全国中等职业技术学校通用教材(第五版)数学教(学)案-第1章

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课题 第一章 数式与方程 数式的运算一 教学 数的基本知识 目有理数、无理数、实数等的基本知识 标 教学重点 有理数 无理数 实数 绝对值 教学数之间的关系 难绝对值的含义 点 教学2课时 时间 周第一周 次 教具无 准备 教 学 组 织 与 实 施 教 师 活 动 学生活动 学生听课做笔记 引入（10分钟） 回顾初中数学知识。 新课讲授（65分钟） 一、数（式）的运算 1.有理数 概念：整数和分数统称为有理数。 分析： 什么是整数？什么是分数？ 例： 整数的概念是：小数点后面为0 如1、2、3、3.000等 分数的概念是：A/B，有两种情况，一是可以除尽，如1/2=0.5、1/4=0.25、1/25=0.04、1/8=0.125等等；另一种情况是除不尽，如1/3=0.3333…、1/6=0.1666…、1/7=0.7…等等，即判断是不是分数有两个办法，一是小数有限（全是零可不计），二是小数无限，但循环。 . . . .

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教 师 活 动 2.无理数 概念：无限不循环的小数叫无理数。 如2、3、5、… 分析： 两个条件必须同时满足，一是小数，二是不循环。 3.实数 概念：有理数和无理数统称为实数 分析： 包括整数、分数、无限不循环的小数三种数在。 4.数轴 概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 分析： 要有满足四个条件○1原点○2正方向3单位长度4直线 学生活动 学生上黑板判断哪条才是真正的数轴 ○○ 判断下列是否是数轴： 0 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 5.倒数 概念：乘积是1的两个数互为倒数 如3和1/3、4/15和15/4、100/3和3/100… 1的倒数是1；0没有倒数。 6.相反数： 相反数的概念: 只有符号不同的两个数,我们称它们互为相反数,零的相反数是零。 概念的理解: (1)互为相反数的两个数分别在原点的两旁,且到原点的距离相 . . . .

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教 师 活 动 等。 (2)一般地,数a的相反数是 , 不一定是负数。 (3) 在一个数的前面添上“-”号,就表示这个数的相反数 如:-3是3的相反数,-a是a的相反数,因此,当a是负数时,-a是一个正数-(-3)是(-3)的相反数,所以-(-3)=3,于是 (4)互为相反数的两个数之和是0 即如果x与y互为相反数,那么x+y=0;反之,若x+y=0, 则x与y互为相反数 学生活动 (5) 相反数是指两个数之间的一种特殊的关系,而不是指 一个种类。如:“-3是一个相反数”这句话是不对的。 例1 求下列各数的相反数: 学生思考例题 (1)-5 (2)-3 (3)0 (4)-3 (5)-2b (6) a-b (7) a+2 例2 判断: (1)-2是相反数 (2)-3和+3都是相反数 (3)-3是3的相反数 (4)-3与+3互为相反数 (5)+3是-3的相反数 (6)一个数的相反数不可能是它本身 7.绝对值 几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离，数a的绝对值记做︱a︱。 代数定义：○1一个整数的绝对值是它本身； ○2一个负数的绝对值是它本身。 ○30的绝对值等于0 a(a0) a0(a0)  a(a0) . . . .

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教 师 活 动 小结：（5分钟） 有理数，无理数，实数，数轴，倒数，相反数，绝对值 课后作业： 习题册P1 A组 学生活动 板 书 设 计 第一章 数式与方程 数式的运算一 一、有理数 概念：整数和分数统称为有理数。 二、无理数 概念：无限不循环的小数叫无理数。 三、实数 概念：有理数和无理数统称为实数 四、数轴 概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 五、倒数 教学随笔 回顾初中知识的时候要概念:只有符号不同的两个数,我们称它们互为相反数,零的相慢，学生基础反数是零。 不扎实，要帮 7.绝对值 助他们重拾几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距知识。 离，数a的绝对值记做︱a︱。 六、相反数 概念：乘积是1的两个数互为倒数

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课题 教幂的运算法则 学 常用乘法公式 目因式分解 标 第一章 数式与方程 第一节 数式的运算二 教幂的运算法则 学常用乘法公式 重 点 教学2课时 时间 周第一周 次 教学因式分解 难点 教具无 准备 教 学 组 织 与 实 施 教 师 活 动 学生活动 学生听课做笔记 回顾知识（10分钟） 有理数，无理数，实数，数轴，倒数，相反数，绝对值 新课讲授（65分钟） 一、幂的运算法则 aaa abnmnmm anamn namab namn ann 其中a、b不为0，m、n是整数。 举例证明：假设a=2，b=3，n=2，m=3，分别代入以上式子： 1. aa224832a 2. amnm23nm2232532 2n328264am•n23•22664 . . . .

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教 师 活 动 2nn223.ab23636ab234936 n2学生活动 am238mn321 222 4.n22aa24 二、常用乘法公式 (ab)(ab)a2b2 (ab)2a22abb2 (ab)2a22abb2 举例证明：假设a=3，b=2分别代入以上式子： 22221.(ab)(ab)(32)(32)5ab32945 2222222.(ab)(32)25a2abb3232225 2222223.(ab)(32)1a2abb323221 三、因式分解 学生听课做 多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积，多项式的因式分解笔记 和整式的乘法是相反方向的变换。 2xaxbxab(xa)(xb) 举例证明：假设x=4a=3，b=2分别代入以上式子： 221.xaxbxab434242316128642 2.(xa)(xb)(43)(42)7642 四、例题解析 例2 把下列各式分解因式： 32232学生思考做 （1）15ab20ab5ab 练习 22 解：原式=5ab(4b3ab1) 4 1 1 -1 =5ab(4b1)(b1) . . . .

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教 师 活 动 小结：（5分钟） 幂的运算法则 常用乘法公式 因式分解 课后作业： 练习册P2 A组， 学生活动 板 书 设 计 第一章 数式与方程 第一节 数式的运算二 一、幂的运算法则（其中a、b不为0，m、n是整数） an教学随笔 amanm amnam•n n abamab namn ann二、常用乘法公式 (ab)(ab)a2b2 回顾初中知识的时候要慢，学(ab)2a22abb2 生基础不三、因式分解 扎实，要帮 多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积，多项式的因式助他们重分解和整式的乘法是相反方向的变换。 拾知识。 (ab)2a22abb2 x2axbxab(xa)(xb)

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课题 第一章 数式与方程 第一节 数式的运算三 教学 分式的基本性质 目分式的运算 标 教学分式的基本性质 重点 教学2课时 时间 周第二周 次 教学分式的运算 难点 教具无 准备 教 学 组 织 与 实 施 教 师 活 动 学生活动 复习回顾（10分钟） 一、幂的运算法则 二、常用乘法公式 三、因式分解 新课讲授（65分钟） 一、分式 A学生听课做概念：A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果笔记 BA B中含有字母，式子就叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做 B分式的分母。 二、分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于O的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，即 AAMAAM (M为不等于零的整式) ,BBMBBM . . . .

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教 师 活 动 三、分式的运算 分式的加减运算时使用通分进行的，分式的乘除运算时使用约分进行的。 学生活动 学生听课做ACADBCADBC笔记 加：   BDBDBDBDACADBCADBC 减：   BDBDBDBDADCBADCB 乘：AC BDBDADDADCBADCB 除：AC BCBBDBD 四、例题解析 例 计算： 学生思考做1111练习 （1） （2） 2 axaxaba2abb2 1abb2 2 （3）2 22a2abbab 分析 分式的加、减法关键是求最小公分母，基本方法： 1先将各分母分解因式； ○ 2将所有因式全部取出，公因式应取次数最高的； ○ 3将取出的因式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除运算中，先 ○要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时约去分子分母的公因式， 再化简。 解： axax2ax2 （1）原式= 2(ax)(ax)(ax)(ax)ax 1babba （2）原式= (ab)(ab)2(ab)2(ab)2 b2(ab)(ab)b （3）原式= a(ab)2b(ab)a(ab) 五、课堂练习 2x3学生思考做1.当x= 时，分式没有意义。 练习 13x分析：要使得分式没有有意义，分母=0 即 1-3x=0 解得x=1/3时，该分式没有意义。

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教 师 活 动 2.当x= 时，分式学生活动 分析：要使得分式值为零，即分子为0，但同时须保证分母不为0，即2x-3=0， 解得x=3/2时（分母不为0），该分式的值为0。 3.计算： 学生思考做311（1）233 练习 ababab 3x5 （2）(x2) 2x4x2 分析：分式的加减运算用通分，即查找最小公分母；分式的乘除运算 用约分，约去公因式。 解 3ab2a2b21 （1）原式=2 abab2aba2b2a3b3 3ab2a2b21  a2bab2 3ab2a2b21 a3b3 3xx245() （2）原式= 2x4x2x23xx222(x2)x9(x3)x2  2(x2)(x3)(x3)12(x3)2x3的值为0。 13x . . . .

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教 师 活 动 小结：（5分钟） 分式的基本性质 分式的运算 课后作业： 练习册P3 A组 学生活动 板 书 设 计 第一章 数式与方程 第一节 数式的运算三 一、分式 概念：A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成果B中含有字母，式子A的形式，如B教学随笔 A就叫做分式，其中A叫做分式的分子，BB叫做分式的分母。 二、分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于O的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，即 AAMAAM  (M为不等于零的整式) ,BBMBBM 三、分式的运算 分式的加减运算时使用通分进行的，分式的乘除运算时使用约分进行的。 ACADBCADBC加： （注意查找最小公分母） BDBDBDBDACADBCADBC 减： （注意查找最小公分母） BDBDBDBDADCBADCBAC 乘：BDBDADDADCBADCBAC 除：BCBBDBD 回顾初中知识的时候要慢，学生基础不扎实，要帮助他们重拾知识。

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课题 教指数幂 学 根 目根式 标 第一章 数式与方程 第一节 数式的运算四 教学指数幂 重根 点 教学2课时 时间 周第二周 次 教学根式 难点 教具无 准备 教 学 组 织 与 实 施 教 师 活 动 学生活动 学生听课做笔记 复习回顾（10分钟） 一、分式的基本性质 二、分式的运算 新课讲授（65分钟） 一、指数幂 1.正整数幂 naaaaaa(n是正整数) n个a2.零指数幂 a01(a0) 3.负整数指数幂 an二、根 1(a0,n是正整数) na . . . .

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教 师 活 动 1.平方根 若xa(a0)，则称x为a的平方根（二次方根）。 2.立方根 若x3a，则称x为a的立方根（三次方根）。 3.n次方根 若xna（a是一个实数，n是大于1的正整数）则称数x为a的一个n次方根。 当n为偶数时，对已每一个正实数a，它在实数集里有两个n次方根，它们互为相反数吗，分别表示为na和－na；而对于每一个负数a，它的n次方根是没有意义的。 当n为基数时，对于每一个实数a，它在实数集里只有一个n次根式，表示为na。 当a0时，na0，当a0时，na0。 0的n次根式是0，即n00。 三、n次根式 我们把形如na（有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方根na称为a的n次算术根，并且 (na)na（n>1,n是正整数） 四、例题解析 13例1：计算 (3)0、()3、()3、0.013。 222学生活动 学生听课做笔记 解 (3)01 111()38112()32832282()3()1()(1)(3)()3 2333270.013(102)310(2)(3)1063 例2.求-8的立方根，16的四次方根 . . . .

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教 师 活 动 解 -8的立方根为382 16的四次方根为4162 小结：（5分钟） 指数幂、根、根式 课后作业： 练习册P4 B组 板 书 设 计 第一章 数式与方程 第一节 数式的运算四 一、指数幂 n1.正整数幂 aaaaaa(n是正整数) n个a学生活动 教学随笔 2.零指数幂 a01(a0) 3.负整数指数幂 an二、根 1.平方根 若x2a(a0)，则称x为a的平方根（二次方根）。 回顾初中知识的时候要慢，学生基2.立方根 若x3a，则称x为a的立方根（三次方根）。 础不扎实，3.n次方根 若xna（a是一个实数，n是大于1的正整数）则要帮助他们重拾知识。 称数x为a的一个n次方根。 三、n次根式 我们把形如na（有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方根na称为a的n次算术根，并且(na)na（n>1,n是正整数） 1(a0,n是正整数) na

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课题 第一章 数式与方程 第二节 解方程 教学 解一元二次方程的方法 目解简单二元二次方程组 标 教学解一元二次方程的四种方法 重点 教学2课时 时间 周第二周 次 教学解简单二元二次方程组 难点 教具无 准备 教 学 组 织 与 实 施 教 师 活 动 学生活动 学生听课做笔记 引入（10分钟） 解方程，我们学习数学的作用就是能运用数学知识解决一些问题，解方程的能力如何直接决定了一个人的数学能力。 一元二次方程式较简单的方程，是复杂方程的基础，学好了一元二次方程，才能在今后的学习中学得更好。 新课讲授（65分钟） 一、解一元二次方程 概念：什么是一元二次方程？ 就是指有一个未知数，其最高指数幂为2次的方程。 即：ax2bxc0 那么，我们如何解一元二次方程呢？方程有没有解，我们又根据什么来判断？ 1.求根公式 bb24ac x 2a . . . .

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教 师 活 动 分三种情况讨论： ①当b24ac0时，方程无意义，没有实数解； ②当b24ac0时，方程有两个相等实数根； ③当b24ac0时，方程有且只有两个不等实数根； 2.如何解方程？有几种方法？ ①直接开方法 什么样的一元二次方程适合运用此种方法求解？ 如： (xa)2b 可直接用此种方法求解，求得解为xba ②配方法 什么样的一元二次方程适合运用此种方法求解？ 如： x23x20 根据公式 x22axa2(xa)2，上式可变为 31 x23x()2 2431即：(x)2 24学生活动 学生听课做笔记 思考：为什么要这样？ 可直接开方方法求解，求得解为x13 22③因式分解法 什么样的一元二次方程适合运用此种方法求解？ 如： x23x20 1 a 即有a+b=-3；a×b=2，解得 1b a=-1；b=-2 ,则原式可变为 （x-1）（x-2）=0 求得解为x=1，或x=2。

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教 师 活 动 ④公式法 什么样的一元二次方程适合运用此种方法求解？ 如： x23x20 bb24ac根据公式x ， 2a学生活动 学生思考做练习 求得解为x31 2二、课堂练习 1.解方程 x(3)(3)241221 （1）x25x60 ①用因式分解法 （x-6）（x+1）=0 ②用公式法 （略） 2xy10（2）2 x6x2y110 解：由I式得 y2x1 把此式代入II式得 x26x2(2x1)11x210x90 用分解因式法求解得 （x-9）（x-1）=0 即 X1=9， X2=1 把此结果代入III式， 解得 Y1=19，Y2=3 x9x1即，方程的解为或 y3y19 . . . .

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教 师 活 动 小结：（5分钟） 解一元二次方程四种方法 解简单二元一次方程的方法 课后作业： 练习册P5 A组 ， P7 A组 ， P8 A组 学生活动 板 书 设 计 第一章 数式与方程 第二节 解方程 一、解一元二次方程 判别式b24ac ①当b24ac0时，方程无意义，没有实数解； ②当b24ac0时，方程有两个相等实数根； ③当b4ac0时，方程有且只有两个不等实数根； 方法：①直接开方法 ②配方法 ③因式分解法 ④公式法 二、解简单二元一次方程 方法： 代入法使其变成一元二次方程，然后用其中四种方法之一求解，再次带入求解即可。 2教学随笔 对一元二次方程的教学，要举例教学，拉动学生的学习兴趣，否者会很枯燥。

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课题 教学 数式与方程的综合训练 目标 第一章 综合训练 教学综合训练 重点 教学4课时 时间 周第三周 次 教学综合训练 难点 教具无 准备 教 学 组 织 与 实 施 教 师 活 动 学生活动 学生思考做练习 引入（10分钟） 数式与方程的运算法则 新课讲授（65分钟） 一、填空 （1）若a、b互为相反数，则a+b= 0 。 （2）16的平方根是 ±4 ；－125的立方根是 －5 。 x21（3）若分式的值为0，则x= ±1 。 3x2（4）一元二次方程x24x50的解是 x=－1 或 x=5 。 二、选择题 . . . .

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教 师 活 动 学生活动 （1）在数轴上到原点的距离等于4个单位长度的点，表示的数是（C）。 A.4 B.－4 C.±4 D.|±4| a2a2 （2）若分式的值为0，则a的值是（C）。 a1 A.1 B.－1 C.2 D.2或－1 （3）如果x2pxq(xa)(xb)，那么P等于（B）。 A.a+b B.-(a+b) C.ab D.-ab 三、解答题 学生思考做（1）当a为何值时，一元二次方程x22(a4)xa210有两个不练习 同的实数根。 解：要方程有两个不同的实数根，0 2∵2(a4)4(a21)12(1a)0 a1 x24y2x3y1（2）解方程组 2xy1 解：由方程II得y=1-2x……III,代入方程I得 x24(12x)2x3(12x)1 21 即15x211x20 解得到x1或x2 代入方程III 5311 解得到y1或y2 学生思考做53练习 21xx1523 ∴方程组的解为 或  11y1y253小结：（5分钟） 课后作业： 练习册P11 三解答题 . . . .