数学知识要点复习（五下）
一 图形的变换
图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
1、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。
2、学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形„„
等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 3、圆有无数条对称轴。 4、对称点到对称轴的距离相等。
5、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车 6、旋转要明确绕点，角度和方向。
7、长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。 8旋转的性质：
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动； （2）其中对应点到旋转中心的距离相等； （3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角； （5）旋转中心是唯一不动的点。
9、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数
二 因数和倍数
10、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
11、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。 例：12是6的倍数，6是12的因数。
12、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 13、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 2、3、5的倍数特征
14、个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。个位上是0或5的数，是5的倍数。
1
15、能同时被2、3、5整除的最大的两位数是90，最小的三位数是120。同时满足2.3.5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
16、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等 17：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
18、最小的奇数是1，最小的偶数是0. 奇数+、- 偶数=奇数 奇数+、- 奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。
19、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0. 质数（素数）：只有1和它本身两个因数
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数） 1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 0：
20、最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
21、 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13„的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 22、最大、最小
A的最小因数是：1； 最小的奇数是：1； A的最大因数是：A； 最小的偶数是：0； A的最小倍数是：A； 最小的质数是：2； 最小的自然数是：0； 最小的合数是：4； 23、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5） 24、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7 两个合数的互质数：8和9 一质一合的互质数：7和8
2
25、两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质数一定互质； ⑷2和所有奇数互质； ⑸质数与比它小的合数互质； 26、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。 用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来） 几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
27、如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。 28、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。 用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来） 如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。 如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
三 长方体和正方体
29、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 30、长方体特点：（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。 （2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。 31、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 正方体特点：
（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。
（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 32、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4 L=（a＋b＋h）×4 长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h 宽=棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h 高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b 正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12 33、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
3
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh） 无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh） 正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 34、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh 长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
35、正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a = a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a） 36、长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h （横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。 注意：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。
37、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。 固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。 常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
38、 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升 39、长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。 但要从容器里面量长、宽、高。 对于同一个物体，体积大于容积。
*40、形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式：V物体 =V现在－V原来 也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高
41、【体积单位换算】 大单位 ×进率
小单位
小单位 ÷进率 大单位
进率： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
4
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
长度单位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1厘米=10毫米 1分米=100毫米 1米=10分米=100厘米=1000毫米
面积单位：1平方千米=100公顷 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米 质量单位：1吨=1000千克 1千克=1000克
人 民 币：1元=10角 1角=10分 1元=100分
四 分数的意义和性质
42、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一
份或几份都可以用分数来表示。
43、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么
就是单位“1”。）
44、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如45、分数与除法 A÷B=
A4（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 4÷5= B541的分数单位是。 5546、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1 3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1. 4、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数 47、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子， 如：
10211=10÷5=2 =21÷5=4
555（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：
（8）2= 2×4=8 （8作分子）
4（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：
1（26）5= 5×5+1=26 55（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：1=48、分数的基本性质：
2345100====„==„ 2345100 5
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 49、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
50、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
如：
24430=5 51、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：
25和14 可以化成8520和20 52、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100„„
如：0.3=
310 0.03=33100 0.003=1000
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000„„
如：
33610=0.3 5=10=0.6 14=25100=0.25
方法二：用分子÷分母
如：
34=3÷4=0.75 （3）带分数化为小数：
先把整数后的分数化为小数，再加上整数
如：2
310=2+0.3=2.3 53、比分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；
分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。 54、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
113122=0.5 4=0.25 4=0.75 5=0.2 5=0.4 35=0.6 45=0.8
135718=0.125 8=0.375 8=0.625 8=0.875 20=0.05 125=0.04。 分数知识图解：
分数的产生
分数的意义 分数与意义 ：把单位1平均分成几份，表示其中的一份或几份。
分数与除法 ：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。
真分数 真分数小于1
6
真分数与假分数 假分数 假分数大于1或等于1
带分数 （整数部分和真分数）
假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分，余数作分子）
分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，
分数的基本性质 分数的大小不变。
通分、通分子：化成分母不同，大小不变的分数（通分）
最大公因数
约 分 求最大公因数
最简分数 分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数） 约分及其方法 最小公倍数
通 分 求最小公倍数
分数比大小 （通分、通分子、化成小数） 通分及其方法
小数化分数 小数化成分母是10、100、1000的分数再化简
分数和小数的互化
分数化小数 分子除以分母，除不尽的取近似值
五 分数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
55、分数数的加法和减法 （2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整数。 （4） 结果要是最简分数
56、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。
六 统计与数学广角
57、众数： 一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数据的众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。
在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
58、中位数： （1）按大小排列；
（2）如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；
（3）如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。
59、平均数的求法：总数÷总份数=平均数 60、一组数据的一般水平：
7
（1）当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据多次出现，用平均数表示一般水平。 （2）当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般水平。 （3）当一组数据中有个别数据多次出现，就用众数来表示一般水平。 61、统计图：我们学过——条形统计图、复式折线统计图。 条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。 62、 打电话：规律——人人不闲着，每人都在传。
七 数学广角
63、用天平找次品规律：
（1）、把所有物品尽可能平均地分成3份，用的次数最少。
（2）、数目与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次 4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次 10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次 28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次 82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次
64、找次品规律
1 2 3 4 5 „次数 3 3×3 3×3×3 3×3×3×3 3×3×3×3×3 „
3 9 27 81 243 „ 次品个数
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