20中垂线和角平分线

证明二——垂直平分线和角平分线

【考向聚焦】

1、垂直平分线性质及判定定理

判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定 理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 2、角平分线性质及判定定理

判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

定 理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等. 3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线.

【例题求解】

【例1】 如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：

【例2】 已知，如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。求证：BC=AB＋DC．

A

D

B

1

ABBD ACCDA B D C

C

垂直平分线和角平分线 M09F120

0【例3】 如图，在ABC中，B22.5，边AB的垂直平分线交BC于D，DFAC于F，并与BC边

上的高AE交于G，求证：EG=EC

B

D

A

F

G E C 【例4】 如图，在RtABC中，ACB90，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F，求证：BE垂直平分CD．

A

D E C F B 【随堂练习】

1、如图△ABC中，AB>AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点，在AB－AC与PB－PC二式中，较

大的一个是 。

2.如图，在三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于E，若ABC与BEC的周长分别为13cm和9cm，则三角形ABC的边长分别为 .

A A

P B C M E N C D 第1题

B 第2题图

2

垂直平分线和角平分线 M09F120

3、如图，在RtABC中，ACB900,AB,CM是斜边AB的中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在D处，若CD恰与AB垂直，则A .

4.如图，三角形ABC中，A48，ABC与ACB的角平分线交于点O，则BOC= . 0

B

图3

D M A A O C B C 图4

5.如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF//BC．

C E A

D

F

B

4.在ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD为边AC上的中线，且AF⊥BD．求证：∠ADB=∠CDF。

A

D E B F C

3

垂直平分线和角平分线 M09F120

【作业】日期 姓名 完成时间 成绩

1.如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B＋∠D=180° 求证：AE=AD＋BE。

2.如图,已知在ABC中,ABC3C，BAECAE，AEBE。求证:AC-AB=2BE

A D E B C

A

E

B C

3.如图,梯形ABCD,AB//CD，ADDCCB，AD、BC的延长线相交于点G,CEAG于E,CFAB于F.(1)请写出图中四组相等的线段(已知的相等线段除外);(2)选择(1)中你所写出的一组

G 相等线段,说明相等的理由.

E D C

A F B

4