1. 在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60º，∠CBD＝15º，求BC长.
【答案】4
【解析】利用已知条件及正余弦定理，即可求得BC的长.
试题解析：在ΔABCD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD•BDcos60º， 即BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8.（6分） 在ΔBCD中，由正弦定理得:
【考点】解三角形，正弦定理，余弦定理 2. 在A．
中，内角A,B,C所对应的边分别为
，若C．1
，则
的值为（ ） D．
.（12分）
B．
【答案】D
【解析】由正弦定理得：
选D.
【考点】正弦定理
3. 如图,在平面四边形(1)求的值;
，又
，所以
中,.
(2)若,,求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】试题分析:(1)题目已知三角形的三条边,利用的余弦定理即可得到该角的余弦值.
(2)利用(1)问得到的的余弦结合正余弦之间的关系即可求的该角的正弦值,再利用正余弦之间的关系即可得到,而与之差即为,则利用正弦的和差角公式即可得到角
的正弦值,再利用三角形的正弦定理即可求的边长. (1)由,所以(2)因为
关于
.
为四边形内角,所以
且
,则由正余弦的关系可得
的余弦定理可得
且,再由正弦的和差角公式可得
,再由
的正弦定理可得
.
【考点】三角形正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式
4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC的面积为A．
，则
＝( ) B．
C．2
D．2
【答案】D
【解析】S△ABC＝bcsin120°＝∴a＝
，∴由等比例性质得
，即c×
＝
＝＝2
，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°＝21，．
5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，则C＝( ) A．或
B． C．或
D．
【答案】B
【解析】∵cos(A－C)＋cosB＝1，∴cos(A－C)－cos(A＋C)＝1,2sinA·sinC＝1．又由已知a＝2c，根据正弦定理，得sinA＝2sinC，∴sinC＝，∴C＝或
．∵a>c，∴A>C，∴C＝．
sinA－
6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则cos(B＋)的最大值为( ) A．
D．2
B．2
C．
【答案】D
【解析】由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC．因为0 sinA ，所以 7. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝2，c＝(1)若sinC＝(2)设f(C)＝ ，求sinA的值； sinCcosC－cos2C，求f(C)的取值范围． ． 【答案】（1） （2）(－1，] 【解析】解：(1)由正弦定理得∴sinA＝ ＝ ＝． ＝， (2)在△ABC中，由余弦定理，得c2＝b2＋a2－2bacosC， ∴3＝b2＋4－4bcosC，即b2－4cosC·b＋1＝0，由题知关于b的一元二次方程应该有解， 令Δ＝(4cosC)2－4≥0，得cosC≤－ (舍去)或cosC≥， ∴0 ＝sin(2C－)－ (－<2C－≤)， ∴－1 中，已知 ， 的长. ；（2） . ，然后再结合的范围求出，最后再利用两角和的正弦的长度. ， ， 中， ； （2）在 中，由正弦定理得： ， . ， ，得， 且 且 . （1）求角和的值； （2）若的边，求边【答案】（1）【解析】（1）利用公式求出（1）由可得，，，在 ， 并结合两角差的余弦公式求出 的值，利用三角形的内角和定理得到 的值；（2）在（1）的基础上直接利用正弦定理求出 ， 【考点】1.两角和与差的三角函数；2.内角和定理；3.正弦定理 9. （2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1． （1）求角A的大小； （2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 【答案】（1） （2） （舍去）． 【解析】（1）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0， 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得 因为0＜A＜π，所以（2）由S= = ． = ，得到bc=20．又b=5，解得c=4． ． ． 对的边分别为的取值范围； ，已知 . 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故又由正弦定理得 10. 在（1）若 中，角，求 （2）若 【答案】（1）【解析】（1）在 ，求面积的最大值. ；（2） 中，角 对的边分别为 ，已知 ，且 .由正弦定理可用一 个角B表示出b,c的值.再根据三角函数角的和差化一公式，以及角B范围.求出最值，再由三角形的三边的关系即可得到结论. （2）由，可得到三角形边b,c与角A的余弦值的关系式，即可得角A的正弦值.再由余弦定理通过放缩以及三角形的面积公式即可得到结论. （1） ， （2分） （4分） . （6分） （2） ， （8分） （10分） 当且仅当时的面积取到最大值为． . （12分） 【考点】1.正余弦定理.2.三角形的面积公式.3.不等式的基本公式.3.最值的求法. 11. 在中，角所对的边分别为，点在直线（1）求角的值； （2）若 ，且 ，求． ． ；再由余弦定理求得 上． 【答案】（1）角的值为；（2） 【解析】（1）由正弦定理先化角为边，得到，所以角 ，由正弦定理知 的值为；（2）先用二倍角公式化简，再结合正弦函数的性质可求角 ． 试题解析：（1）由题得由正弦定理由余弦定理得结合（2）因为 因为所以， ，且 所以 . ,得 . 得 ， ，即 ， . 【考点】正余弦定理、二倍角公式. 12. 设函数 . ，求a的值. 展开， （1）求的值域； （2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若【答案】（1）；（2）. 【解析】(1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式然后合并同类项，利用域. (2)若 , 进行化简；利用三角函数的有界性求出值 ，将已知 ,再求角C,然后利用特殊 ,得到角的取值，方法一：可以利用余弦定理 ，先求 代入，得到关于的方程，方法二：利用正弦定理三角形，得到的值. 试题解析：（1） 4分 因此（2）由即 的值域为[0，2]. 6分 得，又因 ， ，故 . 9分 ， . 9分 ； 10分 ，从而 . 11分 解法1：由余弦定理，得解得. 12分 解法2：由正弦定理当当 时，时， ，从而，又 ，得 故a的值为1或2. 12分 【考点】两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理. 13. 在锐角则A．B．C．D． 中，角、、所对的边分别为、、，若 ， 且 ， 的面积为( ) 【答案】A 【解析】， ，又， 是锐角三角形 ．选A. ， 14. △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB． （1）求B； （2）若b=2，求△ABC面积的最大值。 【答案】（1） （2） 【解析】(1)∵a=bcosC+csinB ∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ① 在三角形ABC中，A=－(B+C) ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ② 由①和②得sinBsinC=cosBsinC 而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB 又B(0，)，∴B= (2)△ABC的面积S=acsinB= ac 由已知及余弦定理得 4=a2+c2－2accosB ③ 而a2+c2≥2ac ④ 联立③和④得ac≤，当且仅当a=c时等号成立． 因此△ABC面积的最大值为 15. 设的三内角所对的边长分别为，且（1）求三角形ABC的面积； ，A=，． （2）求【答案】（1） 的值及；（2） 中内角B,C的大小. ； ，根据三角形面积公式 ，结合已知条件可得 可求其面积。 的值。 【解析】（1）根据已知条件由余弦定理可得（2）由正弦定理因为 ，则 ，所以 可得 ，代入上式即可求得角，从而即可得角。 得 ，由此可得 试题解析：（1）由余弦定理. （2）因为A=；由正弦定理： ；因为 ，所以 ，又，由此得 ，所以 ，在 中，或，即由此可求得，或，. 【考点】1余弦定理；2三角形面积；3正弦定理；4两角和差公式。 16. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB 上． (1)若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD； （2）当 时，求二面角 的余弦值． 【答案】(1)详见解析；（2） 【解析】（1）要证明AC1∥平面B1CD，根据线面的判定定理，只要转换证明DE//AC1即可； （2）可以以C为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量与平面B1CD的法向量，然后利用向量夹角公式即可. 试题解析：解:(1)证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE． 因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点， 所以侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以DE//AC1． 因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．6分 （2）由（1）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz． 则B(3,0,0)，A(0,4,0)，A1(0,4,4)，B1(3,0,4)．设D(a,b,0)（ ，），因为点D在线段AB 上，且所以 ， ，即， ． ， , ． ， 平面BCD的法向量为由 ， ，得 ．设平面B1CD的法向量为 ， 所以，， 的余弦值为 .所以 ．12分 ． 所以二面角 【考点】(1)空间位置关系的证明；（2）平面向量在立体几何中的应用. 17. 在中，角、、的对边分别是、、，若，，的大小为 . 【答案】 【解析】由而 ，所以， . 又 ，故 . 得， ，则角 由正弦定理得， 【考点】两角和差的三角函数，正弦定理的应用. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、.已知（1）求的大小； （2）如果 ， ，求 . 的面积. . 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）先根据条件结合余弦定理求出的值，从而求出的大小；（2）先利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出的值，利用正弦定理求出的值，最后利用三角形的面积公式求出的面积. 试题解析：（1）因为， 所以又因为（2）因为所以由正弦定理得因为所以解得因为所以故 . ， ， ， ， . 的面积 . ，所以 ， . ， ， ； ， 【考点】1.正弦定理与余弦定理；2三角形的面积公式 19. 在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知则b= . 【答案】4 【解析】根据正弦定理和余弦定理, 由 ，解方程组： 得： ,且， 所以，答案填4. 【考点】正弦定理、余弦定理. 20. 已知函数（1）若（2）设△ ，求【答案】(1)【解析】 (1)首先利用正弦和差角公式展开 ,则从x的范围得到 取值范围,进而得到(2)把 的取值范围. ,再利用正余弦的二倍角与辅助角公式化简 的范围,再利用正弦函数的图像得到 ,得到 的 ，求 . 的取值范围； ， ， 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，的值． (2) 带入第(1)问得到的解析式,化简求值得到角A,再利用角A的余弦定理,可以求出a 的值,再根据正弦定理,可以求的B角的正弦值,再利用正余弦之间的关系可以求的A,B的正余弦值,根据余弦的和差角公式即可得到的值. 试题解析： （1） 4分 ∵∴（2）由 又为锐角，所以所以由所以， ，得 ，又 ，，又 ，∴ ， ． 7分 ，得， ， ． 10分 ，从而 ， ． 14分 ， ． 【考点】三角形正余弦定理 正余弦和差角与倍角公式 正弦函数图像 21. 在中，角的对边分别为，且. （1）求（2）若的值； 成等差数列，且公差大于0，求 ；（2） . 的值. 【答案】（1） 【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理与数列的综合问题、利用正弦定理求三角函数值、等差数列的性质、三角函数值问题等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力.第一问，根据正弦定理将边转换成角，即可得到；第二问，利用等差中项的概念得，再利用正弦定理将边转换成角，得到的余弦公式，得到即的值. 试题解析：（Ⅰ）由所以 ． 4分 ，设 ，再利用内角和与诱导公式，将 ，根据正弦定理得 ，两式联立，利用平方关系和两角和 转化成 ， ，解方程求出的值， （Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得． ① 设 ①2＋②2，得又故 代入③式得因此 ． ． ， ，所以 ． 10分 ， ② ． ③ 7分 ， ， 【考点】1.正弦定理；2.等差中项；3.两角和的余弦公式；4.诱导公式. 22. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C) =-. (1)求sinA的值; (2)若a=4,b=5,求向量【答案】(1) (2) 在 方向上的投影. cosB= 【解析】解:(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-, 得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-. 则cos(A-B+B)=-, 即cosA=-. 又0 =. , 由题知a>b,则A>B,故B=. 根据余弦定理,有(4故向量 在 )2=52+c2-2×5c× cosB= ,解得c=1或c=-7(负值舍去). . 方向上的投影为 23. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 【答案】（1）a＝3，c＝3（2） 【解析】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又a＋c＝6，b＝2，cosB＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3. (2)在△ABC中，sinB＝为锐角，所以cosA＝ ，由正弦定理得sinA＝ ，因为a＝c，所以A . b. ，因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝ 24. 在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝(1)求角A的大小； (2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积． 【答案】（1）（2）【解析】(1)由2asinB＝ b及正弦定理 ，得sinA＝ .因为A是锐角，所以A＝. . (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为 25. 在△ABC中， (1)若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________． (2)若b＝3，c＝，C＝45°，则a＝________． (3)若AB＝，BC＝，C＝30°，则∠A＝________． 【答案】(1)2(2)无解(3)45°或135° 【解析】(1)已知两角和一边只有一解，由∠B＝30°，∠C＝105°，得∠A＝45°.由正弦定理，得b＝ . >1，∴无解． ，得 ，∴sinA＝ . (2)由正弦定理得sinB＝(3)由正弦定理 ∵BC>AB，∴A>C，∴∠A＝45°或135° 26. 在△ABC中，若9cos2A－4cos2B＝5，则【答案】 【解析】由9cos2A－4cos2B＝5，得9(1－2sin2A)＝5＋4(1－2sin2B)，得9sin2A＝4sin2B，即3sinA＝2sinB.由正弦定理得 ＝ asinC-ccosA. 27. 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=(1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c. 【答案】(1) (2) b=c=2 【解析】解:(1)由c= asinC-ccosA及正弦定理得 ＝________． sinAsinC-cosAsinC-sinC=0, 由sinC≠0,所以sin（A-）=, 又0 ,故bc=4. 由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=8, 解得b=c=2. 28. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos =2B=1. (1)求证:a,b,c成等差数列; (2)若C= ,求的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】(1)证明:由sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1得 sinA+sinC-2sinB=0. 因为 = = , 所以a+c-2b=0, 所以2b=a+c, 即a、b、c成等差数列. (2)解:由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cosC及2b=a+c,c=得(a-2b)2=a2+b2-2ab即a2+4b2-4ab=a2+b2+ab, 也即3b2=5ab, 所以=. 29. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b-c=acosC,则A等于( ) (A) (B) (C) 或 (D) 或 . , 【答案】B 【解析】由正弦定理知,2sinB-sinC=2sinAcosC, 2sin(A+C)-2sinAcosC=sinC, 2cosAsinC=sinC,sinC≠0, ∴cosA=. 又0 .（1）求内角B的余弦值；（2）若，求三角形的面积. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】(1) 首先应考虑将的角换掉一个，那么换掉哪一个？比较一下， 可知只有换掉角B可使式子简化.换掉角B之后用公式化简可得.接下来又怎么办？我们的目的是求 ，而 ，故应将 转化为边的关系.由 又因为a、b、c成公比小于1的等比数列，所以 便可得 再求出 .（2）由 ， ， ，这样将，. 代入 ，用面积公式得. 试题解析：(1) 2分 4分 又因为 所以(2)又因为所以 6分 8分 10分 12分 【考点】1、三角变换；2、正弦定理与余弦定理；3、三角形的面积 31. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝b，sin B＝sin C，则B等于________． 【答案】B＝45° 【解析】据正弦定理将角化边可得sin B＝sin C⇒b＝c，又a＝b，由勾股定理可得三角形为等腰直角三角形，故B＝45°. 32. △ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,A=,cosB=,则b=( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵cosB=,∴sinB=∴ = , = = . , 则b= 33. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos A＝，cos B＝＝________． 【答案】 ，所以sin A＝， ，即 ，所以a＝ ，b＝3，则c 【解析】因为cos A＝，cos B＝sin B＝ .由正弦定理得 ＋c2－2c，解得c＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝ (负值舍去)． 34. 已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为2. (1)求常数m的值； (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝1，sin B＝3sin C，△ABC的面积为 ，求边长a. 【答案】（1）m＝－1.（2）a＝【解析】(1)f(x)＝2因为x∈ sin x·cos x＋2cos2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1. . 上是增函数，在区间 上是减函数， 上取到最大值．此时，f(x)max＝f ＝m ，所以2x＋∈ 因为函数y＝sin t在区间 所以当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)在区间＋3＝2，得m＝－1. (2)因为f(A)＝1，所以2sin即sin ＝1， ＝，解得A＝0(舍去)或A＝. ，所以b＝3c.① ，所以S△ABC＝bcsin A＝bcsin＝ ，即bc＝3.② 因为sin B＝3sin C，因为△ABC的面积为 由①和②解得b＝3，c＝1. 因为a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝32＋12－2×3×1×cos， 所以a＝ 35. 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为（1）求角的大小； （2）若，求的面积及. 【答案】（1） ;（2） . ,那么可以将条件 ；（2）已知 转化成角的关系： ，夹角 ；又由，所以 ， ， ,且. 【解析】（1）由正弦定理，有 ,得到 ，再由锐角三角形得到 可直接利用正弦定理的面积公式余弦定理：. 试题解析：（1）可得由于, 故有 . ，可得：，由正弦定理有 . ，求出面积为 又因为是锐角，所以：（2）依题意得： . 可得： 所以由余弦定理. 【考点】正弦定理，余弦定理. (1)求sin A的值； (2)求△ABC的面积． 36. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，cos C＝ 【答案】（1）（2） . 【解析】(1)在△ABC中，∵cos C＝，∴sin C＝由正弦定理得 ＝ ， ，∴sin A＝ . (2)由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2＝1＋b2－b， ∴2b2－3b－2＝0，∴b＝2， S△ABC＝ absin C＝×1×2× 37. 在△ABC中，∠ABC＝，AB＝A． ，BC＝3，则sin ∠BAC＝( )． C． ＝ . B． D． 【答案】C 【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos ∠ABC＝(×3cos ＝5. ∴AC＝ 38. 已知函数f(x)＝ sin xcos x＋cos 2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b， c，且f(B)＝1. (1)求角B的大小； (2)若a＝，b＝1，求c的值． 【答案】（1）B＝，（2）c＝1 【解析】(1)因为f(x)＝ ∈ sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以f(B)＝sin ＝1，又 ，由正弦定理得sin ∠BAC ＝ . )2＋32－2× ，所以2B＋＝，所以B＝ (2)法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得c2－3c＋2＝0，所以c＝1，或c＝2. 法二 由正弦定理所以c＝2； 当A＝ 39. 已知函数f(x)＝ sin cos. ，S△ABC＝2 ，角C为锐角．且满 ＋sin2 (其中ω>0,0<φ<)．其图象的两个相邻 时，C＝，所以c＝1. 得sin A＝ ，所以A＝或A＝ ，当A＝时，C＝， 对称中心的距离为，且过点 (1)函数f(x)的解析式； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝足f ＝，求c的值． 【答案】（1）sin 【解析】(1)f(x)＝ ＋（2） sin (ωx＋φ)＋ [1－cos (ωx＋φ)]＝sin ωx＋φ－＋. ＝π， ＋＝1， ∵两个相邻对称中心的距离为，则T＝π，∴∵ω>0，∴ω＝2，又f(x)过点即sin .∴sin ＝，∴cos φ＝，又∵0<φ<， ＋. ＋＝sin C＋＝，∴sin C＝， . ×b×＝2 ， ∴φ＝，∴f(x)＝sin (2)f ＝sin 又∵0 ×6× ∴b＝6，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即c2＝5＋36－2 ＝21，∴c＝ . 40. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝( )． A．C． －1 B．2－D． 【答案】C 【解析】在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝△BCD中，sin∠BDC＝ ＝ ＝＝ ＝50( )，在 －1.由题图，知cos θ＝sin∠ADE ＝sin ∠BDC＝－1. 41. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A＋sin2C－sin2B＝C，则角B为 ( )． A． B． C． D． sin Asin 【答案】A 【解析】由正弦定理可得a2＋c2－b2＝ 42. 设A． 的内角 ac，所以cos B＝ ,若C． ＝ ＝ ，所以B＝. 所对边的长分别为B． ,则角= （ ） D． 【答案】A 【解析】由正弦定理 ，得 【考点】1.正弦定理；2.余弦定理. 43. 已知中，， A．B． ，而 ，令，解得 ，则由余弦定理，所以 ，故先A. ，则角等于（ ） C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理答案为D. 【考点】正弦定理 44. A．重心 B．垂心 C．内心 的 （ ） D．外心 ，得 ，又 ，所以 .所以正确 【答案】A 【解析】由正弦定理得： ，所以 ，点P在BC边的 中线上，即点P的轨迹过三角形的重心. 【考点】1、向量的基本运算；2、正弦定理. 45. 在 中， ， ， ，则 的值为______________. 【答案】. 【解析】由余弦定理得 ，由于 ，解得 ，由正弦定理得 ，即 . ，整理得 【考点】1.余弦定理；2.正弦定理 46. 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足 ， A．重心 B．垂心 ，则动点P的轨迹一定通过 C．外心 的（ ） D．内心 【答案】A 【解析】由正弦定理， 故动点P的轨迹一定通过的重心.选A. 【考点】正弦定理，向量的加法、减法法则. ， ， 47. 已知（1）求（2）求 中，内角的面积； 的值. 对边分别为， 【答案】（1）；（2）. 【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的运用以及运用三角公式进行三角变换的能力和利用三角形面积公式求面积，考查公式的熟练运用和计算能力.第一问，利用平方关系求出，利用三角形面积公式求面积；第二问，先利用余弦定理求出c边，再利用正弦定理求出 和，最后利用两角差的正弦公式将所求表达式展开，将已知代入计算即可. 试题解析：（1） . 6分 （2）由余弦定理由正弦定理， ， ， . 12分 【考点】1.余弦定理；2.正弦定理；3.三角形面积公式；4.两角和与差的正弦公式. 48. 已知（2）求函数【答案】（1） ；（2）分别是 的三个内角 的值域. . 的对边， . （1）求角的大小； 【解析】（1）若在三角形中求角，一般情况可把等式里的边由正弦定理化为角，再化简，可得角的大小；（2）由（1）知在三角形中角的大小，则可知的大小，即知角的范围，再化简所求函数，根据角的范围求函数的值域. 试题解析：（I）由正弦定理，得：即故， 所以（II） . 6分 ， 8分， ， 4分 ， 2分 11分 ， 13分 所以所求函数值域为. 14分 【考点】1、正弦定理； 2、三角函数的运算及值域. 49. 已知（Ⅱ）求函数 分别是 的三个内角 的值域. 的对边，. （Ⅰ）求角的大小； 【答案】（Ⅰ）【解析】（Ⅰ）因为 ；（Ⅱ）函数值域为． ，像这种，式子中即含有边又含有角，往往是要么都化成角，要 ，去分母整的值域， ， 么都化成边，本题求角的大小，应利用正弦定理把边化为角得：理得含有故值域． 试题解析：（I）由正弦定理，得：即故，所以（II） 6分 8分 10分 4分 ，从而得 ，故得 ；（Ⅱ）求函数 两个角，因此需消去一个角，转化为一个角的一个三角函数来求，由（Ⅰ）可知 ，从而消去C，得关于B的三角函数，利用三角恒等变化及三角函数的单调性来求 所以所求函数值域为 12分 【考点】解三角形，三角恒等变化，三角函数的值域． 50. 的三个内角所对的边分别为，给出下列三个叙述： ① ② ③ 以上三个叙述中能作为“是等边三角形”的充分必要条件的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】根据正弦定理，无论是何三角形都有①，即不能作为“边三角形”的充分必要条件；而由正弦定理,且， ,所以， sin(B-A)=0,因而，同理可得,得三角形ABC是等边三角形. ② 能作为“是等边三角形”的充分必要条件； 由正弦定理及条件,得， 构造函数 在 ， 则 ， 时，总有 是等 ， 故 是单调减函数，所以，A=\"B=C\" , 从而三角形是正三角形，即③ 能作为“是等边三角形”的充分必要条件.故选C. 【考点】正弦定理的应用，充要条件，应用导数研究函数的单调性. 51. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是,若,,=45°,则角A=___. 【答案】角或. 【解析】由正弦定理 得 ，所以角 或 . 【考点】1.解三角形；2.正弦定理. 52. （本小题满分12分） 在中，角所对的边分别为（1）求角的大小； （2）求【答案】（1）【解析】（1）由 ，且满足． 的大小． 的最大值，并求取得最大值时角（2）最大值为1，此时 结合正弦定理得， ， ……2分 从而，， ……4分 ∵ ，∴ ； ……6分 ， ……7分 ……8分 ……9分， ……10分 ∵当此时 ，∴时， ， 取得最大值， ……11分 ． ……12分 （2）由（1）知∴ 【考点】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数的化简和三角函数的图象和性质. 点评：高考中经常将三角函数和向量结合正弦定理、余弦定理出题考查，难度一般不大，但是三角函数中公式比较多，要牢固掌握，灵活选择应用，还要注意各个公式的适用条件. 53. （本小题满分12分） 已知的角A、B、C所对的边分别是， 设向量, , （Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形； （Ⅱ）若⊥，边长 ， ，求 的面积. ，命题即得证.（Ⅱ），由正弦定理可知， 【答案】（Ⅰ）利用正弦定理由角化边可以得到【解析】(Ⅰ) 证明： ∵ ∥ ， ∴ ，其中R是外接圆的半径， ∴. 因此，为等腰三角形. （Ⅱ）由题意可知，，即由余弦定理可知，，(舍去) ∴ . 即 【考点】正弦定理 余弦定理 面积公式 向量运算 点评：此题综合考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理以及向量运算，属基础题.． 54. 在 中，若 ，则该三角形的形状是 . 【答案】等腰或直角三角形 【解析】根据正弦定理可知 故三角形可能是等腰三角形也可能是直角三角形。故答案为等腰或直角三角形。 【考点】本试题主要考查了解三角形的运用。 点评：解决该试题的关键是能根据表达式的特点，巧妙的结合正弦定理，将边化为角，然后结合三角函数的二倍角公式得到分析求解。 55. （12分）在中，角的对边分别为，且. ①求的值； ②若，且，求的值. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】（1）第一问中根据正弦定理，化边为角，结合内角和定理，得到cosB (2)由于利用数量积公式，那么根据第一问的角B的余弦值，结合余弦定理得到关于a,c的方程得到求解。 (Ⅰ)解：由正弦定理得， 因此 ………6分 (Ⅱ)解：由 ， 所以………12分 【考点】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的运用。 点评：解决该试题的关键是合理使用正弦定理化边为角，得到三角函数关系式，然后得到结论。也可以通过余弦定理化角为边，得到三边的平方关系式，得到角B的余弦值。 56. 在△中，若，则△的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】本试题主要是考查了余弦定理和正弦定理的综合运用，判定三角形的形状 。 因为在△ 中，若 ，利用正弦定理可知，可知角C为钝角，因此△ ，故a2+b2-的形状是钝角三角 c2<0，那么根据余弦定理 形，选C. 解决该试题的关键是化角为边，然后结合余弦定理得到结论。 57. 在（I）求（II）若 中，角A，B，C所对的边分别为的值 的面积为 ，且 ，求 的值. ，已知 【答案】（I） （II） 【解析】（I）根据 直接代入求解. 得到 ，因为 ,所以 (II)由（I）可求出sinC,然后再根据 ,再由余弦定理 可建立关于c的方程求出c,从而可解出a,b. 解： （I） （II） 58. 在 中, 分别为 的对边,若 ,且 的面积为 ,则角 ________ 【答案】 【解析】 , . 59. 在中， 所对边分别为已知,且（Ⅰ）求大小；（Ⅱ）若【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） ， . . 求 的面积S的大小. 【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。 （1）由正弦定理化边为角得到角A （2）再结合余弦定理，和三角形面积公式得到。 解：（Ⅰ）∵，∴＝0. ∴ ∵∵∴∵ ∴ ∴ ∴ （Ⅱ）△∴∴∴△ 60. （Ⅰ）求 中，∵ 的面积 ∴. 中，内角的对边分别是 的值 （Ⅱ）设 ，已知，求 成等比数列，且的值。 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。 （1）因为由由（2）由由余弦定理 得到a+c的值。 解：（Ⅰ）由由于是 得 ，由得 可得 ，即 得 得 进而化简，由得 可得 ，即 得到结论， 及正弦定理得 得 及正弦定理得 （Ⅱ）由由余弦定理 ∴ 61. 在 △ABC中，A． = B． C． D． 【答案】D 【解析】解：因为 62. 在 中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知的值 【答案】2 【解析】解： = ， ，解得 ，b=\"1,\" ，b=1， ，则 ，选D ，利用余弦定理求解得到a= 63. 在A． 中，若 B． ，则 ,这样运用正弦定理得到结论为2. 的最小值等于（ ） C． D． 【答案】A 【解析】此题考查正弦定理、余弦定理的灵活应用、重要不等式的应用；由已知和正弦定理得 ，由余弦定理得 ，所以选A 64. △ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量=(2，－1)，=(sinBsinC，+2cosBcosC)，且⊥。⑴求角A的大小。⑵现给出以下三个条件：①B=45º；②2sinC-(+1)sinB=0；③a=2。试从中再选择两个条件以确定△ABC，并求出所确定的△ABC的面积。 【答案】解：⑴∵∴cosA= ⊥ ∴2sinBsinC－2cosBcosC－ =\"0 \" ∴cos(B+C)=－ …………（4分） 又0 ⑵选择①，③ ∵A==30º，B=45º，C=105º，a=2且sin105º =sin(45º+60º)=c= = + ………………（10分） ∴S△ABC=acsinB= +1)sinB b× 2c=( +1)b b)2－2b× b2=\"8\" b= 2 +1 …………（12分） 选②，③ ∵A=30º，a=\"2\" ∴2sinC=(由余弦定理：a2=4=b2+(c= b= + ∴S△ABC= +1 (选①，②不能) 【解析】略 65. （本小题满分10分）设函数 求函数 （1）求函数取最值时x的取值集合； （2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足的取值范围． 【答案】解：(1) f(x)=cossin+f(x)= -= + -=(sin+cos) sin(+) ............4分 (k )时，f(x)取最值 （k ） 。。。。。。。5分 当+= 此时x取值的集合： （2）(2a-c)cosB=\"bcosc \" (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC 2sinAcosB=\"sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA \" 。。。。。。7分 2conA=\"1 \" B= f(A)= +) 0 【解析】略 66. (本小题满分14分) 设三角形的内角（1）求边的长； （2）求角的大小. （3）如果 的对边分别为,． ,求. 有 【答案】解：（1）依正弦定理又 （2）依余弦定理有又 ＜＜ ，∴ ，∴ …………………………4分 ……………………9分 …………………………14分 (3)由已知得【解析】略 67. 在中, A． 分别为角 B． 的对边，如果,C． ,那么角等于（ ） D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可得 ，则 68. 已知【答案】 中， ，故选C ，所以 ，那么角A等于 。 【解析】根据正弦定理得： 69. 在 中，已知BC=1，B= ，则 的面积为 ，则AC和长为 ▲ 【答案】 【解析】略 70. （本小题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知向量 且与向量 夹角为，其中A，B，C是 的内角。 （1）求角B的大小； （2）求的取值范围。 【答案】解：（1） 又 ，即 向量 所成角为， （2）由（1）可得 【解析】略 71. 已知于 【答案】【解析】略 72. 已知 A． 的一个内角为 ． ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等 中， B． ， ，则角等于 C． D． 【答案】D 【解析】根据正弦定理有 ，所以 ，所以 或 。 当时，，舍去。所以，故选D 73. （本题满分13分） 在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且，，求的值． 【答案】解：（Ⅰ）因为， 所以， ……………………………………………… 2分 因为 ，所以 . …………………………………………………3分 . …………………………………………… 5分 ．因为 ， ，………………………………………7分 ． 又为锐角， 则 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，根据余弦定理，得 整理，得． 由已知 ，则． 又，可得 ，． ……………………………………… 9分 于是所以 【解析】略 74. （本小题满分14分） 设 的内角 所对的边分别为 的周长； 的值. . ，∴ ，∴ ,故为锐角， ， .已知 ， ， . ， ………………………… 11分 ． …………… 13分 （Ⅰ）求（Ⅱ）求∴∴ 【答案】（Ⅰ）∵ 的周长为 （Ⅱ）∵∴∵ ∴∴ 【解析】略 75. 在 中，角时，求 . 所对的边分别为已知且（Ⅰ）当 的值；（Ⅱ）若角为锐角，求的取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）由题设并利用正弦定理，得解得 （Ⅱ）由余弦定理， 因为 【解析】略 76. 在中，【答案】 【解析】略 77. 如图，在△ ， 由题设知 ，则 中，是的中点，是的中点，的延长线交于. （Ⅰ）求（Ⅱ）若△ 的值； 的面积为，四边形 的面积为 ，求 的值． 【答案】证明：（Ⅰ）过D点作DG∥BC，并交AF于G点， ∵E是BD的中点，∴BE=DE， 又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG， ∴△BEF≌△DEG，则BF=DG， ∴BF：FC=DG：FC， 又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2， 则BF：FC=1：2； 即 -------------（5分） （Ⅱ）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底， 则由（1）知BF：BC=1：3， 又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为△BEF和△BDC的高， 则 【解析】略 78. A． ，则 =1：5． -----------（10分） （ ） B． C． D． 【答案】D 【解析】略 79. 【答案】61/2 【解析】略 80. （本小题满分10分） 在△ABC中，确A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）设cosB=，求边c的大小。 ,b2+c2-bc=3。 【答案】 【解析】略 81. 在 . （I）求边的长； （II）若点是的中点，求中线的长度. 【答案】1/2 【解析】略 82. （本小题满分12分） 如图：正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援 渔船丙（渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙），此时B、D两处相距42km，问渔政船乙要 航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救． 【答案】解：设BD=42，由正弦定理得：┈┈┈┈┈4分 又∵AD ┈┈┈┈┈9分 在△BDC中，由余弦定理得： ∴ 答：渔政船乙要航行才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救。┈┈┈┈┈12分 【解析】略 83. （本小题满分13分） 在 中，角A，B，C所对应的边分别为 （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】 【解析】略 84. （本小题满分12分） 设锐角三角形的内角的对边分别为（Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）求的取值范围. ，且. 【答案】 又△为锐角三角形，∴ ∴ . …………8 分 . 又∴ ，∴ . ………………11分 . ………………12分 【解析】略 85. （本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，且满足（Ⅰ）若求此三角形的面积; （Ⅱ）求 的取值范围. , 得 【答案】解：由已知及正弦定理得即,在中，由故，所以 (3分) （Ⅰ）由，即所以△（Ⅱ） 的面积 ＝ (5分) (6分) (10分) 又，∴，则． (12分) 【解析】略 86. 本小题共12分） 在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量（I）求（II）若b=4， 的值； 的面积为 的周长。 且 【答案】 【解析】略 87. （12分）设函数 ,求a的值 （Ⅰ）求的值域 （Ⅱ）记△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若f(B)=1,b=1,c= 【答案】 【解析】略 88. 在中， ． 【答案】 【解析】略 ，，所对的边分别是，，，已知，则 89. 设A、B、C、D是表面积为 的面积之和 A．1 B．3 的球面上的四点，且AB、AC、AD两两互相垂直，则 的最大值为 C．4 D．2 【答案】D 【解析】略 90. 在中，已知A． ，B． ，，则的值是 C． D． 【答案】B 【解析】略 91. 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a=1，b=依次成等差数列，则 ▲ 。 【答案】1 【解析】略 92. （本小题满分12分） 已知向量（I）若（II）记且满足 ,求 ，在 的值; 中，角，求函数 的对边分别是的取值范围。 = ， = ，角A、B、C 【答案】解：（I）∵= ∴ …………………………………………3分 …………………………………………6分 （II）∵， 由正弦定理得∴∴∵∴，且 ∴∴∴又∵故函数 ……………………………………………………8分 ………………………………10分 ，∴ 的取值范围是（1,）……………………………………………………12分 【解析】略 93. 【答案】A 【解析】本题考查向量的数量积及其最佳值问题 如图示以为原点，以和所在直线为轴和轴建立直角坐标系，则 .设 则 ，由；又 得，则 所以所以设 即 解得，所以 ，则 时取最大值 或 ，则 （舍） ，即，则 ，则 ，所以 ，则 故正确答案为A 94. （本题满分13分） 在锐角中，三内角所对的边分别为设（Ⅰ）若（Ⅱ）求 ，求的面积； 的最大值. ， ． 【答案】解法一：（Ⅰ） 即 由得时， 舍去， , ………………1分 ………………3分 ………………5分 . ……………8分 （Ⅱ） ……………9分 ……………11分 当且仅当时取等号 ……………12分. ……………13分 解法二：由正弦定理得：又B＋C＝p－A＝∴b＋c＝＝ ， sinC＝ =＝， …………9分 sinB＋sinB＋sin(－B) sin(B＋)， ………………11分 时，b＋c的最大值是 . ………………13分 当B＋=时, 即【解析】略 95. 在为 【答案】2 【解析】∵∴ ． 中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若，，，则c的值 ，∴，∴，∴，∴， 96. （本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，a＝5，△ABC的面积为10. （1）求b，c的值； （2）求cos（B－）的值. 【答案】（1）c＝7；（2） 【解析】（1）利用三角形面积公式可先求出b，然后利用余弦定理求c；（2）利用（1），用余弦定理求出cosB，再求出sinB，然后用余弦差角公式可求得cos（B－）的值. 试题解析：（1）由已知，C＝，a＝5，因为S△ABC＝absinC 即 ，解得b＝8 由余弦定理得：c2＝64＋25－80cos＝49，所以c＝7 （2）由（1）有cosB＝ 由于B是锐角三角形的内角，故sinB＝所以cos（B－）＝cosBcos＋sinBsin＝ 【考点】解三角形，余弦定理，三角形面积，余弦差角公式 97. （本小题满分12分）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C. （1）设，求证△ABC是等腰三角形； （2）设向量s＝（2sinC，－（－B）的值. 【答案】（1）见解析；（2） ），t＝（cos2C，2 －1），且s∥t，若sinA＝，求sin 【解析】（1）根据条件，将向量的数量积转化为模长关系，证明两边长相等；（2）根据向量平 行，对应坐标成比例，转化为三角函数关系式，结合三角形内角的关系，可求出sin（－B）的值 试题解析：（1）因为又，所以于是 所以，即 所以△ABC是等腰三角形. （2）∵s∥t，∴2sinC（2即2sinCcosC＝－cos2C ∴sin2C＝－cos2C ∴tan2C＝－ ∵C是锐角，故2C∈（0，π），于是2C＝从而C＝，∴A＝ －B －B）－]＝sin（A－） ，所以 －1）＝－ cos2C ∴sin（－B）＝sin[（ 由sinA＝且A是锐角，故cosA＝ ∴sin（－B）＝sin（A－）＝sinAcos－cosAsin＝ 【考点】三角函数恒等变形，和差角公式，二倍角公式，平面向量，解三角形 98. 在中，，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形. 【解析】由正弦定理，结合故的形状为等腰直角三角形. 【考点】正弦定理. ，即sinA=cosA，sinB=cosB，得 . 99. 如图，在平面四边形中，，，． （1）求（2）若【答案】（1）【解析】（1）在 的值； ，；（2）． 中，三边确定，利用余弦定理求，利用两角差的三角函数公式可可求 中，则余弦定理， ． ． 4分 ，则 ， 的值；（2）由，进而在中，利用正弦 ，求 的长． 定理求的长． 试题解析：（1）在得 由题设知，（2）设 因为， 6分． 8分 于是 ，， 所以 ． 11分 在 中，由正弦定理， ，故 ． 14分 【考点】1、正弦定理和余弦定理；2、三角恒等变形. 100. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且是 . 【答案】 【解析】利用余弦定理可得 ，代入已知 ，化简即可. . 【考点】余弦定理；余弦定理的应用． ， 则 的值 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容