全等三角形拓展题---尖子生专用

知识点：

1、全等三角形的判定方法： 2、角平分线的性质与判定： 例题讲解

2016武汉江汉区压轴题．（本题12分）△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是△ABC的中线，以AC为边作等边△ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF (1) ① 如图1，若△ABC、△ACE位于AC异侧，求∠EFC的度数 ② 试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由

(2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系

解：(1) ① ∵AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线 ∴设∠BAD＝∠CAD＝β

又2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60° ∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60° ∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60°

资料

② 过点C作CH⊥BE于H

∵∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60° ∴∠BAD＝∠HEC

可证：△ABD≌△EHC（AAS） ∴HE＝AD

易证：△CFH≌△CFD（AAS） ∴FH＝DF

∴EF－FH＝AF－DF 即EF－AF＝2DF

(3) 作图、证明的过程一样 AF－EF＝2DF

2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN (1) 求证：AM＝BN

(2) 作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长

资料

证明：(1) △ACM≌△BCN（SAS） (2) 由(1)知：△ACM≌△BCN ∴∠CBN＝∠MAC＝60° ∴∠MBN＝60°＋60°＝120 过点M作MD∥BC交AC于D ∴△AMD为等边三角形

∴AM＝AD＝BN，∠ADM＝60° ∴BM＝CD，∠MDC＝120° 在△BMN和△DCM中 BM DCMBNCDM

BNDM ∴△BMN≌△DCM（SAS） ∴∠BMN＝∠DCM ∵AH∥MN

∴∠BMN＝∠BAH＝∠DCM 在△BAH和△ACM中

资料

ABHCAM ABCA

BAHACM ∴△BAH≌△ACM（ASA） ∴BH＝AM＝1 ∴BM＝HC

∵MH⊥BC，∠MBH＝60° ∴BM＝2BH＝2 ∴CH＝2

2016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F (1) 若AF＝10，DF＝3，试求EF的长

(2) 若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论

．解：(1) 设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β 在△ACE中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60° 连接BF

资料

∴∠BFD＝∠CFD＝60° ∴BF＝CF＝2DF＝6

在EC上截取EG＝CF，连接AG ∴△AEG≌△ACF（SAS） ∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF ∴∠GAF＝60° ∴△AFG为等边三角形

∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16

(2) 尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边 设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β ∴∠CAE＝180°－2β

∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°，β－α＝60° ∴∠BAD＝∠BEF

在AF上截取AG＝EF，连接BG 可知：△ABG≌△EBF（SAS） ∴AG＝EF，BG＝BF ∴△BFG为等边三角形

∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF

资料

武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC

(1) 如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示）

(2) 如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明 (3) 在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值

资料

例1、（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（ ）A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C （2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识， 画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A、SSS B、SAS C、AAS D、ASA

（3）如图2，AD平分∠BAC，BF⊥AD于D，交AC于F，DE∥AC， ∠BAD=30°，则∠BDE=______

例2、如图3，OM平分AOB，AO=OB，AD与BC相交于M。求证：AC=BD

例3、如图4，在⊿ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE， ∠DEF=∠B。 求证：ED=EF

资料

例4、如图5，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点。 求证：DG⊥EF．

例5、如图6，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F． 求证：EF=CE-AF．

资料

例6、如图7，P为∠AOB平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm。 求OA+OB的值。

例7、如图8，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=÷4，点E在线段DC上。 求证：AD+BC=AB

例8、如图9，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD。 求证：∠BPA+∠BCP=180°

资料

巩固：

1、如图，点P为⊿AEF外一点，PA平分∠EAF，PD⊥EF于D，DE=DF，PB⊥AE于B。 求证：AF-AB=BE

2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F． 求证：BE=DF．

3、如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH。 （1）求证：⊿ACD≌⊿BCE；

资料

（2）求证：CH平分∠AHE；

（3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）

4、如图（1），在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E （1）试说明：BD=DE+CE．

（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．

资料

5、如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

（1）当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；

（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

6、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，2），点A为y轴正半轴上一动点，过B点作

BC⊥AB交x轴的正半轴于点C。 （1）求证：BA=BC；

（2）当点A运动时，OA+OC的值是否发生变化，若不变， 求其值；若发生变化，求变化范围

资料

7、已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证AE+CF=EF；

（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．

资料

8、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G． （1）求证：BF=AC； （2）求证：CE=

1BF； 2（3）若把题目中“BE平分∠ABC”改为“BE平分线段DC”， 其他条件不变，连接HF．求证：HF=AD．

9、直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF_____ |BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）； ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是________ ；

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线

资料

段的数量关系，并给予证明．

第十一讲：全等三角形综合二

知识点：

1、全等三角形的判定及性质： 2、角平分线的性质与判定： 3、常用辅助线： 例题讲解

例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE， 求证：FK∥AB．

例2、如图1，△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC，

（1）D为AC的中点，连BD，过A点作AE⊥BD于E点，交BC于F点，连DF，求证：∠ADB=∠CDF．

资料

（2）若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断

∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．

例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB， 求证：MD=AM．

资料

例4、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）若AB=AC，∠BAC=90°那么

①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________ （直接写出结论）

②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． （2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．

例5、如图①所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、

资料

BC，分别以AC、BC为直角边向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，满足∠CAD=∠CBE=90°，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1． （1）如图②，当点E恰好在直线l上时，试说明DD1=AB；

（2）在图①中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由．

例6、如图1，已知点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足 （1）求A、B两点的坐标；

（2）若点C是第一象限内一点，且∠OCB=45°，过点A作AD⊥OC于点F，求证：FA=FC； （3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交x轴于点G，求G点的坐标．

a44b0

资料

巩固：

1、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．

资料

3、如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC。 求证：EB⊥AB．

4、如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN． （1）求证：AP=AM； （2）求证：PC=AN．

资料

5、如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC， ∠ABC的平分线， 求证：BQ+AQ=AB+BP．

6、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°， ∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：CF=EF；

（2）若将图（1）中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，如图（2）．请你直接写出AF+EF与DE的大小关系：AF+EF______ DE．（填“＞”或“=”或“＜”）

（3）若将图（1）中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图（3）．请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．

资料

7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的三点坐标分别为A（0，5），B（-5，0），

C（2，0），BD⊥AC于D且交y轴于E，连接CE． （1）求△ABC的面积； （2）求

资料

OE的值及△ACE的面积． AE

8、如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16． （1）∠COA的值为________ ； （2）求∠CAB的度数；

（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．

9、在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3）和点C（0.2）； （1）请写出OB的长度：OB=________ ；

（2）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（-3，0），求证：△AOB≌△COD； （3）若点D在第二象限，且△AOB≌△COD，则这时点D的坐标是________ （直接写答案）．

资料

10、已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°

（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；

（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．

资料

11、（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．

12、如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、

资料

MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．

13、如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线MN交AC于N，交AC的平行线BM于M，

PD⊥MN，交AB于点P，连接PM、PN． （1）求证：BM=CN；

（2）请你判断BP+CN与PN的在数量上有何关系，并说明你的理由．

资料

14、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、 B（0，n），且mn32n60，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线

AO匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）求OA、OB的长；

（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；

（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

等腰三角形小结

一、构造等腰三角形

例1 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=AE，AF⊥BE交BC于F，

FG⊥CD交AC于H，交BE的延长线于G．

资料

(1)求证：GE=GH；

(2)问BG、AF、FG有何数量关系？证明你的结论．

练习

1．等边△ABC中，点0为AC、BC两边垂直平分线的交点，点P为AB上一动点，PE∥AC交BC于E，点F为AC上一点，且CF=PE，连OF、EF，求∠OFE的度 数．

二、运用等腰三角形的性质

例2 已知Rt△ABC.中，AC=BC，∠C= 90°，D为AB中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点

旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．

图①

资料

图② 图③

(1)当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E（如图①）时，显然S△DEF+S△CEF=

1S△ABC.当∠EDF2绕D点旋转到DE和AC不垂直时（如图②），S△DEF、S△CEF、S△ABC三者之间的数量关系是什么？证明你的结论；

(2)当∠EDF绕D点旋转到如图③所示的位置，请直接写出S△DEF、S△CEF、S△ABC之间的数量关系是 ．（不必证明） 练习

2．如图，△ABC中，∠A=90°．AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于点 F.求证：∠ADB=∠CDF.

3．△ABC中，过BC边的中点D作直线交AB于E．交CA的延长线于F，使AE=AF.求证：BE=CF.

三、角平分线与等腰三角形

例3 如图，AB∥CD，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB.求证：AB+CD=BC.

资料

练习

4．如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD交BD延长线于E． (1)求证：CE=

1BD； 2 (2)求∠AEB的度数．

5．如图，在△ABC中，M为BC边中点，AD为∠BAC的平分线，MF⊥AD交AD延长线于F，交AB于E．求证：BE=

1(AB-AC)． 2

四、构造等边三角形

例4 如图，已知在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=2，点P从C点出发沿y轴正方向

以1个单位／秒的速度向上运动，连接PA、PB，D为AC的中点．

资料

(1)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等；

(2)若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：

当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值.

图① 图② 练习

6．如图①，A（O，-1），A、C关于x轴对称，AB=2，EF∥BC，交AB的延长线于E点，交y轴于F点． (1)求∠AEF；

(2)如图②，将△AEF绕A点顺时针旋转交BC延长线于D点，当D(m，2)时，问AM+DH

资料

大小是否变化并证明．

图① 图②

全等三角形中常见辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下几种： 1)

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3)

遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)

资料

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的

“平移”或“翻转折叠” 5)

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等

例1（、“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

ABDCAEFBDC资料

AB 应用：

DEC

1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰Rt

ACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

资料

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

BAC

D2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点

ADE，

求证;AB＝AC+BD

BE

03、如图，已知在ABC内，BAC60，C40，P，Q分别在BC，CA上，并且

0CAP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

CBAQP资料

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC， 求证： AC1800

BCAD5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 应用：

BPC1A2D

三、平移变换

资料

例1、 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

例2 、如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

AB

四、借助角平分线造全等

DEC

例1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE

A相交于点O，求

证：OE=OD

EO资料

BDC

例2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

EA 应用：

BGCFD1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全

等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

资料

五、旋转

例1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的

A度数.

例2 、D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

MBDFBECAEC资料

FAN（1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。

例3 、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则

AMN的周长为 ；

A

应用：

1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，

BMNCD∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）

于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

资料

CB F ANM D E CB F ANM D ENB C A F D EM

2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且

MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，

资料

BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

图1 图2 图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时

Q ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论

还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．

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4．在△ABC中，AB＝AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD

(1) 如图1，当∠BAC＝100°，α＝60°时，∠CBD的大小为_________ (2) 如图2，当∠BAC＝100°，α＝20°时，求∠CBD的大小

(3) 已知∠BAC的大小为m（60°＜m＜120°），若∠CBD的大小与(2)中的结果相同，请直接写出α＝_________（可用含m的代数式表示）

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