2i123i例8 计算：(1)1i;(2)94i;(3)(92i)2;(4)32i;(5)(12i)(34i)(2i);

(32i)(6)(62i)(3i1);(7)(32i)(13i);(8)(32i)(13i)(9)(13i)

13i例9 (1)i是虚数单位，复数12i_________

1ai(2)设i是虚数单位，复数2i为纯虚数，则实数a为_________.

(3)如果复数

(m21)(1mi)是实数，则实数m=_________. (4)设复数z11i,z2x2i(xR),若z1z2R,则x________.

(5)计算(abi)(abi)(abi)(abi)(其中a,bR).

例10 (1)如果复数

(m2i)(1mi)是实数，则实数m____________. 6

xy5 (2)设x,y为实数，且1i12i13i，则xy 。

iz2z12i,z213iz (3)已知复数，则复数 15 = 。

(4)已知z2i，则z34z25z2 ．

z2azb1i22z1i，a，bz3z4 (5)已知为实数．若，求；若zz1，求a，b的值．

1i623i134()(i)32i 22例11 计算:(1);(2)1i1i2i123i2 (4)1i2i3i4......i2010 (3)

1523i22(5)

i2009(22i)8(25023i22i8)()1i123i13i

例12

求-13i的平方根。22

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