多采样率信号处理

1．绪论

随着数字信号处理的发展，信号的处理、编码、传输和存储等工作量越来越大。为了节省计算工作量及存储空间，在一个信号处理系统中常常需要不同的采样率及其相互转换，在这种需求下，多速率数字信号处理产生并发展起来。它的应用带来许多好处，例如：可降低计算复杂度、降低传输速率、减少存储量等。

在信号处理领域，多速率信号处理最早于20世纪70年代提出，由其引出的多速率滤波在数学领域里基于多格算法解决了大量的微分等式。在多速率数字信号处理发展中，一个突破点是70年代两通道正交镜像滤波器组应用于语音信号的压缩。在该方法中，信号通过分析滤波器组被分成低通和高通两个子带，每个子带经过2倍抽取和量化后再进行压缩，之后可以通过综合滤波器组近似地重建出原始信号，重建的近似误差一部分源于子带信号的压缩编码，一部分是由分析和综合滤波器组产生的误差，其中最主要的误差是混叠误差，它是由分析滤波器组不是理想带限而引起的。在很多应用系统中，混叠误差存在一定程度的影响，因此就需要对其进行改进。

多速率系统应用于通信、语音信号处理、谱分析、雷达系统和天线系统，以及在数字音频系统、子带编码技术( 用于声音和图像的压缩) 和模拟语音个人系统(如标准电话通信) 等方面的应用。另外还应用于多相理论和多速率系统在一些非传统领域，包括：高效率信号压缩的多速率理论；高效窄带滤波器的脉冲响应序列的编码新技术的推导；可调整的多级响应FIR滤波器的设计等。

基于上述研究的发展，从20世纪80年代初开始，多速率数字信号处理技术在工程实践中得到广泛的应用，主要用于通信系统、语音、图像压缩、数字音频系统、统计和自适应信号处理、差分方程的数值解等。多速率信号处理在基础理论和应用领域的蓬勃发展，也促进了整个数字信号处理界的发展。 2．采样率转换基础理论

实现采样率转换的方法有三个：一是若原模拟信号x (t)可以再生，或是己记录下来了的话，那么可重新抽样；二是将x(n)通过D/A变成模拟信号x(t)后，对x (t)经A/D再抽样；三是发展一套算法，对抽样后的数字信号x(n)在“数字域”作采样率转换，以得到新的抽样。 方法一有时不现实，方法二要再一次地受到D/A和A/D量化误差的干扰，方法三相对较为理想。所以我们讨论第三种方法，减少采样率以去掉多余数据的过程称为信号的“抽取”，增加采样率以增加数据的过程称为信号的“插值”。

数字信号多速率处理通过波形内插的方法，在两种数字格式之间直接变换。下图描述了这个过程。从图上可以看到的是，这基本上是一个采样率变换的问题。由于可以将这个抽样率变换的准确度保持在任何需要的精度上 (通过控制字长和内插器的设计)，因此基本上可以实现两个系统间无噪声的互相连接。

数 采 数 字 样 字 格 率 格 式 转 式 A 换 B 图1. 采样率转换的办法

输 AD 入 转 信 换 号 DA 输 转 出 换 信 号

2.1 抽取和内插

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所谓多速率数字信号处理是指改变信号的采样率,包括抽取和内插两种情况。使采样率降低的采样率转换，称为抽取，用↓M来表示；使采样率升高的采样率转换，称为内插，用↑L，来表示。抽取是把原始的采样数据每隔M-1个取一个，形成新的采样序列。其中M为大于1的整数，称为抽取因子。实现这一过程的装置称为M-抽取器，为避免抽取后的混叠，信号x(n)的带宽必须限制在[-M, M]范围内。一般情况下，通常采取的措施是抗混叠滤波，即在抽取之前，先对信号进行低通滤波，把信号的频带限制在[-M, M]范围内。内插是在已知序列x(n)的相邻采样点之间等间距的插入L-1个0值点，L为大于1的整数，称为内插因子。实现这一过程的系统称为L-内插器，如图2所示。设输入序列为x(n)，输出序列为y (n)，则输入输出的关系为y(n)= x(n/L),n=0, ±L, ±2L, ……0,即是对输入信号的的L倍压缩，即内插后频谱的周期变为原来的1/L。因此在数字频率轴上，会产生重复的波形，称之为镜像。于是, 对序列进行内插，要保证序列的原始特性不变，必须要在内插后接一个低通滤波器滤除[-L, L]之外的频谱,以消除内插带来的镜像。单独的抽取器和内插器只能实现整数倍的采样率转换，将抽取器和内插器级联就可以实现有理数倍的采样率变换。由于抽取使x(n)的数据点减少，会产生信息的严重丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取，如图2所示。

x(n) ↑L v(n) h(n) u(n) ↓M y(n) 图2. 插值和抽取的级联实现

2.2 采样率转换的MATLAB实现

MATLAB的信号处理工具箱中包含了三种采样率转换的特殊函数，它们是decimate，interph和resample。本文以resample为例，编写了相应程序。假设输入由两个正弦信号组成，上采样因子和下采样因子分别为L和M，两个正弦的频率分别是f1和f2。程序如下： Clr;

N=input(’输入信号长度’); L=input(’上采样因子’); M=input(’下采样因子’);

f1=input(’第一个正弦的频率’); f2=input(’第二个正弦的频率’); n=0:N-1;

x=sin(2＊pi＊f1)+ sin(2＊pi＊f2); y=resample(x,L,M); subplot(2,1,1); stem(n,x(1:N)); title(’输入序列’);

xlable(’时间序号’);ylabel(’振幅’); subplot(2,1,1) m=0:N＊L/M-1;

stem(m,y(1:N＊L/M)); title(’输入序列’);

xlable(’时间序号’);ylabel(’振幅’); 3.多阶多采样滤波器的设计

多阶滤波器设计中，通带截止频率是相同的，阻带截止频率随阶数的增加向设计的频

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率靠近，第i阶输出采样频率为：

(公式1)

多阶滤波器不具有多采样率的特点。单阶多采样率滤波器设计滤波器长度是不变的，但可以降低运算率。多阶多采样滤波器的设计结合两者的优点，做如下改进:首先阻带的截止频率不是固定而是随阶数变化的，

（公式2）

由此，多阶多采样率滤波器的特性变化为如图3所示，其次，每阶输出该阶的采样率。

由于在各阶采用的低通滤波器是抗混叠的，频带范围与该阶采样率是对应的，可以作为目标采样率输出。多阶多采样滤波器结构如图4所示。

图3 多阶多采样频率特性示意图

本文介绍的滤波器采用瑞梅兹)交换算法和切比雪夫逼近理论设计。切比雪夫逼近法是将各种线性相位FIR滤波器的频率特性统一到一个公式上，然后取一种算法求解各种情况的最佳逼近。瑞梅兹交换算法是求取切比雪夫最佳逼近的有效算法。通过该优化的设计方法，可以使实际的滤波器频响特性与理论滤波器频响特性的最大误差最小化，在频响特性上体现等波纹的性质，是最优的并得到广泛应用的FIR滤波器的设汁方法。可以通过下面步骤来实现。

图4. 多阶多采样滤波器结构示意图

(1)确定总阶数，得到各阶的转换因子。(2)由确定的转换因子，利用公式(1)和公式(2)确定每阶滤波器的通带截止频率和阻带截止频率。(3)根据上述过程确定的参数，采用等波纹法设计各阶低通FIR线性相位滤波器。前一阶滤波器的输出采样率作为后一阶滤波器的输人采样率。 4．小结

多速率信号处理自发展以来, 至今在基础理论方面已经趋于成熟, 其广泛的应用领域也得到了人们的重视。多阶滤波器可以减少执行时间和占用空间，多采样率滤波器可以实现采样率间的转换。本文给出的多阶多采样率滤波器的设计方法，结合了两者的优点，既实现了多采样率输出的应用需求，又提高了效率，节省了空间。多速率信号处理与其它信号处理理论的结合将有更好的应用前景。

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