数学分析中不等式证明的若干方法

数学分析中不等式证明的若干方法

作者 学号：0700000

（巢湖学院数学系 安徽 巢湖 238000）

摘 要：不等式的证明问题在高等数学通用教材数学分析中经常会遇到，是数学分析课程学习中的一个重要内容，灵活的运用函数的单调性、最值、凹凸性，以及微分中值定理，泰勒公式、赫尔德不等式、柯西、施瓦兹不等式等数学知识对不等式问题进行分析、构造与转化，是解决不等式证明的常用方法。本文通过对几个不等式例题的解答，对这些常用的不等式证明方法进行简单的论述。

关键字：不等式；单调性；中值定理；泰勒公式

Several Methods of Proof of Inequalities in Mathematical Analysis

Zhou Lina StuNo：0700000

（Department of Mathematics,Chaohu College,Chaohu Anhui 238000）

Abstract: We often encounter the problem of inequality proof in higher mathematics which is an important part in the mathematical analysis. There are some methods for proving inequalities by using the monotonicity of function, maximum and minimum, convexity, differential mean value theorem, Taylor formula, Hölder's inequality, Cauchy inequality and Schwarz inequality. In this paper, we utilize several examples to review these methods.

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Keywords: inequality;Monotonicity;mean value theorem;Taylor formula

引 言

不等式这部分知识，渗透在数学分析的各部分内容中，有着十分广泛的应用。不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融汇贯通，起到了很好的促进作用。在解决不等式的证明问题时，要依据题目、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的证明。

不等式在数学中占有重要地位，由于其本身的完美性及证明的困难性，使不等式成为各类考试中的热门试题。本文通过灵活运用函数的单调性、极值、最值、凸性函数、以及中值定理与泰勒公式、柯西不等式、赫尔德不等式、施瓦兹不等式等数学知识, 借助实例对不等式问题进行分析、构造、转化，总结几种常见的不等式证明方法，举例如下。

一、利用函数单调性证明不等式

函数不等式是函数之间的大小关系，应用函数单调性的判别法可证明一些函数的不等式。

定义1[1,pp.17]若函数yf(x)在[a,b]上单调递增，则有f(a)f(x)f(b)；若函数yf(x)在[a,b]上单调递减，则有f(a)f(x)f(b)。

x3tanxx0x3。 2时，例1 证明当

x3f(x)tanxx3，则f(0)0，而 证明：令

2

f'(x)sec2x1x2(tanxx)(tanxx)。

当

0x2时，tanxx0。记g(x)tanxx，有g(0)0

g(x)g(0)0,x(0,)22'g(x)secx1tanx0fg(x)2又，所以单调递增，有，从而(x)0,f(x)x3tanxx,x(0,)f(x)f(0)0,x(0,)32 2，即有单调递增。又有

另外，也可以利用辅助函数的单调性来证明不等式。辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，寻找到一个辅助函数，通过求导确定辅助函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的辅助函数构造方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，令不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。

例2 设bae,证明不等式abba成立。

分析：要证abba，只需要证明lnaalnbb或者blnaalnb。

'ff(x)lnxx,xe解法一：构造辅助函数，则有(x)1lnxx20(xe)，因此f(x)单调递减。

故当bae时 有lnaalnbb，即abba。

解法二：构造辅助函数f(x)xlnaalnx(xa)。因为

f'(x)lnaax1ax0(xa)，

所以f(x)在xa时单调递增，因此当ba时，有f(b)f(a)0，即有blnaalnb，即abba。

3

二、利用函数的最值证明不等式

定理1(最大、最小值定理)函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值

[1,pp.76]。

函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续，根据最值定理可知，函数必在该闭区间上取得最大值和最小值。当函数取得最小值m时，对任意的x[a,b]，有f(x)m，当函数取得最大值M时，对任意的x[a,b]，有f(x)M

12p1例3若p1，证明不等式

1xp(1x)p,x[0,1]成立[2]。

12。又

证明：设f(x)x(1x),x[0,1]，则f(x)pxp(1x),x[0,1]。令f(x)0，得

11f()p1(p1),f(0)1,f(1)1因为22，可得

pp'pp'xmaxf(x)1,minf(x)12p1。

所以有

1f(x)12,x[0,1]p1，即不等式

1xp(1x)p12p1,x[0,1]成立。

111p11,xxq例4 设p,q是大于1 的常数，且pq证明对任意的x0，不等式p恒成立。

证明：令

f(x)1p1xx'p1''p2'''f(x)x1,f(x)(p1)xf(x)0x1,f(1)p1。pq，则。令，得

1p1xxx0,f(x)f(1)0pq所以当x1时，函数取得极小值，即最小值，从而对于任意的，有恒

4

成立。

注：由上例可以看出，将待证明的不等式换成它的等价的形式，从而使问题得以简化，也就是说，在证明一些不等式时，将不等式进行适当的变形是很必要的。

三、利用函数的凹凸性证明不等式

定义2[1,pp.148]如果f(x)在(a,b)内存在二阶导数f(x)，则 (1) 若对x(a,b)有f(x)0，则函数f(x)在(a,b)内为凸函数。 (2) 若对x(a,b)有f(x)0，则函数f(x)在(a,b)内为凹函数。

n定义3[1,pp.151]若函数f(x)在(a,b)内是凸(或凹)函数时，对x1,x2,,xn(a,b)及i1Jensen(琴森)不等式

i1，有

nnnnfixiif(xi)　　或fixiif(xi)　i1i1i1i1。

等号当且仅当x1x2xn时成立。

例5 证明下列不等式

a1a2ana1a2an　　(ai0,i1,2,n)111na1a2an

nn 5

分析：上式只要能证明

a1a2an　　(ai0,i1,2,n)n，

na1a2an如果用前面所述的几种方法来证明显然不合适，因为对它求导后不等式会更复杂。而这里的

ai可以看作是同一函数的多个不同函数值，设f(x)lnx那么就可以用Jensen不等式来证明它。

然后只要令

f(x)ln1x，同理可得

n111a1a2anna1a2an　。

10x2，所以f(x)在(0,)是凹函数，则对

(x0)。因为 证明：令f(x)lnx　　f(x)a1,a2,,an(0,)有

11f(a1a2an)f(a1)f(a2)f(an)nn，

即

11ln(a1a2an)lna1lna2lnannn，

又因为

1lna1lna2lnanlnna1a2ann，

6

所以

a1a2an　n。

na1a2an令

f(x)ln1x，则同理可得

n111a1a2anna1a2an　

所以

a1a2an　　(ai0,i1,2,n)nn111a1a2anna1a2an。

例6证明不等式(abc)abc3aabbcc，其中a,b,c均为正数。

证明：设f(x)xlnx,x0。由f(x)的一阶和二阶导数

1x

f(x)lnx1,f(x)可见，f(x)xlnx在x0时为严格凸函数，依詹森不等式有

abc1)(f(a)f(b)f(c))33，

f( 7

从而

abcabc1ln(alnablnbclnc)333，

即

abcabc)aabbcc3，

(3又因abcabcabcabc3(abc)abc。 3，所以

四、利用微分中值定理和泰勒公式证明不等式

定理2（微分(Lagrange)中值定理[1, pp.120]）若f(x)满足以下条件：

(1) f(x)在闭区间[a,b]内连续，

(2) f(x)在开区间(a,b)上可导，

则

f(b)f(a)ba。

(a,b)f()p1ppp10yx,p1则　py(xy)xypy(xy) 例7若

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分析：因为0yx,则原不等式等价于容易联想到Lagrange中值定理

f'()(xy)pyp1xpyppxp1pf(x)t(p1)xy 。令，则我们

f(x)f(y)xy。

pf(t)t证明：设，显然f(t)在[y,x]满足Lagrange中值定理的条件

则

xyf(x)f(y)p1p＝(y,x)　　f(),xyxy。 即

pp　(y,x)　　　yx,　　pyp1pp1pxp1

　pyp1(xy)xpyppyp1(xy)

例8设f(x)在[a,b]上连续可导，且f(a)f(b)0，则

4maxf(x)axb(ba)2'baf(x)dx

证明：设

Mmaxf'(x)axb，则由中值公式，当x(a,b)时，有

f(x)f(a)f(1)(xa)f(1)(xa)

f(x)f(b)f(2)(xb)f(2)(xb)

其中1(a,x),2(x,b)。由此可得

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f(x)M(xa)及f(x)M(bx)

所以

baf(x)dxab2aab2af(x)dxabf(x)dx2b　　　　　M(xa)dxabM(bx)dx2bM(ba)2　　　　　4

即

M4(ba)2baf(x)dx

所以

4(ba)2maxf(x)axbbaf(x)dx。

在论证涉及到函数导数的不等式时, 常常需要利用泰勒公式来证明。看下面的例子。

x2x3ln(1x)x,　　(1x1).23例9证明:

证明：设f(x)ln(1x)　（1x1)

则f(x)在x0处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式

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x2x3x4ln(1x)x　　　(11)234(1)4

x4　04(1)4 x2x3　ln(1x)x23

由以上证明可知，用泰勒公式证明不等式，首先构造函数，选取适当的点x0在x0处展开，然后判断余项Rn(x)的正负，从而证明不等式。

五、利用柯西不等式证明不等值

定理3设ai，bi为任意两组实数(i1,2,,n)

有

2nnn2aibiaibi2i1i1i1 （1）

其中等号当且仅当ai与bi成比例时成立，(1)式称为Cauchy不等式。

用柯西不等式证明不等式，关键是要根据题目的结构特点，构造出适当的两组实数，可以变形、拆项、添项，还要会用隐形的1及拆分(如

1i1n1n)，同时，与其他定理的应用一样，对柯西

不等式也既要正用，又要逆用、变用、连用和巧用。

例10设ABC与A1B1C1的边长分别为a、b、c与a1、b1、c1，面积分别为S与S1,证明

11

(a2b2c2)(a12b12c12)2(a2a12b2b12c2c12)16SS1。

等号成立当且仅当ABC∽A1B1C1

证明：由柯西不等式和三角形面积公式

16S2(a2b2c2)2(a4b4c4)

得

16SS1+2(a2a12+b2b12+c2c12)4S4S12a22a122b22b122c22c1216S22a42b42c416S122a142b142c14(a2b2c2)(a12b12c12)

故

(a2b2c2)(a12b12c12)2(a2a12b2b12c2c12)16SS1

等号成立当且仅当

2a22b22c24S2224S1ABC∽A1B1C12a12b12c1。

六、利用积分理论证明不等式

利用积分理论证明不等式，下面介绍几个重要的不等式，并利用它们来作简单的举例论述。

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(一) 赫尔德和施瓦茨不等式

111,pqp,q定义4 设是大于1的常数，且又设f(x),g(x)R(a,b),则有

babf(x)g(x)dx(baf(x)pdx)(ag(x)qdx)1p1q

称为连续形式的赫尔德不等式。

当pq2时，上述不等式称为施瓦兹不等式。Cauchy不等式的积分形式即为施瓦兹不等式。它可以通过积分定义，直接由柯西不等式推得：

baf(x)g(x)dx(f(x)dx)(g(x)dx)ba212ba212

施瓦兹不等式是高等数学中的一个重要不等式，当所要求的不等式中含有

baf2(x)dx)，bag(x)dx2，baf(x)dxbag(x)dx，

以及能够转化为此形式的，均可考虑应用该不等式来证明。

f(x)dx1例11已知yf(x)在[a,b]上连续，且f(x)0，a，试证：

b2b2(baf(x)sinxdx)(af(x)cosxdx)1

证明：

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2b(baf(x)sinxdx)(af(x)f(x)sinxdx)2bbaf(x)dxaf(x)sinxdx2baf(x)sinxdx

同理

ba2f(x)cosxdx2baf(x)cosxdx

2b2(baf(x)sinxdx)(af(x)cosxdx)2b2baf(x)sinxdxaf(x)cosxdx22baf(x)(sinxcosx)dxbaf(x)dx1

当积分中出现被积函数的方幂或出现积分的方幂时，可考虑施瓦兹不等式。

pp1,0qpqpq例12[3]求证：

ln。

1f(x),g(x)1x证明：当pq时，不等式显然成立；当pq时，取。由施瓦兹不等式，有

(pq1(pq)22p12pdx)q()dxqdxxxpq

则

p2(p1)2(ln),qpq

14

于是有

pp1,0qpqpqln。

例13 设f(x)在a,b上有连续的导函数，f(a)0，试证：

bab2f(x)dxa2

证明：令

baf(x)f(x)dxg(x)f(x)dtax （axb）

则g(x)f(x)。由f(a)0知

f(x)f(x)f(a)xaf(t)dxxaf(t)dtg(x)。

因此

bbaf(x)f(x)dxg(x)g(x)dxabab11g(x)dg(x)g2(x)a22babaf(t)dt2121f(t)dt2b1b2bab1dxf(t)dtf(t)dtaaa22

(二) 贝塞耳不等式

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定义3贝塞耳不等式的内容：若函数f在[,]上可积，则

a02212(anbn)2n1f2(x)dx,

其中an,bn为f的傅里叶系数。

例14 设f为[,]上可积函数。证明：若f的傅里叶级数在[,]上一致收敛于f，则成立

2a022[f(x)]dx(ab),nn2n1帕塞瓦尔等式： 这里an,bn为f的傅里叶系数。

12证明：记

a0nSn(x)(akcoskxbksinkx)2k1。

因为f的傅里叶级数在[,]上一致收敛于f0,NN,当mN时 恒有

|f(x)Sm(x)|2ff[,]。由于在上可积也可积，由贝塞耳不等式推得：

0{[f(x)]dx22a02222(anbn)}n1m

[f(x)Sm(x)]dx2dx22.

由的任意性，及0时，相应m，不等式恒成立，故有

[f(x)]dx[22a0222(anbn)]0.n1

即

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2a022[f(x)]dx(anbn).2n1

12另外, 利用积分介值定理等也能证明许多不等式,这里不再一一赘述。

结束语：本文主要介绍了数学分析中几种不等式的证明方法，并通过具体的例题和相关的题型充分阐述了它们应用的重要性和广泛性。需要指出的是，不等式的证明方法灵活多变，并无严格固定的模式可循。

参考文献

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