二次函数与利润问题及几何问题

1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点、难点) 2．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题及图形中最大面积问题.

一、情境导入

如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？

如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为y的值最大？

二、合作探究

探究点一：最大利润问题

ym2，那么

y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使

某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1

月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．

(1)求y2的解析式；

(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

1m＝，89m－24m＋n＝6，

解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过(3，6)，(7，7)两点，∴解得∴y2

6349m－56m＋n＝7，

n＝.8

163

的解析式为y2＝x2－x＋(1≤x≤12，x取整数)；

88

14k＋b＝11，k＝－4，

(2)设y1＝kx＋b，∵函数y1的图象过(4，11)，(8，10)两点，∴解得∴y1的解析

8k＋b＝10，b＝12.

11

式为y1＝－x＋12(1≤x≤12，x取整数)．设这种水果每千克所获得的利润为w元．则w＝y1－y2＝(－x＋

441631333121

12)－(x2－x＋)＝－x2＋x＋，∴w＝－(x－3)2＋(1≤x≤12，x取整数)，∴当x＝3时，w取最大值

88848842121

，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是元/千克． 44

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

探究点二：几何面积问题



用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形

一边长为x米，面积为y平方米．

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？

(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再根据矩形的面积公式列出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．

解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；

(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；

(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场；方法二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当x＝8时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．

方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程，再利用函数和方程的思想进行解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 三、板书设计

本节课主要是用二次函数理论知识解决拱形(抛物线)类问题、最大面积和最大利润问题，通过对问题的探究解决，使学生认识到数学知识和生活实际的紧密联系，提高学习数学的积极性.