翻开姜启源的《数学建模》，看到数不清的模型不禁发愁，犹豫是转去看高数线代书从极限开始从头学起，还是像学长说的直接看历年的真题。其实我觉得，这要根据个人学习能力与预计准备时间长短决定。学校有关知识课程学过一遍的话，并且在比赛时间充足或单纯想提升知识技能情况下，建议先腾出一小部分时间大致熟悉一下这本入门必备教材，培养一下建模思维。对于建模期初总结性的东西就不放在笔记中了，直接从自己目前接触到的模型学习入手。知乎文章算是很好的记录平台，大概率只有我一个人能看到这份笔记，但享受学习过程是最重要。
18.11.11 微分方程模型
一.适用范围
我们在研究一些问题时，会涉及到变量的变化率或导数，这样所得到的变量之间的关系就是微分方程模型，其反映的是变量之间的间接关系，通过求解方程，就得到了直接关系。大多数情况下，我们要通过分析具体情况，通过类比根据规律列出微分方程。
按照求解方法的不同分为：精确求解，数值求解，定性分析方法。
正如上面提到过的，微分方程的集中建立方法为：根据规律建立方程，微元法，模拟近似
二. 关于微分方程
对于微分的概念，起初还是很模糊，翻看了同济七版的微分部分，了解到微分的定义。
设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。 如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy， dy = AΔx 通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx， dx = Δx 因此y = f(x)的微分又可记作 dy = f'(x)dx 微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去微分近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。
三. 常用模型
复习了微分的概念和微分在建模中的适用范围，就来看一下实际情况下的数学建模
经济增长模型
1.理解题目
在实际生活中，谈到经济生产，首先想到的要素是：产值Q、劳动力L、投资K。于是我们就基于这三方面因素，解决以下问题：
分析资金、劳动力之间的关系 研究资金与劳动力的最佳分配，是投资效益最大 如何调节资金与劳动力的增长率，使劳动生产率得到有效增长
2.建立模型
1）分析资金、劳动力之间的关系
在某一时刻t,Q(t),K(t),L(t)的关系可记为
Q(t)=F(K(t),L(t)) 也可以理解为投资与劳动力对产值的影响，这里F(x)函数使未知形式的。要判断具体的函数形式，就要根据实际情况分析。引入 z=Q/L y=K/L
这里要重点学习对于未知函数的假设，z是每个劳动所增加的产值，y是每个劳动所投入的资金。分析可知，z随y的增大而增大，但增长速度是减小的，即z的斜率是减小的，g（y）递减的，因此假设表示为：
z=cg(y), g(y)=y^α 0<α<1 系数c为技术因素，大于0
综合以上可得 Q=cK^αL^(1-α)
后面的步骤省略了，因为这一练习重点是学会对于未知函数的假设
2）资金与劳动力的最佳分配
说到最佳分配，即是考虑到何时利润S最大
S=Q-rK-wL r为利率 w为工人工资
Qk/Ql = r/w （微分法求解）
3）劳动生产率增长的条件
说到劳动生产率的增长，想到的一是总产值Q(t),二是每个劳动力的产值z
资金和劳动力的增加的简化如下
投资增长率和产值成正比，比例系数大于0，增长率和微分联系到一起去，就有
dK/dt =mQ m>0
劳动力的相对增长率为常数n，n可为负数表示劳动力减少，则有
dL/dt=nL …………1
在这里解1的解，需要我们学会根据实际假设方程，因为n可正可负，则有
L（t）=L0e^nt
即L函数可单调递增也可单调递减。