2007江苏高考数学试题及答案

参考公式：

kkp(1p)nk n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：Pn(k)Cn一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,恰有一项．．．．是符合题目要求的。 1．下列函数中，周期为

的是 2x4 D．y=cos4x

A．y=sinx2 B．y=sin2x C．ycos2．已知全集U=Z，A=｛—1，0，1，2｝，B=｛x︱x2=x｝，则A∩CUB为

A．｛—1，2｝ B．｛—1，0｝ C．｛0,1｝ D．{1,2｝

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上,一条渐近线方程为x－2y=0,则它的离心率为

52A．5 B． C．3 D．2

4．已知两条直线m,n，两个平面α，β,给出下面四个命题:

①m//n,mn ②//,m,nm//n ③m//n,m//n// ④//,m//n,mn 其中正确命题的序号是

A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③ 5．函数f(x)sinx3cosx(x[,0])的单调递增区间是

A．[,56] B．[5,] C．[,0] D．[,0] 66366．设函数f(x）定义在实数集上,它的图像关于直线x=1对称,且当x≥1时，f（x）=3x－1，

则有

132231A．f()f()f() B．f()f()f()

323323213321C．f()f()f() D．f()f()f()

3322337．若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x－2)+a2（x－2）2+a3（x－2)3，则a2的值为

A．3 B．6 C．9 D．12 8．设f(x)lg(21xa)是奇函数，则使f（x）<0的x的取值范围是

A．（-1,0) B．（0，1） C．（—∞，0） D．（—∞，0）∪(1，+∞) 9．已知二次函数f(x）=ax2+bx+c的导数为f′（x)，f′(0）>0，对于任意实数x都有f(x）≥0，则

f(1)f'(0)的最小值为

A． 3 B．

52 C．2 D．

32

10．在平面直角坐标系xOy,已知平面区域A=｛(x，y)︱x+y≤1且x≥0，y≥0｝,则平面区域B{(xy,xy)|(x,y)A}的面积为 A．2 B．1 C．

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 ．．．．．．．．11．若cos()12 D．

14

15,cos()35，。则tana·tanβ= . 12．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同选修方案。（用数值作答） 13．已知函数f(x）=x3－12x+8在区间[—3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m= ▲ 。

14．正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是 15．在平面直角坐标系xOY中，已知△ABC顶点A（—4，0）和C（4,0），顶点B在椭圆

x225y2161上,则

sinAsinCsinB 。

16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s)的函数，则d= ，其中t∈［0,60］。 三、解答题：本大题共5小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说．．．．．．．明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；(4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率;（4分)

（3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）

18．(本小题满分12分）如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上，点F在CC1上,且AE=FC1=1,

（1）求证:E，B，F，D1四点共面；（4分) (2）若点G在BC上,BG（4分）

(3）用表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小,求tan。（4分）

23，点M在BB1上，求证：GMBF,垂足为H，EM面BCC1B1；

19．(本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0,c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:yc交于P，Q。

(1）若OAOB2，求c的值；（5分）

（2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线;（5分） （3)试问（2)的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

20．(本小题满分16分)

已知｛an｝是等差数列，{bn｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列｛bn｝的前n项和。

（1)若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk—1=（m－1)a1；（4分）

（2）若b3=ai(i是某个正整数)，求证：q是整数,且数列｛bn}中每一项都是数列｛an｝中的项；（8分) （3)是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）

21．（本小题满分16分）

已知a，b，c,d是不全为零的实数，函数f(x)bxcxd，

2g(x)ax3bx2cxd，方程（fx）=0有实根，且f(x）=0的实数根都是g（（fx）)=0

的根,反之，g（f（x））=0的实数根都是f(x)=0的根。

（1）求d的值；（3分)

（2）若a=0，求c的取值范围；(6分）

(3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围。（7分）

参考答案

1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．B

1265511． 12．75 13．32 14． 15．

54 16．100sint60

17．解：(1）5次预报中恰有2次准确的概率为

P52C510.8252100.80.20.05.

23(2)5次预报中至少有2次准确的概率为 1P50P511C510.8650C50.810.81151

10.000320.00640.99.(3）“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为

18．解法一：（1）如图：在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，则AE=DN=1,CF=ND1=2

因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形。 从而ENAD，FD1∥CN.

又因为ADBC,所以ENBC,故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE。

(2)如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BCM=∠CFB，BM=BC·tan∠CFB=BG·∠CFB=BC·

BCCF23321.

因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM 又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1 （3)如图，连结EH

因为MH⊥BF,EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF 于是∠EHM是所求的二面角的平面角,即∠EHM=0 因为∠MBH=∠CFB，所以

MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB

BMEMMHBCBCCF22133222313,

tan13解法二:（1）建立如图所示的坐标系，则BE3,0,1,BF0,3,2,BD13,3,3 所以BD1BEBF

BE、BF共面 故BD1、又它们有公共点B，

所以E、B、F、D1四点共面。

（2）如图,设M（0，0,z）则CM0,,z

32而BF0,3,2,由题设得

23GMBF3z20，得z=1

因为M（0，0,1）,E（3,0，1）,有ME=（3，0，0）

又BB10,0,3,BC0,3,0，所以MEBB10,MEBC0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC

故ME⊥BB1，平面BCC1B1

(3)设向量BPx,y,3⊥截面EBFD1，于是BPBE,BPBF

而BE3,0,1,BF0,3,2，得BPBE3x30,BPBF3y60，解得x=—1，y=-2，所以BP1,2,3.

又BA3,0,0⊥平面BCC1B1，所以BP和BA的夹角等于θ或л—θ(θ为锐角） 于是

cosBPBABPBA114 故tan13

19．（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2得x2－kx－c=0

令A（a，a2）,B（b，b2）,则ab=﹣c

因为OAOBababcc2，解得c=2,或c=﹣1（舍去)故c=2

222（2)由题意知Qab,c，直线AQ的斜率为

2aabab22kAQacaab222a

又r=x2的导数为r′=2x,所以点A处切线的斜率为2a 因此，AQ为该抛物线的切线 (3）（2）的逆命题成立,证明如下：

设Q（x0，﹣c）若AQ为该抛物线的切线,则kAQ=2a

acax02又直线AQ的斜率为kAQaabax02，所以

aabax02a

得2ax0=a2+ab，因a≠0，有x0ab2

20．解:设{an}的公差为d，由a1b1,a2b2a1，知d0,q1，（a10） da1q1k1(1）因为bkam,所以a1qa1m1a1q1，

qk11m1q12mm1q，

所以Sk1a11qk11qa1m1m1qqm1a1

2（2）b3a1q,aia1i1a1q1，由b3ai，

所以q1i1q1,qi1qi20,解得，q1或qi2，但

22q1,所以qi2，因为i是正整数，所以i2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意

一项为

bna1qn1nN，设数列{an}中的某一项ammN=a1m1a1q1

现在只要证明存在正整数m，使得bnam，即在方程a1qn1a1m1a1q1 中m有正整数解即可,qn1qn111m1q1,m11qq2q1qn2，

m2qq所以：

2qn2，若i1，则q1，那么b2n1b1a1,b2nb2a2，

当i3时，因为a1b1,a2b2,只要考虑n3的情况，因为b3ai，所以i3，因此q是正整数,所以m是正整数,因此数列{bn}中任意一项为bna1qn1nN与数列{an}的第2qq2qn2项相等，从而结论成立。

（3）设数列{bn}中有三项bm,bn,bpmnp,m,n,pN成等差数列，则有 2a1qn1a1qm1a1qp1,设nmx,pny,x,yN，所以231qy，xq令x1,y2,则q2q10,q1q2q10，因为q1，所以

q2q10，所以qbm,bm1,bm3mN成等差数列.

51舍去负值,即存在q251使得{bn}中有三项221．解（1）设x0是fx0的根，那么fx00，则x0是g(f(x))0的根，则

gfx00,即g00，所以d0。

（2）因为

a0，所以

fxbx2cx,gxbx2cx，则

g(f(x))fxbfxc

=bx2cxb2x2bcxc=0的根也是fxxbxc0的根。

（a）若b0，则c0，此时fx0的根为0,而g(f(x))0的根也是0，所以

c0，

（b）若b0，当c0时，fx0的根为0，而g(f(x))0的根也是0，当c0时,

cc，而bfxc0的根不可能为0和,所以bb2bfxc0必无实数根,所以bc4b2c0,所以c24c0,0c4，从而0c4

fx0的根为0和所以当b0时,c0；当b0时，0c4.

（3）a1,f(1)0,所以bc0,即fx0的根为0和1, 所以cxcx22ccx2cxc=0必无实数根,

1cc（a)当c0时，t=cxcx=cx，即函数htt2ctc在

24422cc2c2，ht0恒成立，又httctctc，所以t442c2c216chtminh0，即c0,所以0c；

1643421cc2（b）当c0时，t=cxcx=cx，即函数htt2ctc在

244cc2c2，ht0恒成立，又httctctc，所以t424chtminh0,

2c2c2c0,而c0,所以c0，所以c不可能小于0,

44

(c）c0,则b0,这时fx0的根为一切实数，而gfx0，所以c0,符合要求。所以0c

2216 3