一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．﹣4的绝对值是（ ） A．4
B．
C．﹣4
D．±4
2．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
、
，方差
B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为分别为s甲2、s乙2，若
＝
，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
，表示抽奖20次就有1次中奖
D．一个抽奖活动中，中奖概率为
4．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）
A．135°
B．120°
C．115°
D．105°
5．近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐．截至2019年12月底，华为5G手机全球总发货量突破690万台．将690万用科学记数法表示为（ ） A．0.69×107
B．69×105
C．6.9×105 1 / 33
D．6.9×106
6．若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝x3的大小关系是（ ） A．x1＜x2＜x3
B．x2＜x3＜x1
C．x1＜x3＜x2
的图象上，则x1，x2，
D．x3＜x1＜x2
7．对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝如：1⊗3＝A．x＝4
．则方程x⊗（﹣2）＝B．x＝5
，这里等式右边是实数运算．例﹣1的解是（ ）
D．x＝7
C．x＝6
8．如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5） B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5） C．π×82x＝π×62×（x+5） D．π×82x＝π×62×5
9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
2 / 33
A．
+1
B．
+
C．2
+1
D．2
﹣
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．写出一个比
大且比
小的整数为 ．
12．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： （1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； （3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 ． 13．现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概率为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 ，线段DH长度的最小值为 ．
15．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A
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落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）先化简，（整数作为x的值代入求值．
17．（9分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．
﹣x﹣2）÷
，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
4 / 33
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
18．（9分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，
≈1.732）
19．（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
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20．（9分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）小明在研究的过程中发现明发现的结论加以证明．
是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小
21．（10分）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣究该函数的性质．
的图象并探
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x y
… …
﹣4 ﹣
﹣3 a
﹣2 ﹣2
﹣1 ﹣4
0 b
1 ﹣4
2 ﹣2
﹣
3 4 ﹣
… …
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ，b＝ ； 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）： ①函数y＝﹣
的图象关于y轴对称；
有最小值，最小值为﹣6；
②当x＝0时，函数y＝﹣
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． （3）已知函数y＝﹣x﹣式﹣
＜﹣x﹣
的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等
的解集．
23．（11分）综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN
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是什么特殊三角形？答： ；进一步计算出∠MNE＝ °；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝ °； 拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT． 求证：四边形SATA'是菱形． 解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．
请写出以上4个数值中你认为正确的数值 ．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．﹣4的绝对值是（ ） A．4
B．
C．﹣4
D．±4
【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．
【解答】解：﹣4的绝对值是4， 故选：A．
2．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：A．主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
B主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
C．主视图是“L”型，俯视图是一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意．
D．主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； 故选：A．
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3．下列说法正确的是（ ）
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
、
，方差
B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为分别为s甲2、s乙2，若
＝
，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
，表示抽奖20次就有1次中奖
D．一个抽奖活动中，中奖概率为
【分析】根据普查、抽查，三角形的内角和，方差和概率的意义逐项判断即可． 【解答】解：了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A不符合题意；
任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项B不符合题意； 根据平均数和方差的意义可得选项C符合题意； 一个抽奖活动中，中奖概率为
，表示中奖的可能性为
，不代表抽奖20次就有1次
中奖，因此选项D不符合题意； 故选：C．
4．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（ ）
A．135°
B．120°
C．115°
D．105°
【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．
【解答】解：过点G作HG∥BC，
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∵EF∥BC， ∴GH∥BC∥EF，
∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45° ∴∠E＝60°，∠B＝45°
∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60° ∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105° 故∠EGB的度数是105°， 故选：D．
5．近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐．截至2019年12月底，华为5G手机全球总发货量突破690万台．将690万用科学记数法表示为（ ） A．0.69×107
B．69×105
C．6.9×105
D．6.9×106
【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1． 【解答】解：690万＝6900000＝6.9×106． 故选：D．
6．若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝x3的大小关系是（ ） A．x1＜x2＜x3
B．x2＜x3＜x1
C．x1＜x3＜x2
D．x3＜x1＜x2
，求得
的图象上，则x1，x2，
【分析】将点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）分别代入反比例函数y＝x1，x2，x3的值后，再来比较一下它们的大小．
【解答】解：∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝上， ∴﹣5＝2＝5＝
，即x1＝﹣2，
的图象
，即x2＝5； ，即x3＝2，
∵﹣2＜2＜5， ∴x1＜x3＜x2； 故选：C．
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7．对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝如：1⊗3＝A．x＝4
．则方程x⊗（﹣2）＝B．x＝5
，这里等式右边是实数运算．例﹣1的解是（ ）
D．x＝7
C．x＝6
【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可． 【解答】解：根据题意，得去分母得：1＝2﹣（x﹣4）， 解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解． 故选：B．
8．如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ）
＝
﹣1，
A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5） B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5） C．π×82x＝π×62×（x+5） D．π×82x＝π×62×5
【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：π×（）2x＝π×（）2×（x+5）． 故选：B．
9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2， ∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝， ∴DE＝EF＝3﹣x＝，
＝
＝4，
∴tan∠DAE＝故选：D．
＝＝，
10．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
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A．
+1
B．
+
C．2
+1
D．2
﹣
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2
，
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∴CD＝2+1，
，即OM的最大值为
+；
∴OM＝CD＝故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．写出一个比
大且比
和
小的整数为 2（或3） ．
的大小，再找出符合条件的整数即可．
＜4，
【分析】先估算出【解答】解：∵1＜∴比
大且比
＜2，3＜
小的整数为2（或3）．
故答案为：2（或3）．
12．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： （1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； （3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 6 ． 【分析】设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．
【解答】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），
依题意，得：，
∵a，b均为整数 ∴4＜b＜7， ∴b最大可以取6． 故答案为：6．
13．现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概
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率为 ．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3， 所以点P（m，n）在第二象限的概率＝故答案为：
．
．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 3
﹣
．
，线段DH长度的最小值为
【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．首先利用相似三角形的性质证明EM＝2FN，推出EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，解直角三角形求出OD，OH即可解决问题．
【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．
∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB， ∴四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝3，
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∵FQ∥PE， ∴△MFQ∽△MEP， ∴
＝
，
∵PE＝2FQ， ∴EM＝2MF， ∴EM＝2，FM＝1，
当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM＝
＝
∴PQ＝3
，
＝
，
＝
＝2
，MQ＝
∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，
∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON＝∴OD＝∵BH⊥PQ， ∴∠BHM＝90°， ∵OM＝OB， ∴OH＝BM＝×∵DH≥OD﹣OH， ∴DH≥
﹣
，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当PQ垂直于
＝
，
＝
＝
，
＝2，
OD时，O，H，D共线，此时DH最小， ∴DH的最小值为故答案为3
，
﹣﹣
， ．
15．如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切
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于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OG，QG，证明△DOG∽△DFC，得出
，设OG＝OF＝x，则
，
求出圆的半径为，证明△OFQ为等边三角形，求出CQ，CG，则可由三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：连接OG，QG，
∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处， ∴AD＝DF＝4，BF＝CF
＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°， ∴∠FDC＝30°， ∴∠DFC＝60°， ∵⊙O与CD相切于点G， ∴OG⊥CD， ∵BC⊥CD， ∴OG∥BC， ∴△DOG∽△DFC， ∴
，
，
18 / 33
设OG＝OF＝x，则
解得：x＝，即⊙O的半径是． 连接OQ，作OH⊥FQ， ∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，
∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边三角形； ∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝∴QH＝∴CQ＝
∵四边形OHCG为矩形， ∴OH＝CG＝∴S阴影＝S△CGQ＝故答案为：
． ，
＝
＝
．
＝，
OQ＝
，
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）先化简，（整数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝[＝（＝＝﹣
＝﹣（x﹣3） ＝﹣x+3， ∵x≠±2， ∴可取x＝1， 则原式＝﹣1+3＝2．
19 / 33
﹣
•
）• •
﹣（x+2）]•
﹣x﹣2）÷
，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的
17．（9分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
【分析】（1）用2000乘以样本中家庭人均纯收入低于2000元（不含2000元）的频率即可；
（2）利用加权平均数进行计算即可；
（3）求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可．
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【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为： 1000×
＝120（户）；
（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为： ×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5） ＝2.4（千元）； （3）根据题意，得，
2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于： 500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470 ＞960+1130+1300+1470＞4000．
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．
18．（9分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，
≈1.732）
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【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
【解答】解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°， 在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×∠DCN＝90°﹣60°＝30°， 又∵∠DCB＝80°，
∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°， ∵AM⊥DE，CN⊥DE， ∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝50°， ∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44mm， ∴AM＝AF+FM＝51.44+40
≈120.7mm，
＝40
mm＝FM，
答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°， 在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm， ∴tan∠D＝
＝
≈0.500，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°， 答：CD旋转的角度约为33.4°．
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19．（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
【分析】（1）分别得出当0＜x≤12时和当12＜x≤20时，z关于x的函数解析式即可得出答案；
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，①当0＜x≤12时，可得出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；②当12＜x≤20时，可得出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取①②中较大的最大值即可． 【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
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当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b， 则
解得：
∴z＝﹣x+19，
∴z关于x的函数解析式为z＝
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元， ①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）； ②当12＜x≤20时，
w＝（﹣x+19﹣10）（5x+40） ＝﹣x2+35x+360 ＝﹣（x﹣14）2+605， 因为﹣＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
20．（9分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）小明在研究的过程中发现明发现的结论加以证明．
是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小
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【分析】（1）连接OD、DB，由已知可知DE垂直平分OB，则DB＝DO，再由圆的半径相等，可得DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，则∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，按照切线的判定定理可得结论；
（2）连接OP，先由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用两组边成比例，夹角相等来证明△OEP∽△OPC，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案． 【解答】解：（1）如图1中，连接OD、DB，
∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D， ∴DE垂直平分OB， ∴DB＝DO，OE＝BE． 解法一：
∵在⊙O中，DO＝OB， ∴DB＝DO＝OB， ∴△ODB是等边三角形， ∴∠BDO＝∠DBO＝60°，
∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO． ∵∠DBO＝60°， ∴∠CDB＝30°．
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∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°， ∴CD是⊙O的切线； 解法二：
∵BC＝OB，OB＝OD， ∴
＝
＝
＝，
又∵∠DOE＝∠COD， ∴△EOD∽△DOC， ∴∠CDO＝∠DEO＝90°， ∴CD为圆O的切线； （2）答：这个确定的值是． 连接OP，如图2中：
由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE． ∴
＝
＝，
又∵∠COP＝∠POE， ∴△OEP∽△OPC， ∴
＝
＝．
21．（10分）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的
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5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式列出b、c的方程组，解得b、c便可； （2）连接BC与对称轴交于点F，此时△ACF的周长最小，求得BC的解析式，再求得BC与对称轴的交点坐标便可；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），根据相似三角形的比例式列出m的方程解答便可． 【解答】解：（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得，
，
解得，
；
（2）直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1， 此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小， ∵AC为定值，
∴此时△AFC的周长最小， 由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3， ∴对称轴为x＝1，
令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0， 解得，x＝﹣1，或x＝3， ∴B（3，0），
令x＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，
，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3， 当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2， ∴F（1，﹣2）；
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（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2，
则PH＝5DG，E（m，m﹣3）， ∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG， ∴△PEH∽△DEG， ∴∴
， ，
∵m＝3（舍），或m＝5， ∴点P的坐标为P（5，12）．
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．
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22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣究该函数的性质． x y
… …
﹣4 ﹣
﹣3 a
﹣2 ﹣2
﹣1 ﹣4
0 b
1 ﹣4
2 ﹣2
﹣3
4 ﹣
… …
的图象并探
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝ ﹣ ，b＝ ﹣6 ；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）： ①函数y＝﹣
的图象关于y轴对称；
有最小值，最小值为﹣6；
②当x＝0时，函数y＝﹣
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． （3）已知函数y＝﹣x﹣式﹣
＜﹣x﹣
的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等
的解集．
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【分析】（1）将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象； （2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断； （3）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）x＝﹣3、0分别代入y＝﹣﹣6，
画出函数的图象如图：
，得a＝﹣
＝﹣
，b＝﹣
＝
，
故答案为：﹣
，﹣6；
（2）根据函数图象： ①函数y＝﹣
的图象关于y轴对称，说法正确；
有最小值，最小值为﹣6，说法正确；
②当x＝0时，函数y＝﹣
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误． （3）由图象可知：不等式﹣23．（11分）综合与实践
＜﹣x﹣
的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
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在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
（1）折痕BM 是 （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答： 等边三角形 ；进一步计算出∠MNE＝ 60 °；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝ 15 °； 拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT． 求证：四边形SATA'是菱形． 解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．
请写出以上4个数值中你认为正确的数值 7，9 ．
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【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
（2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；
（3）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形； （4）先求出AT的范围，即可求解．
【解答】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合， ∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处， ∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°， ∴AB＝BN， ∴AB＝AN＝BN， ∴△ABN是等边三角形， ∴∠EBN＝60°， ∴∠ENB＝30°， ∴∠MNE＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处， ∴∠ABG＝∠HBG＝45°， ∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°， 故答案为：15°；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处， ∴ST垂直平分AA'， ∴AO＝A'O，AA'⊥ST， ∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO， ∴△ASO≌△A'TO（AAS） ∴SO＝TO，
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∴四边形ASA'T是平行四边形， 又∵AA'⊥ST，
∴四边形SATA'是菱形；
（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处， ∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT， ∴AT＞10﹣AT， ∴AT＞5， ∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10， ∴5＜AT≤10， ∴正确的数值为7，9， 故答案为：7，9．
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