高一数学必修一第一章知识总结

高一数学必修一第一章知识总结 人教版高一数学第一章集合与函数概念

概念元素：一般的，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合

如果a是集合

xB＝A；AB＝BA补集：对于一个集合合CUAxxU,且xA这个集合为全集，通常记为UA，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集A相对于集合U的补集，简称集合A的补集，记为CUA，即全集：一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称

子集的性质：1.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；2任何一个集合都是它本身的子

集；3.任何非空集合的真子集的个数比子集少两个。4.传递性，即若AB，BC，则

元素与集合的关系A的元素，则a属于集合A，记作aAA的元素，则a不属于集合A，记作aA

如果a不是集合

集合与元素集合的表示方法列举法：如2到8之间的偶数{2,4,6,8}描述法：如图示法

集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性

常用的数集及其记法：非负整数集或自然数集，N；正整数集，N*或N+；整数集，Z；有理数集，Q；实数集，R。

xx10

子集：若集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，即若xAxB，则ABA是集合B的子集，且B中至少有一个元素不在A中，则称A是B的真子集，即若AB且A≠B，则AB真子集：若集合集合与集合的基本关系空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为相等：若集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，则称A与B相等。即若若AB且BA，则A=B交集：一般的，由属于集合集合与集合性质：AA且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B交集，记作AB；即ABxxA,且xB＝；AB＝BA并集：一般的，由属于集合集合的运算关系性质：AA或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B并集，记作AB；即ABxxA,或

AC。传统定义：设在某变化过程中有两个变量x，定义y，如果对与x在某范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫自变量。A，B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，使集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yfx，xA。其中，x叫自变量，x的取值范围A叫做函数近代定义：设fx的定义域，与x相对应的y值叫函数值，函数值的集合fxxA叫做函数fx的值域函数函数的三要素：定义域，值域，对应法则函数的表示方法：解析法，列表法，图像法单调性：如果对于定义域I内某区间D上任意两个自变量的值x1，x2，当x1有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是增函数。如果对于定义域I内某区间D上任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是减函数。函数的基本性质最值：一般的，设函数x2时，yfx的定义域为I，如果存在实数M满足①对与任意xI，都有fxM，存在x0I，使得fx0M，则M是函数yfx的最大值；①对与任意xI，都有fxM，存在x0I，使得fx0M，则M是函数yfx的最小值；fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么函数fx就叫做偶函数。一般的，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么函数fx就叫做奇函数。

奇偶性：一般的，如果对于函数 高一数学必修1各章知识点总结

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金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念

一、集合有关概念1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,

北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1）列举法：{a,b,c}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合

的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图: 4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集

注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作ABA) ③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型定由所有属于A且属义于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：ABB(或

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

作‘A交B’），即（读作‘A并B’），记作CSA，即AB=｛x|xA，且即AB={x|xA，xB｝．或xB})．CSA={x|xS,且xA}韦恩ABABS图A示图1图2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦAΦ=AAAA=Cu(AB=BB=BAB)ABAABＡ(CuA)(CuB)质ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（）

A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c}的真子集共有个

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3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.4.设集合A=x1x2，B=xxa，若 AB，则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=. 7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2

-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值 二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，

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(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2．值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法

常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间 （3）区间的数轴表示．5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调 减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：

1任取x1，x2∈D，且x1金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；例题：

1.求下列函数的定义域：⑴yx2x15x332⑵y1(x1x12)2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为__

3.若函数f(x1)的定义域为[2，3]，则函数f(2x1)的定义域是4.函数

x2(x1)2，若f(x)3，则xf(x)x(1x2)2x(x2)2= 5.求下列函数的值域： ⑴yx22x3(xR)⑵yx2x3x[1,2] (3)yx12x(4)y6.已知函数 f(x1)x4x，求函数

2x4x52f(x)，f(2x1)的解析式

7.已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4，则f(x)=。8.设f(x)是R上的奇函数，且当x[0,)时,

f(x)x(13x),则当x(,0)时 f(x)=

f(x)在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间：⑴yx22x3⑵y2x2x3⑶yx6x1 210.判断函数yx31的单调性并证明你的结论．

211.设函数f(x)1x判断它的奇偶性并且求证：f(1)f(x)． 21xx

第二章基本初等函数 一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

n1．根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n>1， *且n∈N．

n负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00。 当n是奇数时，anna，当n是偶数时，ann(a0)a|a| a(a0)2．分数指数幂

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正数的分数指数幂的意义，规定： manna(a0,m,nN,n1)m*，

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amn1mn1na0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(MN)logaM＋logaN；○ 2log○3log○

MaNMnlogaM－logaaN； anlogM(nR)． 运算性质

am(a0,m,nN,n1)

*（1）aaa(a0,r,sR)；（2）(a)a rrsrsrsrrrs (a0,r,sR)；

（3）(ab)aa(a0,r,sR)．（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

两个重要对数：

1常用对数：以10为底的对数lgN；○

2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．○ 指数式与对数式的互化 幂值真数 ba＝NlogaN＝b 底数指数对数

（二）对数的运算性质

注意：换底公式

logcblogab（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca利用换底公式推导下面的结论（1）logambnnmlogab；（2）logab1logba．（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其

中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

y2log2x，ylogx5都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 52对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．○

2、对数函数的性质：a>10金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

1、幂函数定义：一般地，形如yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

0时，（2）幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；

（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．例题：1.已知a>0，a

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0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是() 2.计算：① loglog26413

3;②2784log23=；25113log5272log52=; 27③0.064()[(2)]0343160.750.012= 3.函数y=log1(2x2-3x+1)的递减区间为

24.若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=5.已知f(x)log

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点． 3、函数零点的求法：

1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的○ 图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 金太阳新课标资源网

1xa1x(a0且a1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使f(x)0的x的取值范围 wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

4、二次函数的零点： 二次函数yax2bxc(a0)．

（1）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．5.函数的模型

检验符合实际用函数模型解释实际问题画散点图收集数据不符合实际选择函数模型金太阳新课标资源网

求函数模型wx.jtyjy.com

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