数学核心素养的问题设计——以动态问题为例

题为例

摘要：数学核心素养的养成是一个漫长的过程，需要提高学生学习能力，激发学生学习兴趣，锻炼学生思维能力，培养学生探究能力.剖析动态问题的难点，以动态问题为例阐述数学核心素养的问题设计: 以动态问题引导学生探究问题、发现问题，从而解决问题，让学生逐步积累数学思维的活动经验，加深对动态问题本质的理解.

关键词：数学核心素养；理解；探究能力；兴趣

日本数学家广中平佑说过:“在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。”在应试教育背景下，部分教师重结果轻过程，导致学生只知道怎么去解题，并不会去分析去思考。数学解题不在于多而在于“透”，在于能激发学生的兴趣，加深对知识本质的理解，锻炼学生的思维能力。

笔者以两道几何题解题教学为例，阐述条件的分析，并进行反思. 一、试题呈现

1.如图1，在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠A=30∘，P为BC边上任意一点，点

Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF.

(1)试探索EF与AB位置关系，并证明；

(2)如图2,当点P为BC延长线上任意一点时,(1)结论是否成立?请说明理由。 (3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠A=m∘,P为BC延长线上一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使(1)的结论依然成立，则需要添加怎样的条件? 为什么?

（1）分析: 现阶段线段的位置关系分为垂直和平行，本题由图猜想垂直. 根据等边△PCF和∠B=60°得PF//AB；要证AB⊥EF，只需证明∠PFE=90°； 根据等边△PCF和等边△PQE且有公共顶点P，得△QCP≌△EFP， 从而∠EFP=∠ACB=90°.

（2）分析: 点P由线段BC上变到射线BC，思考(1)的证明是否仍然成立，发现(1) 中得到的结果用相同的方式仍能证明.

（3）分析: (3)与(2)相比，在于∠A是一个任意值，(2)中的△QCP≌△EFP和PF//AB缺少角相等这一条件来证明，此时添加一个符合要求的条件使得

△QCP≌△EFP和 PF//AB成立即可，如: ∠CPF=∠QPE=(90­­—m)°. 反思: 对于这一类的动点问题，思路比较清晰，从特殊情况到一般情况，发现每一问的所需条件也相似，只需根据第一问的思路往下写即可.

2.如图①,已知点D在AB上，△ABC和△ADE是等腰直角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点.

(1)连接DM并延长交BC于N，求证: CN=AD； (2)求证: △BMD为等腰直角三角形；

(3)将△ADE绕点A逆时针旋转90°时(如图②所示位置)，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

(4) 将△ADE绕点A逆时针旋转а°时(如图④所示位置)，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（1）分析: 对于线段相等的证明，一般证明两条线段相等于第三条线段.题中 △ADE是等腰直角形，易得AD=ED，只需证ED=NC，而题中M是EC中点，∠ABC=∠ADE=90°，易证△EDM≌△CNM，从而结论得证.

（2）分析: 要证△BMD为等腰直角三角形，只需证BM=DM且∠BMD=90°，根据(1)中结论和△ABC是等腰直角形，易证△BDN是等腰直角三角形.再由(1)中结论DM=MN，从而可证△BMD为等腰直角三角形.

(3)分析: 本质上是一道动态问题，但仍然是特殊状态.∠DAB=0°到∠DAB=90°两个状态.不妨仍延长DM交BC于N， (1)中的一些结果在(3)中显然是不成立的，如△EDM≌△CNM. 按照题1的做法，不能得出所需结论.此时需要分析(1)和(3)中不同的点: (1)中有DE∥BC(NC)，从而才得出全等的结论；(2)中

DE与BC相交，考虑能否在DM的延长线上取一点N，连接CN，使得DE∥NC，

如图③所示，易证△EDM≌△CNM，从而CN=AD；思考(2)中的△BDN是等腰直角三角形是否仍然成立.根据CN=AD、BC=BA、∠BCN=∠BAD=90°，可证△BCN ≌△BAD，从而∠DBN=90°且BN=BD；再根据DM=MN，从而有△BMD为等腰直角三角形.

图③ 图④

(3)分析: 从(1)(3)的特殊状态转到(4)的一般状态，区别在于∠DAB不是一个定值.不妨仍在DM的延长线上取一点N，连接CN，使得DE∥NC，CN=AD仍成立；

考虑△BCN ≌△BAD是否仍然成立，显然两边仍相等，需证明夹角相等，即∠BCN=∠BAD.

因为(3)中的∠BCN=90°=∠BCA+∠ACN，

故(4)中仍考虑∠BCN=∠BCA+∠ACN=45°+∠ACN；

但(3)中的∠ACN=∠DEA，而(4)中这个结论显然不成立，区别在于(3)中点E、

A、C在一直线上，(4)中三点不共线，

从而考虑延长DE与CA的延长线交于点G会出现什么结果，如图④所示， 此时∠DGA=∠ACN；

又∠DAB=180°—∠BAC—∠DAG

=180°—45°—(90°—∠DGA) =45°+∠CAN；

所需结论成立，从而根据(3)的方法可证△BMD为等腰直角三角形.

反思: 对于动态问题，无论是动点还是旋转，从特殊状态到一般状态，找到关键的条件，分析每道小问的区别所在，运用逆向思维解决问题.

二、数学核心素养的问题设计思考

教育部发布的《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中，明确提出将研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准、修订课程方案和课程标准、改进学科教学的育人功能作为落实课程改革的关键领域和主要环节.

郑毓信提出重视核心问题，即知识本质的理解. 从发展学生核心素养的角度出发，通过某个动态问题的解决，理解从特殊状态到一般状态间的联系，提炼归纳出解决这类问题的一般方式，提高学生举一反三的能力，逐步培养数学思维能力.

[1]

数学核心素养的培养，首先从特殊状态入手，到一般状态的猜想，在这过程中，逐步发现问题所在，不断的检查和修正，感受核心问题，理解关键条件，并逐步学会演绎证明.经过长期地训练思维能力，能熟练地建立数学模型，从而解决问题.而这种建立模型的能力，是学生在今后的学习中不可或缺的能力之一.

参考文献

[1]郑毓信.“问题意识”与数学教师的专业成长[J].数学教育学报，2017,26(5)：1-6.