专题40 空间中线线角、线面角的求法(原卷版)

类型一 空间中线线角的求法 方法一 平移法

例1 在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）

D1 A1 D A B M B1 C1 N C

A．30° B．60° C．90° D．45°

【变式演练1】错误!未找到引用源。如图，四边形ABCD是矩形， 沿直线BD将ABD翻折成A'BD，异面直线CD与A'D所成的角为, 则（ ）

A．A'CA B．A'CA C.A'CD D．A'CD

【变式演练2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BC1与CD1所成角的余弦值为

A．2311 B． C． D．

2222【变式演练3】设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，BCA90，BCCA2，若该棱柱的所有顶点都在体积为

32的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（ ） 35522A． B． C． D． 3333

方法二 空间向量法第三步

例2、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA13，ACBC，点M在线段AB上. （1）若M是AB中点，证明：AC1//平面B1CM；（2）当BM角的正弦值

例3、如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为线段AM、MD的中点，在五棱锥PABCDE中，

2时，求直线C1A1与平面B1MC所成

F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H．

（1）求证：AB//FG；

（2）若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小．

【变式演练4】错误!未找到引用源。已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为______．

【变式演练5】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB4,AA16.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BEB1E，C1F面直线A1E与AF所成角的余弦值为（ ）

1CC1，则异3A．

3232 B． C． D． 610610类型二 空间中线面角的求法 方法一 垂线法

例3如图，四边形ABCD是矩形，AB1,AD中点，BE与AC交于点F，GF平面ABCD. （Ⅰ）求证：AF面BEG；

（Ⅱ）若AFFG，求直线EG与平面ABG所成角的正弦值.

【变式演练6】错误!未找到引用源。已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值为（ ）

AEG2，E是AD的

BFCD2123A．3 B．3 C．3 D．3

【变式演练7】在四面体ABCD中，ABAD，ABADBCCD1，且平面ABD平面BCD，

M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为（ ）

A．

2336 B． C． D． 2323方法二 空间向量法

例4 正四棱柱CD11C1D1中，12，则CD与平面DC1所成角的正弦值等于（ ）

A．

3221 B． C． D．

3333【变式演练8】已知四棱锥PABCD中，底面为矩形，PA底面ABCD，PABC1，AB2，M为PC上一点，且BP平面ADM. （1）求PM的长度；

（2）求MD与平面ABP所成角的余弦值.

【高考再现】

1. 【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,ABCD=m,(A)平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为

平面

1323 (B) (C) (D) 22332. 【2016高考天津理数】（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （I）求证：EG∥平面ADF； （II）求二面角O-EF-C的正弦值； （III）设H为线段AF上的点，且AH=正弦值.

4. 【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥PABC中，PA地面ABCD，

2HF，求直线BH和平面CEF所成角的3ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，

AM2MD，N为PC的中点．

（I）证明MN平面PAB；

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

8.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3. （I）求证：BF⊥平面ACFD；

（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

【反馈练习】

1.【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】在正方体

ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则直线

OP与AM所成角为（ ）

A．45 B．60 C．90 D．不能确定

2．【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值是 ．

3．【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，

BAC90，ABAC2，AA16，则AA1与平面AB1C1所成的角为（ ）

B1A1C1BAC

A．

 B． C． D． 64324. 【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

5．【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考数学（理）试题】（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且

DAB600，PAB是边长为a的正三角形，

且平面PAB平面ABCD，已知点M是PD的中点．

（1）证明：PB//平面AMC；

（2）求直线BD与平面AMC所成角的正弦值．

6．【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】（本小题满分12分）

AA1的中点，BD如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，面ABB1A1为矩形，ABBC1,AA12,D为

与AB1交于点O,BCAB1. （Ⅰ）证明：CDAB1；

（Ⅱ）若OC3，求BC与平面ACD所成角的正弦值. 3

7．【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】如图，四棱锥PABC中，

PAABCD,AD//BC,ABADAC3,PABC4，M

为线段AD上一点，AM2MD,N为PC的中点．

（1）证明：MN//平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值；