2018年福建省莆田市初中初三市质检数学试卷及答案

(总分值:150分；考试时间:120分钟)

注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置。

一、选择题(每题4分，共40分) (1)2018的相反数为〔 〕 (A)2018

(B)

1 12018 (C) 2018 (D) 2018 (2)以下式子运算结果为2a的是〔 〕

(A)aa2 (B) 2a (C) aa (D) a3a

(3)假设一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是半径相等的圆，则这个几何体是〔 〕 (A)圆柱 (B)球 (C) 正方体 (D)圆锥 (4)以下说法中，正确的选项是〔 〕

(A)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 (B)对角线相等的四边形是矩形 (C)对角线互相垂直的四边形是菱形 (D)有一组邻边相等的矩形是正方形

(5)假设x=1是关于x的方程x2-2x+c=0的一个根，则c的值为〔 〕

(A) 1 (B)0 (C) 1 (D)2

(6)如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C．假设OA=3， O tan∠AOB=

43，则BC的长为〔 〕 C (A)2 (B)３ (C)４ (D)５

A B

(7)一组数据：2，3，3，4，假设添加一个数据3，则发生变化的统计量是〔 〕 (A)平均数 (B)中位数 (C)众数 (D)方差

(8)已知一次函数y=kx+1的图象经过点A，且函数值y随x的增大而减小，则点A的坐标可能是〔 (A)(2，4) (B)(-1，2) (C )(-1，-4) (D)(5，1)

(9)如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°将△BMN沿养MN翻折，得到△FMN．假设 MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为〔 〕

(A) 70° (B) 80° (C) 90° (D) 100°

C y

D N F B

A

A M B O x (10)如图，点A、B分别在反比例函数y=1x(x>0)，y=aOBx (x<0)的图象上．假设OA⊥OB，

OA2，则a的值为〔 〕

(A)4 (B)4 (C) 2 (D)2

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〕 二、填空題(每题4分，共24分〕 (11)计算：38=________．

(12)我国五年来(2013年~2018年)经济实力跃上新台阶，国内生产总值增加到827000亿元． 数据827000亿元用科学记数法表示为________亿元．

(13)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，假设AB=5，AE=4，则正方形EFCH的面积为________．

A A D

G H F

E F E B D B C C (14)如图，△ABC中，AB=35，AC=45．点F在AC上，AE平分∠BAC，AE⊥BF于点E．假设点D为 BC中点，则DE的长为________．

(15)小峰抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“至少出现一次正面朝上”的概率为________．

(16)2010年8月19日第26届国际数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖．

根据蔡勒公式可以得出2010年8月19日是星期________． (注：蔡勒(德国数学家)公式：W=2cy44cy26(m1)d1 10其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c——所求年份的前两位，y所求年

份的后两位，m—月份数(假设是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即3≤m≤14)，d——日期数，[a]—表示取数a的整数部分．) 三、解答题(86分) (17)先化筒，再求值：

a11，其中a=3． 2a2a1a1A

(18)( 8分)如图，等边△ABC．

(1)求作一点D，连接AD、CD，使得四边形ABCD为菱形； (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

B (2)连接BD交AC于点O，假设OA=1，求菱形ABCD的面积．

(19)( 8分)保险公司车保险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保 人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表： 上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5 a 4 1.75a ≥5 2 a C 该公司随机调查了该险种的300名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计图： (1)样本中，保费高于基本保费的人数为________名； (2)已知该险种的基本保费a为6000元，估计一名

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续保人本年度的平均保费．

(20)( 8分)如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．分别以AB、AC 为边在AB同侧作等边△ABD和等边△ACE，连接DE． (1)判断△ADE的形状，并加以证明； A D (2)过图中两点画一条直线，使其垂直平分图中的某条线段，并说明理由． E

(21)( 8分)水果店在销售某种水果，该种水果的进价为10元/kg根据以往的销售经验可知： 日销量y(单位：kg)随售价x(单位：元/kg)的变化规律符合某种函数关系． 该水果店以往的销售记录如下表：(售价不低于进价) 售价x(单位：元/kg) 日销量y(单位：kg) 10 30 15 20 20 15 25 12 30 10 B C 假设y与x之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断y与x之间的函数关系，并写出其解析式；

(2)水果店销售该种水果的日利润能否到达200元?说明理由．

(22)( 10分)如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为N，连接AC． (1)假设ON=1，BN=3，求BC长；

(2)假设点E在AB上，且AC2=AE·AB，求证：∠CEB=2∠CAB．

C A E N O D

B (23)( 10分)规定：在平面直角坐标系内，某直线l1与绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线l2称

为l1的“旋转垂线． (1)求出直线yx2的“旋转垂线”的解析式； (2)假设直线yk1x1(k10)的“旋转垂线”为直线

yk2xb，求证：k1·k2=1．

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(24)( 12分)如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为点D．点P是AD上一点，PQ⊥AC于点Q，

连接BP、DQ． (1) 求证：

AQAD=； APABD(2)求证：∠DBP=∠DQP；

(3)假设BD=1，点P在线段AD上运动(不与A、D重合)，设DP=t， 点P到AB的距离为d1，点P到DQ的距离为d2．记S=求S与t之间的函数关系式．

C d1， d2B Q P A

(25)( 14分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，且△ABC为等腰 直角三角形．

(1)当A(1，0)，B(3，0)时，求a的值； (2)当b2a，a0时，

(i)求该二次函数的解析式(用只含a的式子表示)；

(ii)在1≤x≤3范围内任取三个自变量x1、x2、x3，所对应的的三个函数值分别为y1、y2、 y3， 假设以y1、y2、 y3为长度的三条线段能围成三角形，求a的取值范围．

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参考答案与评分标准

(1) C (2) C (3) B (4) D (5) C (6) A (7) D (8) B (9) B (10) A

(11) 2 (12) 8.27105 (13) 1 (14) 三、解答题

(17) (本小题总分值8分)

解：原式=

53 (15) (16) 四 24aa11 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 2(a1)a1aa1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

(a1)2a =

=

1 ┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 a1 ∵a＝31. ∴原式=

113. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 33113(18) (本小题总分值8分)

(I) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 如下图，点D就是所求作的点. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

(II) 在菱形ABCD中，∠BAC=60°，OB⊥OA， ┄┄┄5分 ∴在Rt△OAB中，tan∠OAB=tan60°=∵OA=1

∴BO3，BD=23. ┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 又∵AC=2OA=2 ∴菱形ABCD的面积SOB. OA1BDAC23. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 2(19) (本小题总分值8分)

(I) 120 ┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 (II) 解：平均保费为

6000(1000.85801401.25401.5301.75102)

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=6950(元) ┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 (20) (本小题总分值8分)

(I) △ADE是等腰直角三角形. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 理由：在等边△ABD和等边△ACE中， ∵BA=DA，CA=EA，∠BAD=∠CAE=60°. ∴∠BAD -∠CAD=∠CAE -∠CAD. 即∠BAC=∠EAD.

∴△ABC≌△ADE. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ∴AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE ∵ AB=BC，∠ABC=90° ∴AD=DE，∠ADE=90°

即△ADE是等腰直角三角形. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 (II) 连接CD，则直线CD垂直平分线段AE.

(或连接BE，则直线BE垂直平分线段AC) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

理由：由(I)得DA=DE. 又∵CA=CE.

∴直线CD垂直平分线段AE. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 (21) (本小题总分值8分)

(I) 解：观察可知，售价x与日销量y的乘积为定值300.

y与x之间的关系为反比例函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 设函数解析式为y (k0).

当x10,y30时，k300. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

∴函数解析式为ykx300 . ┄┄ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 x300200. x(II)解： 能到达200元. 理由：依题意：(x10) 解得：x30. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 经检验，x30是原方程的解，并且符合题意. ┄┄┄┄┄┄┄7分 答：当售价30元/kg时，水果店销售该种水果的日利润为200元. ┄┄┄┄8分 (22) (本小题总分值10分)

(I)解：∵AB⊥CD，垂足为N

∴∠BNO=90°

在Rt△ABC中，∵ON=1，BN=3

BN3┄┄┄3分 ∴BOBNON2，tanBONON22A∴∠BON=60° ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

2EN1COD∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄5分

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B

(II)证明：如图，连接BC

∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴

. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

∴∠1=∠CAB

∵ACAEAB，且∠A=∠A

∴△ACE∽△ABC ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∴∠1=∠2 ∴∠CAB=∠2

∴∠CEB=∠CAB+∠2=2∠CAB. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 (23) (本小题总分值10分)

(I)解：直线yx2经过点〔2，0〕与〔0，2〕，

则这两点绕原点O顺时针旋转90°的对应点为〔0，-2〕与〔2，0〕┄┄┄2分 设直线yx2的“旋转垂线”的解析式为ykxm (k0) ┄┄3分 把〔0，-2〕与〔2，0〕代入ykxm

2b2k1得：.解得.

2km0m2即直线yx2的“旋转垂线”为yx2； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 (II) 证明：直线yk1x1 (k10)经过点〔1，0〕与〔0，1〕， ┄┄┄┄6分 k11〕与〔1，0〕， ┄┄8分 k1则这两点绕原点O顺时针旋转90°的对应点为〔0，

1b1k1把〔0，〕与〔1，0〕代入yk2xb，得

k1kb02∴k210，∴k1k21. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 k1(24) (本小题总分值12分)

(I)证明∵AD平分∠BAC， ∴∠PAQ=∠BAD

∵PQ⊥AC，BD⊥AD ∴∠PQA=∠BDA=90°

∴△PQA∽△BDA ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分

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AQAD ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 APABAQAD(II)证法一：由(I)得 APAB∴

又∵∠PAB=∠QAD

∴△PAB∽△QAD ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 ∴∠APB=∠AQD

∵∠APB=∠PDB+∠DBP ∠AQD=∠AQP+∠DQP ∴∠PDB=∠AQP=90°

∴∠DBP=∠DQP ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 证法二：如图，延长AC，交BD的延长线于点E， E连接PE，取PE的中点O，连接OD,OQ.

1C∵∠PDE=∠PQE=90°

在Rt△PDE与Rt△PQE中，

DO∵O是PE的中点， ∴DO11PE，QOPE 22BQPA即DOQOEOPO

∴P、D、E、Q四点都在以O为圆心，OP为半径的⊙O上，┄┄┄┄┄┄┄┄5分

∴∠1=∠DQP ∵AD垂直平分BE ∴PB=PE ∴∠1=∠DBP

∴∠DBP=∠DQP ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 (III)解：过点P分别作PG⊥AB于点G，PH⊥DQ于点H.

C则PG=d1，PH=d2.

∵AD平分∠BAC，PQ⊥AC.

D∴d1=PG=PQ. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∴Sd1PQ. d2PHHQPGAB由(II)得∠DBP=∠DQP，

∵∠BDP=∠QHP=90°.

∴△DBP∽△HQP； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

∴

PQPB. PHPD在Rt△BDP中，BD=1，DP=t. ∴PBt21.

t21∴S. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

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25．(本小题总分值14分)

(I) 解：∵A(-1，0)，B(3，0)，∴该二次函数图象的对称轴为x1，且AB=4. 过点C作CH⊥AB于点H.

1∵△ABC为等腰直角三角形，∴CH=AB=2. ┄┄1分

2 ∴C(1，-2)或C(1，2)

①如图1，当C(1，-2)时，可设ya(x1)2.

2yHAOBx1 把点B(3，0)代入可得：a. ┄┄┄┄3分

2 ②如图2，当C(1，2)时，可设ya(x1)2. 把点B(3，0)代入可得：a 综上所述，a2C图1 yC1. 211或. ┄┄┄┄┄┄┄4分 2222AOH图2 Bx(II) 解：(i) 当b2a时，yax2axc=a(x1)ca.┄┄┄┄┄┄┄┄5分 ∴C(1，c-a)

∴B(1+c-a，0).┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 ∴a(ca)ca0. ∴(ca)(aca1)0. ∵ca0， ∴ca221. a21. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 a(ii) 法一：∵1x3，a<0，

1∴当x=-1或3时，y取得最小值4a，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

a1当x=1时，y取得最大值. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分

a∴yax1假设以y1 ,y2 ,y3为长度的三条线段能围成三角形. 则2(4a)21a1. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 a整理得：8a10. ∴2a0. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 42018莆田质检第9页共4页

法二：依题意得：y1a(x11)211122，y2a(x21)，y3a(x31). aaa ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 以y1 ,y2 ,y3为长度的三条线段能围成三角形.不妨设y1y2y3. 则y1y2y3在1x3范围内恒成立.

111a(x21)2a(x31)2 aaa1222整理得：(x11)(x21)(x31)2. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

a1222等价于(x11)(x21)(x31)最大值小于2.

a∴a(x11)2当x1x21时，(x11)(x21)取最大值为8； 当x31时，(x31)取最小值为0.

222此时(x11)(x21)(x31)取最大值为8.

222∴81. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 a22整理得：8a10. ∵a0. ∴

2a0. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 42018莆田质检第10页共4页