人教版高中数学《导数》全部教案

教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是s12gt（其中g是重力加速度）. 2当时间增量t很小时，从3秒到（3＋t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.

从3秒到（3＋t）秒这段时间内位移的增量：

ss(3t)s(3)4.9(3t)24.93229.4t4.9(t)2

s29.44.9t. ts从上式可以看出，t越小，越接近29.4米/秒；当t无限趋近于0时，

tss无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t趋向于0时，的极限是29.4. tts当t趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做

t从而，v瞬时速度.

一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋t）这段时间

ss(tt)s(t)s. 如果t无限趋近于0时，无限趋近于ttts某个常数a，就说当t趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t

t内的平均速度为的瞬时速度. 2. 切线的斜率

问题2：P（1,1）是曲线yx2上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.

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析：设点Q的横坐标为1＋x，则点Q的纵坐标为（1＋x）2，点Q对于点P

的纵坐标的增量（即函数的增量）y(1x)212x(x)2， 所以，割线PQ的斜率kPQy2x(x)22x. xx由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，x变得越来越小，kPQ越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2. 这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：y2x1.

一般地，已知函数yf(x)的图象是曲线C，P（x0,y0），Q（x0x,y0y）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近点P，即x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此时，割线PQ的斜

y无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线xyPQ的斜率kPQ的极限为k.

x3. 边际成本 率kPQ问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为C(q)3q210，我们来研究当q＝50时，产量变化q对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：

CC(50q)C(50)3(50q)210(350210)300q3(q)2.

产量变化q对成本的影响可用：

CC3003q来刻划，q越小，越接近qq300；当q无限趋近于0时，

C的极限是300. qC无限趋近于300，我们就说当q趋向于0时，q我们把

C的极限300叫做当q＝50时C(q)3q210的边际成本. q2 / 16

一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为q0时，产量变化q对成本的影响可用增量比

CC(q0q)C(q0)qq刻划. 如果q无限趋近于0时，

C无限趋近于常数A，经济学上称A为边际q成本. 它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）. 二、小结

瞬时速度是平均速度切线的斜率是割线斜率

q趋近于0时的极限.

s当t趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，tCy当x趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当

qx三、练习与作业：

1. 某物体的运动方程为s(t)5t2（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度.

2. 判断曲线y2x2在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

3. 已知成本C与产量q的函数关系式为C2q25，求当产量q＝80时的边际成本.

4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为ht2，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.

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5. 判断曲线y

6. 已知成本C与产量q的函数关系为C4q27，求当产量q＝30时的边际成本.

121x在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 22导数的概念（5月4日）

教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：

上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课：

1.设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数

Yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比

（也叫函数的平均变化率）有极限即

yxy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数xxx0yf(x)在xx0处的导数，记作y/f/(x0)limf(x0x)f(x0)

x，即

x0注：1.函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。 3.

y是函数yf(x)对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线xyf(x)上点（x0,f(x0)）及点(x0x,f(x0x)）的割线斜率。

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4.导数f(x0)lim/x0f(x0x)f(x0)是函数yf(x)在点x0的处瞬时变化率，

x它反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)/在点（x0,f(x0)）处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)。

5.导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在x0及其附近的函数值有关，与x无关。 6.在定义式中，设xx0x，则xxx0，当x趋近于0时，x趋近于x0，因

/此，导数的定义式可写成f(x0)limxof(x0x)f(x0)f(x)f(x0)lim。 xx0xxx07.若极限limx0f(x0x)f(x0)不存在，则称函数yf(x)在点x0处不可导。

x8.若f(x)在x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线存在。反之不然，若曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线，函数yf(x)在x0不一定可导，并且，若函数

yf(x)在x0不可导，曲线在点（x0,f(x0)）也可能有切线。

一般地，

x0lim(abx)a，其中a,b为常数。

特别地，limaa。

x0如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x)。称这个函数f(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即

////f/(x)＝y/＝limyf(xx)f(x)lim

x0xx0x/xx0函数yf(x)在x0处的导数y/就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x(a,b))上

/＝f(x0)。所以函数yf(x)在x0处的导数也

/导数f(x)在x0处的函数值，即y/记作f(x0)。

xx0注：1.如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间

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(a,b)内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f(x)在点x0的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的x0换成x就可，即f(x)＝lim4.由导数的定义可知，求函数yf(x)的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量yf(xx)f(x)。

//x0f(xx)f(x)

xyf(xx)f(x)。 xxy/（3）.取极限，得导数y＝lim。

x0x（2）.求平均变化率

例1.求y2x1在x＝－3处的导数。

例2.已知函数yxx （1）求y。

（2）求函数yxx在x＝2处的导数。

小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。 练习与作业：

1.求下列函数的导数：

（1）y3x4； （2）y12x

222/6 / 16

(3)y3x12x (3)y5x 23

2.求函数yx21在－1,0，1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数：

（1）yx2,x02；

（3）y(x2)2,x01

4.求下列函数的导数：

（1）y4x1;

（3）y2x33x;

（2）y13x2,x00； （4）yx2x,x01.

（2）y10x2； （4）y2x27。 7 / 16

5.求函数yx2x在－2,0，2处的导数。

2导数的概念习题课（5月6日）

教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则 教学重点 导数的概念及求导法则 教学难点 导数的概念 一、课前预习

1.f(x)在点x0处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

2.若f(x)在开区间（a，b）内每一点都有导数f(x)，称f(x)为函数f(x)的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数f(x)在点x0处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

//(x)_____(nN) 3.常数函数和幂函数的求导公式： (c)___　　　4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：

/n/*[f(x)g(x)]/f/(x)g/(x)　　　　[cf(x)]/cf/(x)

二、举例

例1.设函数f(x)x1，求：

（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量x； （2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量y； （3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；

（4）函数在x＝1处的变化率.

例2.生产某种产品q个单位时成本函数为C(q)2000.05q，求 （1）生产90个单位该产品时的平均成本；

（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率； （3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.

例3.已知函数f(x)x，由定义求f(x)，并求f(4).

2//228 / 16

例4.已知函数f(x)(axb)(a,b为常数)，求f(x).

例5.曲线y2/32x上哪一点的切线与直线y3x1平行？ 2

三、巩固练习

/1.若函数f(x)x，则[f(2)]＝＿＿＿＿＿＿

32.如果函数yf(x)在点x0处的导数分别为：

//（1）f(x0)0 （2）f(x0)1 //（3）f(x0)1 （4）f(x0)2，

试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.

//3.已知函数f(x)x2x，求f(0)，f()，.

214

4.求下列函数的导数 （1）y1211x3x2 （2）yx3x25x1 243322（3）yx(x4) （4）y(2x1)(3x2)

四、作业

1.若limf(x)存在，则[limf(x)]＝＿＿＿＿＿

x0x0/2.若f(x)x，则lim3.求下列函数的导数：

2x1f(x)f(1)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

x114x 623（1）y2x20x40x1 （2）y32x4x5x429 / 16

（3）y(2x1)(3xx) （4）y(x2)(x1)

4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即C(x)10007x5x，试求： （1）当日产量为100时的平均成本；

（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本； （3）当日产量为100时的边际成本.

5.设电量与时间的函数关系为Q2t3t1，求t＝3s时的电流强度.

6.设质点的运动方程是s3t2t1，计算从t＝2到t＝2＋t之间的平均速度，并计算当t＝0.1时的平均速度，再计算t＝2时的瞬时速度.

7.若曲线y

8.在抛物线y2xx上，哪一点的切线处于下述位置？ （1）与x轴平行

（2）平行于第一象限角的平分线. （3）与x轴相交成45°角

9.已知曲线y2xx上有两点A（2,0），B（1,1），求：

（1）割线AB的斜率kAB； （2）过点A的切线的斜率kAT； （3）点A处的切线的方程.

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22223223232x1的切线垂直于直线2x6y30，试求这条切线的方程. 2

10.在抛物线yx上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.

11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的增长速度.

12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以0.02m/s的速度增加，求在x＝20m，y＝15m时，长方形面积的变化率.

13.（选做）证明：过曲线xya上的任何一点（x0,y0）（x00）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：()221x/1） 2x导数的应用习题课（5月8日）

教学目标 掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值 教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法

教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用 一、课前预习

1.设函数yf(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则yf(x)是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则yf(x)是这个区间内的＿＿＿＿＿. 2.设函数yf(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的值都大（小），则称f(x0)是函数yf(x)的一个＿＿＿＿＿＿. 3.如果yf(x)在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：

（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）； （3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数yf(x)在这个根处取得极＿值；

如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数yf(x)在这个根处取得极＿值. 4.设yf(x)是定义在[a，b]上的函数，yf(x)在(a，b)内有导数，可以这样求最值：

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（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程f(x)0在(a，b)内的根x1,x2,,xn）； （2）比较函数值f(a)，f(b)与f(x1),f(x2),,f(xn)，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 二、举例

例1.确定函数f(x)2x9x12x3的单调区间.

例2.设一质点的运动速度是v(t)运动速度的改变情况怎样？

例3.求函数f(x)

例4.设函数f(x)32/34t7t315t23，问：从t＝0到t＝10这段时间内，413x9x4的极值. 31312axbxx在x1＝1与x2＝2处取得极值，试确定a和b的值，32并问此时函数在x1与x2处是取极大值还是极小值？

例5.求函数f(x)3x9x5在[－2,2]上的最大值和最小值.

例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强

度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？

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3

例7.求内接于抛物线y1x与x轴所围图形内的最大矩形的面积.

例8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的函数：

2C(x)1006x0.04x20.02x3，试问：当生产水平为x＝10万件时，从降低单

位成本角度看，继续提高产量是否得当？

三、巩固练习

1.若函数f(x)在区间[a，b]内恒有f(x)0，则此函数在[a，b]上的最小值是＿＿＿＿ 2.曲线y/141312xxxx1的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 432323.设函数f(x)ax(ax)axa在x＝1处取得极大值－2，则a＝＿＿＿＿. 4.求下列函数的单调区间：

（1）y2x3x12x1 （2）y(x1)(x2)

5.求下列函数的极值：

（1）yx4x6， （2）yx3x9x5，[－4,4]

6.求下列函数的最值：

（1）yx4x6，[－3,10] （2）yx3x，[－1,4]

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232232322

7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为C(q)aqbqcq，（其中a＞0，b＞0，c＞0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.

8.一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为C(q)3q（单位：百元），可

得的总收入为R(q)6qq（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？

9.在曲线y1x(x0,y0)上找一点（x0,y0），过此点作一切线，与x轴、y轴构成

一个三角形，问：x0为何值时，此三角形面积最小？

10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为C(q)2.210q810，通过市场调查，

可以预计这种彩电的年需求量为q3.11050p，其中p（单位：元）是彩电售价，q（单位：台）是需求量. 试求使利润最大的销售量和销售价格.

5372232多项式函数的导数（5月6日）

教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入

1、已知函数f(x)x，由定义求f(x)，并求f(4)

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2//

2、根据导数的定义求下列函数的导数：

（1）常数函数yC （2）函数yx(nN)

二、新课讲授

1、两个常用函数的导数：

n/n1*/(C)0(x)nx(nN)

2、导数的运算法则：

如果函数f(x)、g(x)有导数，那么

[f(x)g(x)]/f/(x)g/(x)；

// [Cf(x)]Cf(x)

也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数：

（1）y7x （2）y3x （3）y4x3x （4）y(x1)(x2) （5）f(x)(axb)(a、b为常数) 例2：已知曲线y223453n*138x上一点P(2，)，求： 33 （1）过点P的切线的斜率； （2）过点P的切线方程.

三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数：

（1）y8x （2）y2x1 （3）y2xx （4）y3x4x （5）y(2x1)(3x2) （6）yx(x4)

22、已知曲线y4xx上有两点A（4，0），B（2，4），求：

（1）割线AB的斜率kAB；（2）过点A处的切线的斜率kAT；（3）点A处的切线的方程.

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23223

3、求曲线y3x4x2在点M（2，6）处的切线方程.

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