完全平方公式和平方差公式专项训练

完全平方公式与平方差公式专项训练

一、基本概念：

1．平方差公式：

(ab)(ab)a2b2 2．完全平方公式： ababb(ab)2a22abb2 (ab)2a22abb2

3．完全平方公式重要变形：

2a2b2(ab)2ab

2a2b2(ab)2ab

2bbaaababab(ab)24ab1ab[(ab)2(ab)2]

4注：将a+b、a-b、ab看做整体进行变形，巧解问题 4．配方法：

逆用完全平方公式，化为完全平方式；

关键点：寻找a2、2ab、b2这三项中部分项；

增添项：增添某些项，使之凑成完全平方；中间项注意考虑多解．

二、强化练习：

1．下列多项式中可以用完全平方公式计算的是（ ）

A．(a2b)(2ab) B．(a2b)(2ba) C．(a2b)(2ba) D．(a2b)(2ba)

2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A．m2m

1

1 B．a2b2 C．a22abb2 D．25a2 4

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3．已知a24ab22b50，求a，b的值．

4．用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）． （1）10298； （2）992；

（3）100.22； （4）992199；

（5）(5a)2； （6）(3m4n)(3m4n)；

（7）(ab2c)(ab2c)； （8）(a2b3c)2．

（9）(2a3b)(4a6b)； （10）(2m1)(2m1)(4m21)．

5．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为4a212ab（ ），你觉得这一项应是________．

2

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6．材料：

一般地，对于任意的a、b，由多项式的乘法法则可以得到(ab)2(ab)(ab)a2ababb2a22abb2 (ab)2a22abb2即“完全平方公式”；

又比如：(ab)2[a(b)]2a22a(b)b2a22abb2 计算：

（1）小聪在进行整式乘法练习时，发现了如下的立方和公式：(ab)(a2abb2)a3b3 ①利用乘法法则，帮小聪写出立方和公式的推演过程；

②根据因式分解与整式乘法之间的互逆关系，写出因式分解的立方和公式：____________________； （2）请模仿材料中的“转换”方法，分解因式：a38．

7．数形结合是一种重要的数学思想，借助这种方法我们可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，初中数学里的代数公式，有很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行推导和验证，例如完全平方公式．下面我们进行类似的探究：

（1）如图，是用4个全等的长方形拼出的“回”字图案，

将图形中的阴影部分的面积用两种方法表示，可以得 到一个等式，这个等式为_______________________； （2）若(3x2y)25，(3x2y)29，利用上面的结论求xy的值．

9．利用完全平方公式，可以将多项式ax2bxc(a0)变形为a(xm)2n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项ax2bxc式的配方法．

运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

11111125115115例如：x211x24x211x()2()224(x)2(x)(x)(x8)(x3)

22242222根据以上材料，解答下列问题：

（1）用配方法将多项式x23x10化成(xm)2n的形式； （2）用配方法及平方差公式对多项式x23x10进行分解因式；

（3）求证：不论x，y取任何实数，多项式x2y22x4y16的值总为正数．

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8．如果x22(k3)x1是一个用完全平方公式得到的结果，则k的值是________．

10．若三项式4a22a1加上一个单项式后能用完全平方公式分解因式，请写出所有满足题意的单项式

___________________________________________________________．

11．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状

拼成一个正方形．

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． （2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．

①______________________________； ②______________________________．

（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?

(mn)2，(mn)2，mn．

（4）运用你所得到的公式，计算若mn2，mn4，求(mn)2的值． （5）求代数式x22xy24y7的最小值．

12．请你计算：(1x)(1x)，(1x)(1xx2)，…，猜想(1x)(1xx2 xn) 的结果是_________．

13．已知ab3，ab1，求：（1）a2b2的值；（2）ab的值．

4

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14．（1）填空：

(ab)(ab)________； (ab)(a2abb2)________； (ab)(a3a2bab2b3)________．

（2）猜想：

(ab)(an1an2b abn2bn1)________．（其中n为正整数，且n≥2）．

（3）利用（2）猜想的结论计算：292827 23222．

15．观察下列各式及其展开式：

(ab)2a22abb2 (ab)3a33a2b3ab2b3

(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4 (ab)5a55a4b10a3b210a2b35ab4b5

………

请你猜想(ab)10的展开式第三项的系数是________．

16．若ab1，则代数式a2b22b的值为________．

17．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，

从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______．

18．算式999032888052777072之值的十位数字为________． 19．定义

a ba bx1 1为二阶行列式．规定它的运算法则为那么当x1时，二阶行列式的adbc．

0 x1c dc d值为________．

20．填空：x210x________(x________)2．

21．已知a＞b，如果

113，ab2，那么ab的值为________． ab25

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22．填空：(2a25b)(________)4a425b2；(xyz)(________)z2(xy)2．

23．解方程：

(x6)(x6)x(x9)0

24．先化简，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2yx)，其中x1，y2．

25．观察下列算式：394140212，485250222，657570252，839790272…，请你把

发现的规律用字母表示出来_______________________________．（给定字母m，n）

26．化简：(41)(421)(441)(481)3．

27．如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是________．

28．如果对于不＜8的自然数n，当3n1是一个完全平方数时，n1能表示成k个完全平方数的和，那么

k的最小值为________．

29．由m(abc)mambmc，可得：(ab)(a2abb2)a3a2bab2a2bab2b3a3b3，即

(ab)(a2abb2）a3b3…①

我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．

下列应用这个立方和公式进行的变形不正确的是（ ） A．(x4y)(x24xy16y2)x364y3 B．(2xy)(4x22xyy2)8x3y3 C．(a1)(a2a1)a31

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D．x327(x3)(x23x9)

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