all~ 试题
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国Ⅲ卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 A
{ 1,0,1,2}， B
{x|x 1} ，则 A B
C ． 1,1
2
A ． 1,0,1 B． 0,1 2．若 z(1 i)
则 z=
2i ，
A ． 1 i B． 1+i
D ． 0,1,2
C． 1 i D．1+i
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小 说四大名著 .某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况， 随机调查了 100 位学生， 其中阅读
过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过 《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与 该校学生总数比值的估计值为 A． 0.5
2
B．0.6
4
3
C． 0.7 D ．0.8
4．（ 1+2x ）（ 1+x） 的展开式中 x的系数为 A ．12
B．16
C． 20
D ．24
历年高考真题 1
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5．已知各项均为正数的等比数列 {an} 的前 4项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=
历年高考真题 2
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A ． 16
x
B．8 C． 4 D ．2
6．已知曲线 y ae xln x 在点（ 1， ae）处的切线方程为 ，则 y=2x+ba=e， BA．a e，b 1
b=1
11
C．a e ，b 1
1
D．a e ，b 1
1
． 72x3
函数 y 2x2 x 在 的图像大致xx
6,6 2
2
A．
B．
C． D．
8．如图，点 N为正方形 ABCD 的中心，△ ECD为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD 是线 段 ED 的中点，则
A ．BM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B．BM ≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线
历年高考真题 M 3
，
all~ 试题
D．BM ≠EN，且直线 BM，EN 是异面直
9线 s
的值等
．执行下边的程序框图，如果输入的
于
A．
2
24 B．
1
D． 2
26
2
10 ．双曲线 C：
y
=1 的右焦点
F点P 的一条渐近线上， 为
， 点，若
PO= PF ，则△ 2
PFO 的面积
为
A． 3 2 B． 3 2
4
2
C22 D． ．
11 ．设 f x
是定义域R 的偶函数，且0,单调递减，
为
1
在
3
+ 2
则
A ． f
22
）
23
）
B．（ logf
（3 log ）
2
>f（
3
4 23
22
）
1 3
）
C． 4
2 1 f 3） （ log
3 ）3
3
4 D．
3 2 ））>
> f （ 2 2）
> f log3 ）1
（
12．设函数 x =sin （ x ） （ >0），已知4 f x 在 0,2 有且仅有 f
5 述四个 结
论： ① f x 在（ 0,2 ）有且仅有 3个极大值点
历年高考真题 2 1
27
为坐标原 3 2
个零点，下4
O 5
all~ 试题
②f x 在（0,2 ）有且仅有 2个极小值点 ③f x 在（0, ）单调递增
10
12 29
④ 的取值范围是 [ ， ）
5 10
其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B．②③
C．①②③
D．①③④
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 a，b 为单位向量，且 a·b=0，若 c 2a 5b ，则 cos a,c _______ .
S
10
10
14．记 Sn为等差数列 {an}的前 n 项和， a1≠0，a2 3a1，则 _______ .
S
5
15．设 F1，F2为椭圆 C: + 1的两个焦点， M为 C上一点且在第一象限 .若△MF1F2
为 36 20
等腰三角形，则 M 的坐标为 ______ .
16．学生到工厂劳动实践， 利用 3D 打印技术制作模型 .如图，该模型为长方体 ABCD
22
xy
A1B1C1D1 挖去四棱锥 O—EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心， E， F，
G，H 分别为所 在棱的中点， AB= BC= 6cm, AA1= 4cm，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm，不考虑 打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.
3
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步17~21 题为必考题，每
骤。第 个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考
历年高考真题 5
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生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（ 12 分）
为了解甲、 乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A， B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小 鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小 鼠体内离子的百分比 .根据试验数据分别得到如下直方图：
记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C ）的估计
值为 0.70．
（ 1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；
（ 2）分别估计甲、 乙离子残留百分比的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表）． 18．（ 12 分）
AC
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，已知 asin bsin A ．
2
（ 1）求 B；
（2）若△ ABC为锐角三角形，且 c=1，求△ ABC面积的取值范围． 19．（ 12 分）
图 1 是由矩形 ADEB ，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB=1，
历年高考真题 6
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BE=BF=2， ∠FBC=60°，将其沿 AB， BC折起使得 BE与 BF 重合，连结 DG，如图 2.
（1）证明：图 2中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE； （2）求图 2中的二面角 B-CG-A 的大小 .
历年高考真题 7
all~ 试题
20．( 12 分)
已知函数 f(x) 2x ax b . ( 1)讨论 f (x) 的单调性；
( 2)是否存在 a,b，使得 f(x)在区间 [0,1]的最小值为 1且最大值为 1？若存在，求出a, b 的所有值；若不存在，说明理由 .
2
x
3
2
1
21．已知曲线 C：y= ， D 为直线 y=
上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点
A，
分别为
2
B.
( 1)证明：直线 AB 过定点：
5
(2)若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点， 求四边形 ADBE
2 的面积 . 二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
题计分。
22． [选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ](10 分)
， B( 2, ) ， C( 2, )， ，弧 AB ， BC ，
44
CD所在圆的圆心分别是 (1,0) ， (1, )，(1, )，曲线 M1是弧AB ，曲线 M2是弧
BC， 2
曲线 M3 是弧 CD .
如图，在极坐标系 Ox 中，
1)分别写出 M1， M 2 ， M 3的极坐标方程；
A(2,0)D(2, )
历年高考真题 8
all~ 试题
2)曲线 M由M1，M2，M3构成，若点 P在M上，且|OP| 3 ，求P的极坐标 .
历年高考真题 9
23． ［选修 4-5 ：不等式选讲 ］（10 分） 设 x,y,z R ，且 x y z 1.
1)求 (x 1)2
(y 1)2
(z 1)2
的最小值；
2)若(x 2)2
(y 1)2
(z a)2 1
成立，证明： a 3或a 1.
3
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
一、选择题
1．A 2． D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10 ． A
11．C 12． D
二、填空题
2
13．15． (3, 15) 16．118.8
3
14．4
三、解答题
17．解：（ 1）由已知得 0.70=a+0.20+0.15，故 a=0.35．
历年高考真题 all~ 试题
10
all~ 试题
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3 ×0.20+4 ×0.30+5 ×0.20+6 ×0.10+7 ×0.05=4.05 ． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4
×0.10+5 ×0.15+6 ×0.35+7 ×0.20+8 ×0.15=6.00 ． A C
18．解：（ 1）由题设及正弦定理得 sinAsin sin Bsin A ．
2
A C
因为 sinA
0，所以 sin sinB ． 2
180 ，可得 sin AC 2
cos B B BB
2 ， 故 cos 2 2sin cos 22
．
B
因为cos
0B 1
2 ， sin，因此 B=60°．
22
3
2）由题设及（1 ）知△ ABC 的面积 S△ABC ．
a．
由正弦定理得 a
csin sin 120 C 3
A sinC 2tanC 由于△ ABC为锐角三角形，sinC 故0
° 8 S △ABC 因此，△ ABC面积的取值范围是 3 , 3 82 19．解：（ 1）由已知得 AD BE，CG BE，所以 AD CG，故 AD，CG确定一个平面，从而 A， C，G，D四点共面． 由已知得 AB BE，AB BC，故 AB 平面BCGE． 又因为 AB 平面ABC，所以平面 ABC 平面 BCGE． 历年高考真题 11 all~ 试题 （ 2）作EH BC，垂足为 H．因为 EH 平面BCGE ，平面 BCGE 平面ABC，所以 EH 平 历年高考真题 12 all~ 试题 面ABC． 由已知，菱形 BCGE的边长为 2，∠ EBC=60°，可求得 BH=1，EH= 3 ． 以H为坐标原点， HC 的方向为 x轴的正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系 H–xyz， 则A（–1，1，0），C（1，0，0）， G（2，0， 1，0， 3）， 3 ）， –1， 0）． 设平面 ACGD的法向量为 n=（x，y， z），则 CG n 0, 即 x 3z 0, AC n 0, 2x y 0. 所以可取 n=（3，6，– 3 ） 又平面 BCGE 的法向量可m=（0，0），所以 cos n m 3 取为 1， n,m |n||m| 2 因此二面B–CG–A的大30° 角 小为 ． 20. 2 解： 2 （ 1） f (x) 6x 2ax 2x(3x a) 令f 0 ，得 x=0 (x) 或 x 若 a>0 ，则当 ,0a , 时f (x) 0；当 a x （ ) 3 ， x 0, 时， f (x) 0(x) 在 ( ,0), a 3, 单调递增， 0,a3 单调递 3 在 减； 若 a=0， f (x) ）单调递在 ( 增； 历年高考真题 ．故2， 13 f all~ 试题 若 a<0 ，则当 x ,3 (0, a )时，f (x) 0；当x ,0 时，f (x) 0．故 f(x) a 3 在 , ,(0, ) 单调递增，在 ,0 单调递减 . a a 33 ( 2)满足题设条件的 a，b存在 . (i)当 a≤0时，由( 1)知， f(x)在［0，1］单调递增，所以 f (x)在区间［0，l］的最小值为 f(0)=b，最大值为 f(1) 2 a b.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 b 1， 2 a b 1，即 a=0，b 1． (ii)当 a≥3时，由( 1)知， f (x)在［0，1］单调递减，所以 f(x)在区间 ［0，1］的最大值 为 f (0)=b ，最小值为 f(1) 2 a b．此时 a，b满足题设条件当且仅当 2 a b 1， b=1，即 a=4， b=1． 3 ( iii )当 0 3 27 或 2 a b． 1 ，b=1，则 3 b 3 2 ，与 0 27 若 b 3 a 27 1， 2 a b 1 ，则 a 3 3 或 a 3 3 或 a=0 ，与 0 综上，当且仅当 a=0，b 1或 a=4，b=1 时， f(x)在［0，1］的最小值为 - 1，最大值为 1． 12 12 21．解：( 1)设D t, 2 , A x1,y1 ，则 x1 2y1. DA的斜率为 x1，故 1 1 由于 y' x ，所以切线 x1 x1 t y2 整理得 2 tx1 2 y1+1=0. 历年高考真题 14 设 B x2,y2 ，同理可得 2tx2 2 y2 +1=0 . 故直线 AB的方程为 2tx 2y 1 0. 历年高考真题 all~ 试题 15 所以直线AB过定点 （0,1 ）. 2 2）由（ 1）得直线 AB的方程为tx y tx 1 2 x2 2 ，可得 x2 2tx 1 0. 于是 x2 1 x2 2t, x1x2 1, y1 y2 x1 x2 1 2t2 1， | AB| 1 t2 x x 2 2 1 2 1 t x1 x2 4x1x2 1. 设dE到直线AB的距离，则 d2 1, d 2分别为点 D，t2 1, 1 d2 t2 因此，四边形 ADBE的面积 1 |AB | dS 1 d2 t2 3 t2 1. 2 1 2 设M为线段 AB的中点，则t,t M 2 由于 EM AB ，而 EM 2 t,t2 与向量 （1, t ）平行，所以解得t=0或 t 1. 当t =0时， S=3；当t 1时，4 2 S . 因此，四边形 ADBE的面积为 3或4 2 . 22.解：（1）由题设可得， 弧 AB,BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos 2cos . 历年高考真题 all~ 试题 t2 2 t 0. t 2sin 16 all~ 试题 所 以 M1 的 极 坐 标 方 程 为 2cos 0 π 2sin 3 π M3 的极坐标方程为 ， π ， M 2 的 极 坐 方程为 标 4 2cos 3π 4 44 （2）设 P（ , ） ，由题 设及（ 若 0 π π. 1）知 ，则 2cos 3 ，解得 π ； 历年高考真题 4 6 17 当且仅5 x= ， –1 ，z 1 当 3 y= 3 时等号成立．3 所以 1)2 (y 1)2 (z 24 (x 1) 的最小值为 (2)由于 [(x 2) (y 1) (z a)]2 2)( y 1) (y 1)(z a) (z a)(x 2)] π 若 π 3π 2sin 3 ，得 或 2π ； 4 4 ，则 解 3 3 3π 若 π，则 2cos 3，得 5 4 解 π6 综 P的极坐标π 或 2或 3,5 π . 上， 为 3,π 或 3, 3 3, 6π 23．解：1)由于 3 6 ( [(x 1) (y 1) (z 1)]2 (z 1)(z 1) (z 1)(x (x 1)2 (y 1)2 1) 2 2[(x 1)(y 1) (y 1)] 3( x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 ， 故由已知得 (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 4 ， 3 (x 2)2 (y 1)22 (z a) 故由已(x 2)2 (y 1)(z a)2 (2 a)2 ， 知 2 3 ， 历年高考真题 当且仅4a 2 因此由题设当 a)2 2a 2，1， (z a)2 的最小值 时等号成立．(2 a)2 (x 知(x 2) 22)(2 (y 1)2 3 (y 3 2 (z a)1)y 3 2 解得为2 2[(x a 3或 a 3 1．3 all~ 试题 18 历年高考真题 all~ 试题 19 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容