2021届高三数学章末综合测试题〔3〕函数、根本初等函数(Ⅰ)、函数的应用
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。 审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．
1．函数ylog1(5x4)的定义域是〔 〕
2A．[1，＋∞)
B.45，＋∞ C.45，1
D.45，1
解析：要使函数有意义，只要
得0＜5x－4≤1，即445＜x≤1.∴函数的定义域为5，1. 答案：D
2．设a＝2，b2
，c＝log2
x(x＋0.3)(x＞1)，那么a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a
D．b＜c＜a
解析：∵a＝2＜21
＝2，且a＝2＞20
＝1，∴1＜a＜2. b20
＝1. ∵x＞1，∴c＝log2
2
x(x＋0.3)＞logxx＝2. ∴c＞a＞b. 答案：B
3．函数f(x)＝ln(x＋x2＋1)，假设实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，那么a＋b等于( A．－1 B．0 C．1 D．不确定
解析：观察得f(x)在定义域内是增函数，而f(－x)＝ln(－x＋x2
＋1)＝ln
1
x＋x2＋1
＝－日期：2022年二月八日。
)
日期：2022年二月八日。
f(x)， ∴f(x)是奇函数，那么f(a)＝－f(b－1)＝f(1－b)． ∴a＝1－b，即a＋b＝1. 答案：C
－log2x (x＞0)，
4．函数f(x)＝2
1－x (x≤0)，
那么不等式f(x)＞0的解集为( )
A．{x|0＜x＜1}
C．{x|－1＜x＜1}
B．{x|－1＜x≤0}
D．{x|x＞－1}
解析：当x＞0时，由－log2x＞0，得log2x＜0，即0＜x＜1.
当x≤0时，由1－x＞0，得－1＜x≤0. 故不等式的解集为{x|－1＜x＜1}. 答案：C
5．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是( ) A．f(x)＝－x|x| C．f(x)＝sinx
B．f(x)＝x lnxD．f(x)＝
3
2
x解析：为奇函数的是A、B、C，排除D. A、B、C中在定义域内为减函数的只有A. 答案：A
1x6．函数f(x)＝与函数g(x)＝
2
A．都是增函数 B．都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数 D．f(x)是减函数，g(x)是增函数
在区间(－∞，0)上的单调性为( )
1x解析：f(x)＝在x∈(－∞，0)上为减函数，g(x)＝
2
答案：D 7．假设x∈(e
－1,
在(－∞，0)上为增函数.
1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝lnx，那么( )
B．c＜a＜b
3
A．a＜b＜c
日期：2022年二月八日。
日期：2022年二月八日。
C．b＜a＜c
2
D．b＜c＜a
3
解析：a＝lnx，b＝2lnx＝lnx，c＝lnx. ∵x∈(e
－1
－1,
1)，∴x＞x.故a＞b，排除A、B.
2
∵e＜x＜1，∴－1＜lnx＜ln1＝0. ∴lnx＜lnx.∴a＜c.故b＜a＜c，选C. 答案：C
8．f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，假设a＝f(log47)，
3
，c＝f)，那么a、b、c的大小关系是( )
A．c＜b＜a C．c＜a＜b
B．b＜c＜a D．a＜b＜c
1
解析：函数f(x)为偶函数，b＝f(log3)＝f(log23)，c＝f)＝f(5)．∵5＞2＞log23＝log49＞log47，
2
f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴f(5)＜f(log23)＜f(log47)，即c＜b＜a.
答案：A
9．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1xx和 L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，假设该公司在这两地一共销售15辆车，那么能获得的最大利润为( )
A．45.606万元 C．46.8万元
2
解析：设在甲地销售x辆，那么在乙地销售(15－x)辆，总利润
L＝L1＋L2xx2＋2(15－xx2x＋30，
当x＝,2×0.15)＝10.2时，L最大．
但由于x取整数，∴当x＝10时，能获得最大利润， 最大利润L＝－0.15×10＋3.06×10＋30＝45.6(万元). 答案：B
10．假设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋3)＝f(x)，f(2)＝0，那么方程f(x)＝0在区
2
日期：2022年二月八日。
日期：2022年二月八日。
间(0,6)内解的个数的最小值是( )
A．5 C．3
B．4 D．2
解析：f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝0，又∵f(－2)＝f(2)＝0，∴f(4)＝f(1)＝f(－2)＝0， ∴在(0,6)内x＝1,2,4,5是方程f(x)＝0的根. 答案：B
11．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( ) 1
A．[0，] 811C．[，]
42
11B．[，]
841
D．[，1]
2
11解析：因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在四个选项里面，只有f·f＜0，所以零点4211所在区间为，. 42
答案：C
12．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－2x，那么当x∈[－4，－2]时，f(x)的最小值是( )
1A．－
91C. 9
解析：f(x＋2)＝3f(x)，
当x∈[0,2]时，f(x)＝x－2x，当x＝1时，f(x)获得最小值． 所以当x∈[－4，－2]时，x＋4∈[0,2]， 所以当x＋4＝1时，f(x)有最小值，
1111
即f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(1)＝－. 3399答案：A
2
2
1
B．－
3D．－1
日期：2022年二月八日。
日期：2022年二月八日。
第二卷 (非选择 一共90分)
二、填空题：本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分．
13．假设函数f(x)＝ax＋x＋1的值域为R，那么函数g(x)＝x＋ax＋1的值域为__________． 解析：要使f(x)的值域为R，必有ag(x)＝x＋1，值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)
14．假设f(x)是幂函数，且满足
α2
2
2
f(4)1＝3，那么f＝__________. f(2)2
4α解析：设f(x)＝x，那么有α＝3，解得2＝3，α＝log23，
2
α
1答案：
3
15．假设方程x＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，那么实数k的取值范围是__________．
2
f(0)＞0，2
解析：设函数f(x)＝x＋(k－2)x＋2k－1，结合图像可知，f(1)＜0，
f(2)＞0.
1
2
即1＋(k－2)＋2k－1＜0，
4＋2(k－2)＋2k－1＞0，
2k－1＞0，
212
解得k＜，即＜k＜，
3231k＞4，k＞，
12 故实数k的取值范围是，.
2312答案：， 23
2 (－2≤x＜0)，
16．设函数f(x)＝
g(x)－log5(x＋5＋x2) (0＜x≤2).
x
日期：2022年二月八日。
日期：2022年二月八日。
假设f(x)为奇函数，那么当0＜x≤2时，g(x)的最大值是__________．
1x－2
解析：由于f(x)为奇函数，当－2≤x＜0时，f(x)＝2有最小值为f(－2)＝2＝，故当0＜x≤2
4122
时，f(x)＝g(x)－log5(x＋5＋x)有最大值为f(2)＝－，而当0＜x≤2时，y＝log5(x＋5＋x)为增
4函数，考虑到g(x)＝f(x)＋log5(x＋5＋x)，结合当0＜x≤2时，f(x)与y＝log5(x＋5＋x)在x＝2132
时同时取到最大值，故[g(x)]max＝f(2)＋log5(2＋5＋2)＝－＋1＝. 44
3
答案：
4
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．
1x2
17．(10分)函数f(x)＝()，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)，求h(a)．
3
221x1解析：∵x∈[－1,1]，∴∈，3. 331x1设t＝，t∈，3， 33
那么φ(t)＝t－2at＋3＝(t－a)＋3－a， 11282a当a＜时，g(x)min＝h(a)＝φ＝－；
339312
当≤a≤3时，g(x)min＝h(a)＝φ(a)＝3－a； 3当a＞3时，g(x)min＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.
2
2
2
∴h(a)＝13－a ≤a≤3
3
12－6a (a＞3).
2
282a1
－ a＜933
18．(12分)设直线x＝1是函数f(x)的图像的一条对称轴，对于任意x∈R，f(x＋2)＝－f(x)，当－1≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)证明：f(x)是奇函数；
3
日期：2022年二月八日。
日期：2022年二月八日。
(2)当x∈[3,7]时，求函数f(x)的解析式． 解析：(1)∵x＝1是f(x)的图像的一条对称轴， ∴f(x＋2)＝f(－x)． 又∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)，即f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)是奇函数． (2)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 假设x∈[3,5]，那么(x－4)∈[－1,1]， ∴f(x－4)＝(x－4). 又∵f(x－4)＝f(x)， ∴f(x)＝(x－4)，x∈[3,5]．
假设x∈(5,7]，那么(x－4)∈(1,3]，f(x－4)＝f(x)． 由x＝1是f(x)的图像的一条对称轴，可知
3
3
f[2－(x－4)]＝f(x－4)，
且2－(x－4)＝(6－x)∈[－1,1]，
故f(x)＝f(x－4)＝f(6－x)＝(6－x)＝－(x－6)，x∈(5,7]
(x－4)， 3≤x≤5，
综上，可知f(x)＝3
－(x－6)， 5＜x≤7.
3
3
3
2a＋11
19．(12分)函数f(x)＝－2，常数a＞0.
aax(1)设m·n＞0，证明：函数f(x)在[m，n]上单调递增；
(2)设0＜m＜n，且f(x)的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值． 解析：(1)任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，那么 1x1－x2f(x1)－f(x2)＝2·，
ax1x2
因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，且m·n＞0
日期：2022年二月八日。
日期：2022年二月八日。
所以x1x2＞0，即f(x1)＜f(x2)， 故f(x)在[m，n]上单调递增．
(2)因为f(x)在[m，n]上单调递增，f(x)的定义域、值域都是[m，n]⇔f(m)＝m，f(n)＝n，即m，n2a＋11222
是方程－2＝x的两个不相等的正根⇔ax－(2a＋a)x＋1＝0有两个不相等的正根，
aax2a＋a1
所以Δ＝(2a＋a)－4a＞0，2＞0⇒a＞.
a2
2
2
2
2
12
∴n－m＝4a＋4a－3＝
a343122161－3－＋，a∈，＋∞，∴a＝时，n－m取取最大值. 23a332
20．(12分)如下图，图①是定义在R上的二次函数f(x)的局部图像，图②是函数g(x)＝loga(x＋
b)的局部图像．
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)假如函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，求m的取值范围． 解析：(1)由题图①得，二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2)， 故可设函数f(x)＝a(x－1)＋2.
又函数f(x)的图像过点(0,0)，故a＝－2. 整理，得f(x)＝－2x＋4x.
由题图②得，函数g(x)＝loga(x＋b)的图像过点(0,0)和(1,1)，
logab＝0，
故有
loga(1＋b)＝1，
2
2
a＝2，
∴
b＝1.
2
∴g(x)＝log2(x＋1)(x＞－1)．
(2)由(1)得，y＝g(f(x))＝log2(－2x＋4x＋1)是由y＝log2t和t＝－2x＋4x＋1复合而成的函数， 而y＝log2t在定义域上单调递减，要使函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，必须t＝－2x＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t＞0恒成立．
2
2
日期：2022年二月八日。
日期：2022年二月八日。
2±6
由t＝0，得x＝.
2又t的图像的对称轴为x＝1，
2＋6
所以满足条件的m的取值范围为1＜m＜.
2
21．(12分)金融风暴对全球经济产生了影响，温HY在调研时强调：在当前的经济形势下，要大力扶持中小企业，使中小企业安康开展．为响应这一精神，某地方政府决定扶持一民营企业加大对A、B两种产品的消费．根据场调查与预测，A产品的利润与HY成正比，其关系如图①，B产品的利润与HY的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润与HY单位：万元)
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为HY的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的消费，问：怎样分配这10万元HY，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(准确到1万元)
解析：(1)设HY为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元． 设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x. 11
由题图①知，f(1)＝，所以k1＝.
4455
又由题图②知，g(4)＝，所以k2＝.
2415
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝x(x≥0)．
44
(2)设A产品投入x万元，那么B产品投入(10－x)万元． 设企业利润为y万元，
x5
那么y＝f(x)＋g(10－x)＝＋10－x(0≤x≤10)．
44
令10－x＝t，
日期：2022年二月八日。
日期：2022年二月八日。
10－t515265
那么y＝＋t＝－(t－)＋(0≤t≤10)．
44421656525
当t＝时，ymax＝x＝10－＝3.75.
2164
故当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得的最大利润约为4万元． 22．(12分)函数f(x)＝(1)求a的值；
32t＋22
－＜t＜，且t≠0(2)试研究函数f(x)的单调性，并比拟f(t)与2的大小；
2t3
(3)设g(x)＝(2－x)f(x)－m(x＋2)－2，是否存在实数m，使得y＝g(x)有零点？假设存在，求出实数m的取值范围；假设不存在，请说明理由．
解析：(1)由f(1)＋f(3)＝得a(a－2)＝0. 又a＞0，所以a＝2.
2＋x(2)由(1)知，函数f(x)＝，
2－x其定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 设x1，x2∈(－∞，2)，且x1＜x2， 2＋x12＋x2
那么f(x1)－f(x2)＝－
2－x12－x2＝
4(x1－x2)
＜0，
(2－x1)(2－x2)
2
a＋x(常数a＞0)，且f(1)＋f(3)＝－2. a－xa＋1a＋2
＋＝－2， a－1a－3
即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数． 同理，可得f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数． 2x＋22
令h(x)＝＝＋2，
xx那么函数h(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．
日期：2022年二月八日。
日期：2022年二月八日。
2212当t∈－，0时，f(t)＞f－＝，h(t)＜h－＝ 3323
(3)由(1)得，g(x)＝
2＋x(2－x)·－m(x＋2)－2.
2－x函数g(x)的定义域为{x|x≥－2，且x≠2}． 故g(x)＝x＋2－m(x＋2)－2(x≥－2，且x≠2)， 令t＝x＋2(t≥0)，
所以g(x)＝0可转化为方程－mt＋t－2＝0.
要使g(x)有零点，那么方程－mt＋t－2＝0必有正实数根， 当m＝0时，t＝2，x＋2＝2，∴x＝2，这与定义域不符．
12
当m＞0时，＞0，＞0，所以假如方程存在实数根，那么必为正实数根，故只需使Δ＝1－8m≥0
22
mm即可．
1
故m＞0时，满足条件的m的取值范围为0＜m≤，
8当m＜0时，方程有一正根一负根，符合题意．
1所以m的取值范围是(－∞，0)∪0，. 8
日期：2022年二月八日。
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