第十一章《三角形》拔高题练习
一．选择题
1．在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，若∠BOC＝132°，则∠A的度数为（ ）
A．42° B．48° C．84° D．100°
2．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．八边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．1080° D．1440°
4．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
5．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
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A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
6．下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
7．下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A．锐角三角形 B．长方形 C．直角三角形8．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（ ）度．
A．450
B．540
C．630
D．720
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D．等腰三角形
9．在△ABC中，2（∠A+∠B）＝3∠C，则∠C的补角等于（ ）
A．36° B．72° C．108° D．144°
10．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
11．如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．不确定
12．如图，图中直角三角形共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC3 / 25
的外角∠ACD，则∠E＝（ ）
A．40°
B．36°
C．20°
D．18°
14．已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|+|a﹣7|的结果为（ ）
A．2a﹣10 B．10﹣2a C．4 D．﹣4
15．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（ ）
A．120°
B．60°
C．140°
D．无法确定
二．填空题
16．正八边形一个内角的度数为 ．
17．如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
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18．甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值范围为 ．
19．用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图，拼出的不同四边形中能够满足对边互相平行的有 种．
20．如图，D为△ABC一点，AB＝AC，BC＝CD，∠ABD＝15°，则∠A＝ °．
21．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△
ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为
cm2．
三．解答题
22．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
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23．已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
24．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
（1）求CD的取值范围；
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（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
26．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线．
（1）若∠A＝40°，∠B＝76°，求∠DCE的度数；
（2）若∠A＝α，∠B＝β，求∠DCE的度数（用含α，β的式子表示）；
（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于
H点，若∠A＝α，∠B＝β，求∠HGE与α、β的数量关系．
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27．已知△ABC中，BE平分∠ABC，点P在射线BE上．
（1）如图1，若∠ABC＝40°，CP∥AB，求∠BPC的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝100°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的度数；
（3）若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，直线CP与△ABC的一条边垂直，求∠BPC的度
数．
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参考答案
一．选择题
1．解：如图：
∵∠BOC＝132°，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣132°＝48°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝96°，
∴∠A＝180°﹣96°＝84°，
故选：C．
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2．解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故选：C．
3．解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故选：C．
4．解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
故选：A．
5．解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，
∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
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∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，
∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，
即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．
故选：B．
6．解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为E，
纵观各图形，①②③都不符合高线的定义，
④符合高线的定义．
故选：D．
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7．解：长方形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故B符合题意；
故选：B．
8．解：如图
∵∠3+∠4＝∠8+∠9，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，
＝∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7，
＝五边形的内角和＝540°，
故选：B．
9．解：∵2（∠A+∠B）＝3∠C，∠A+∠B＝180°﹣∠C，
∴2（180°﹣∠C）＝3∠C，
∴∠C＝72°，
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∴∠C的补角等于108°，
故选：C．
10．解：设第三根木棒长为xcm，由题意得：
5﹣2＜x＜5+2，
3＜x＜7，
∴5cm符合题意，
故选：C．
11．解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ABD和△ADC的周长的差，
＝（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD），
＝AB﹣AC，
＝5﹣3，
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＝2，
故选：C．
12．解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，
故选：C．
13．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
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∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝18°．
故选：D．
14．解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2，
即3＜a＜7．
∴|a﹣3|+|a﹣7|＝a﹣3+7﹣a＝4．
故选：C．
15．解：在△ABC中，∵∠A＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，
∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，
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故选：C．
二．填空题（共6小题）
16．解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，
每一个内角的度数为×1080°＝135°．
故答案为：135°．
17．解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故答案为：8．
18．解：（1）甲乙都在学校同侧，则d≥4﹣1＝3；
（2）甲乙在学校两侧，则d≤4+1＝5；
则d的取值范围为：3≤d≤5．
19．解：30°角与60°的角拼在一起，30°角与90°的角拼在一起，90°的角与60°的角拼在一起，共3种．
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20．解：设∠A＝x．
∵BC＝CD，∠ABD＝15°，
∴∠CBD＝∠CDB＝15+x．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝30+x．
∴x+2（30+x）＝180°，
x＝40°．
即∠A＝40°．
21．解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2，
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1，
∴S△BCE＝2，
∵F为EC中点，
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∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1．
故答案为1．
三．解答题（共6小题）
22．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
23．解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON∴∠AOB＝∠BON＝20°
∵AB∥ON∴∠ABO＝20°
②∵∠BAD＝∠ABD∴∠BAD＝20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°∴∠OAC＝120°
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°∴∠BAD＝80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°∴∠OAC＝60°
故答案为：①20°； ②120，60；
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（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB＝∠MON＝20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝70°，
若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20
若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣70°）＝55°，则x＝35
若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x＝20、35、50、125．
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24．解：（1）∵△BCD中，BC＝4，BD＝5，
∴5﹣4＜CD＜5+4，
∴CD的取值范围是：1＜CD＜9；
（2）∵AE∥BD，
∴∠AEF＝∠BDE＝125°，
∵∠AEF是△ACE的外角，
∴∠C＝∠AEF﹣∠A＝125°﹣55°＝70°．
25．解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝80°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF＝∠BAC＝40°，
∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°；
（2）∵BE⊥AD，
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∴∠AEF＝90°，
由（1）可得∠EAF＝40°，
∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．
26．解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝76°，
∴∠ACB＝64°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB＝∠ACB＝32°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝14°
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝32°﹣14°＝18°；
（2）∵∠A＝α，∠B＝β，
∴∠ACB＝180°﹣α﹣β，
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∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB＝∠ACB＝（180°﹣α﹣β），
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣β，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝β﹣α；
（3）如图所示，∵∠A＝α，∠B＝β，
∴∠ACB＝180°﹣α﹣β，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB＝∠ACB＝（180°﹣α﹣β），
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣β，
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∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝β﹣α，
由平移可得，GH∥CD，
∴∠HGE＝∠DCE＝β﹣α．
27．解：（1）∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABP＝＝＝20°，
∵CP∥AB，
∴∠BPC＝∠ABP＝20°；
（2）设∠ABP＝x，则∠PBC＝∠ACP＝x，
△ABC中，∠ACD＝∠A+∠ABC，
x+∠PCD＝100°+2x，
∴∠PCD＝100+x，
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△BCP中，∠PCD＝∠PBC+∠BPC，
∴100+x＝x+∠BPC，
∴∠BPC＝100°；
（3）①当CP⊥BC时，如图3，则∠BCP＝90°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠BPC＝70°；
②当CP⊥AC时，如图4，则∠ACP＝90°，
△BCP中，∠BPC＝180°﹣20°﹣30°﹣90°＝40°；
③当CP⊥AB时，延长CP交直线AB于G，如图5，则∠BGC＝90°，
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∵∠ABC＝40°，
∴∠BCG＝50°
△BPC中，∠BPC＝180°﹣50°﹣20°＝110°；
综上，∠BPC的度数为70°或40°或110°．
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