初高中数学衔接教材(完整版)

初高中数学衔接教材(完整版)

篇一：初高中衔接教材数学 《初高中数学衔接教材》序言 童永奇

高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！

进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。

既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢？提几点建议：

一、“信心”是源泉。人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。 二、“恒心”是保障。人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。 三、“巧心”是支柱。人无巧心，就缺乏灵气和创造力。

最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦！

临潼区马额中学高一数学校本教材 童永奇

结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较

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好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。主要包括以下两个内容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。 怎样学好数学？

A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。（一）抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”（三）应用的广泛性：在任何一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。 b.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复应用的基础上形成的，所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方法。这正是一个理想的领悟机会，也是我们自己反思、归纳、总结，提炼升华的基础。解析几何的创建者笛卡儿说得好：“走过两遍的路就是方法”。解题时走了一遍，解题后又走了一遍，这就是两遍。这么一来，这道题在你手里就不再是一道题，而是一种方法。

c.要学好数学，就应该学会解题时如何进行思维。从心理学角度说，

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解题过程是解题者面临新问题，而自己没有现存对策时所引起寻求解决问题办法的一种心理活动，主要是思维过程对思维活动这一系列过程的反映，在信息上就是收集、存储、加工和应用；在知识体系上就是联系、转换和应用过程；在解题策略上就是方法的选择和调整过程。 D．要学好数学，就应该培养自己迎难而上、顽强拼搏的精神。比如：数学大师——欧拉，60多岁双目失明，一场大火又吞没了他的研究成果，他毫不气馁，发誓说：“如果命运是块玩石，我就化作大铁锤，将它砸得粉碎！”此后17年，他在黑暗中摸索奋斗，又发表了400多篇论文和多部专著。

e.要学好数学，就应该学会辩证思维。所谓辩证思维，就是用运动的和寻求联系的观点、方法来思考，用辩证法来揭示事物的本质，这种思维方法能使学习和研究问题更加深入，更加触及数学本质；它既是思维发展最活跃，最富有创造性的高级阶段，也是辩证法在中学数学中的生动体现。因此，在解题时，应善于运用辩证思维方法分析问题，从而制定解题策略，把握解题规律。

F.要学好数学，就应该有意识地提高自己的自学能力。有了自学能力，就能广泛猎取知识，见多识广，利于开发智力，提高逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能力、独创思维能力以及运用能力等。 g.要学好数学，就应该加强训练。要真真正正地做到：勤于动手，勤于动脑，积极思考，勇于探索，大胆实践。

h.要学好数学，还应该注重多看一些有关的参考资料。目的：加深对教材知识的理解，开阔自己的知识视野，进一步提高自己分析问题、

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解决问题的能力，进一步领会灵活运用各种技巧、定理、公式在解题中的重要作用。对于一些好的解（证）法也应单独摘录出来；对于一些归纳、总结性的结论及一些常用技巧等也应摘录出来（此外，对于自己做题中所出现的一些典型错误，不但要摘录出来，而且要彻底搞清错误的根源及如何准确求解）。这样做，对于学习数学来说，也是一种提高！

最后，愿与各位同学共勉：相信自我，战胜自我，超越自我！！ 要踏，就请踏一路青春的风采；要走，就请走一程无怨无悔的人生！ 初高中数学衔接 前言

现有初高中数学知识存在以下“脱节”：

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦

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达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 第一讲数与式(一) 1.1数与式的运算 1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ?a,a?0,?|a|??0,a?0, ??a,a?0.?

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的

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距离．两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

例1解不等式：x??x?3＞4． 练习 1．填空题：

（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若?c?2，则c＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是（）

（A）若a?b，则a?b（b）若a?b，则a?b （c）若a?b，则a?b（D）若a?b，则a??b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）． 1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2； （2）完全平方公式(a?b)2?a2?2ab?b2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3； （2）立方差公式(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；

（3）三数和平方公式(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)； （4）两数和立方公式(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3； （5）两数差立方公式(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3．

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对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

例2已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 练习 1．填空题： （1）1 9a2?1 4b2?(1 2b?1 3a)（）；

（2）(4m?)2?16m2?4m?()； (3)(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?()． 2．选择题： （1）若x2?1

2mx?k是一个完全平方式，则k等于 ）（

1211m（c）m2（D）m24163

22（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值（）（A）m（b）2 （A）总是正数（b）总是负数

（c）可以是零（D）可以是正数也可以是负数 1.1.3．二次根式

a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的

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式子称为无理式.例如 3a 2b ?2x? 1，x2?

y2等是有理式． 1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数 等等． 一般地，

b与b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式?a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2

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?a,a?0,?a,a?0.?

例1将下列式子化为最简二次根式：?a?? （1 （2 a?0)；（3 x?0)． 例2 (3．

例3试比较下列各组数的大小： （1 （2 .

篇二：20XX年最全的初高中数学衔接教材 第一讲数与式 1.1数与式的运算 1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ?a,a?0,? |a|??0,a?0, ??a,a?0.?

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的

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距离．两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．练习 1．填空：

（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若?c?2，则c＝________.2．选择题： 下列叙述正确的是（）

（A）若a?b，则a?b（b）若a?b，则a?b（c）若a?b，则a?b（D）若a?b，则a??b3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）． 1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2； 222

（2）完全平方公式(a?b)?a?2ab?．b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 23

（1）立方和公式(a?b)(a?ab?2b)?3a?；b 23

（2）立方差公式(a?b)(a?ab?2b)?3a?；b 2222

（3）三数和平方公式(a?b?cc)?a?b?c2?(ab?bc?；)a 3323

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（4）两数和立方公式(a?b)?a?3ab?3a2b?；b

332（5）两数差立方公式(a?b)?a?3ab?3a2b?．b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

例2已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值．练习 1．填空： 121211

a?b?(b?a)（）；9423 22

（2）(4m?)?16m?4m?()； （1）

(3)(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?()．2．选择题： 1

mx?k是一个完全平方式，则k等于（）2 1212122

（A）m（b）m（c）m（D）m 416322

（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值（） （1）若x? 2

（A）总是正数（b）总是负数

（c）可以是零（D）可以是正数也可以是负数

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1.1.3．二次根式

a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如 3a 2b 2? x? 1，x2? y22

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式 ，例如 与 一般 地，

b与b互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法

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进行，

?a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2 a?? ?a,a?0, ?a,a?0.?

例1将下列式子化为最简二次根式： （1 （2 a?0)；（3 x?0)． 例2 (3．

例3试比较下列各组数的大小： （1 （2 例4

化简：20XX?20XX． 例5化简：（1 ；（2

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例6 已知x?练习 1．填空：（1

?x?1)．3x2?5xy?3y2的值．y? ＝_____； （2

?(x?x的取值范围是； （3

）?_____；（4 ）若x? 2．选择题： ?成立的条件是（）?

（A）x?2（b）x?0（c）x?2（D）0?x?2 3

．若b?，求a?b的值．

4．比较大小：24（填“＞”，或“＜”）． 1.1.４．分式 1．分式的意义 形如分式 AA

的式子，若b中含有字母，且b?0，则称为分式．当A

m≠0时，bb 竭诚为您提供优质文档/双击可除

具有下列性质：b

AA?m?；bb?mAA?m?．bb?m 上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式 a m?n?p

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． c?d n?p5x?4Ab

??例1若，求常数A,b的值． x(x?2)xx?2 解得A?2,b?3． 111

例2（1）试证：（其中n是正整数）；?? n(n?1)nn?1111???（2）计算：；1?22?39?10

1111????．（3）证明：对任意大于1的正整数n，有2?33?4n(n?1)2 c

例3设e?，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． a 练习 1．填空题：

对任意的正整数n，2．选择题：

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111 )；?(? nn?2n(n?2) 2x?y2x

?，则＝（）x?y3y 546

（A）１（b）（c）（D） 455 x?y

3．正数x,y满足x2?y2?2xy，求的值． x?y

1111???...?4．计算．1?22?33?499?100 习题1．1 若

1．解不等式：

(1)x??3；(2)x?3?x?2?7；(3)x??x?1?6． ２．已知x?y?1，求x3? y3

?3xy的值．3．填空： （1）(218 (2

19＝________；

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（2

?2，则a的取值范围是________； （ 3

?________． 1．2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，

另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1分解因式：

（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2?(a?b)xy?aby2；（4）xy?1?x?y． 解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 1xx1－1－2－ay－1

1xx16－2－by－2图1．2－3图1．2－1图1．2－4图1．2－2 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）． （2）由图1．2－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得

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x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by)（4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1 ＝(x－1)(y+1)（如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法 例2分解因式：

（1）x3?9?3x2?3x；（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6．（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6=2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)． 或

2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6 =(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6=(2x?y?2)(x?y?3)．

3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式 xy 图1．2－5 －11

ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2). 例3把下列关于x的二次多项式分解因式： （1）x2?2x?1；（2）x2?4xy?4y2． 练习 1．选择题：

多项式2x?xy?15y的一个因式为（）（A）2x?5y（b）x?3y（c）x?3y（D）x?5y2．分解因式：

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（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3； 2 2

篇三：初高中数学衔接教材 第一讲数与式的运算 一、乘法公式

【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca【例1】 计算：(x? 2 12x?)2 3

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3(立方和公式)请同学用文字语言表述公式2.【例2】

计算：(a?b)(a2?ab?b2) 我们得到：

【公式3】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算： （1）(4?m)(16?4m?m) （3）(a?2)(a?2)(a?4a?16) 4

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22 2 2 3 3 （2）(m? 151111

n)(m2?mn?n2)225104 （4）(x?2xy?y)(x?xy?y) 22222

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、?、20的平方数和1、2、3、4、?、10的 立方数，是非常有好处的． 2

【例4】已知x?3x?1?0，求x? 3 1 的值．x3

说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换

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的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举． 【例5】已知a?b?c?0，求 111111

a(?)?b(?)?c(?)的值．bccaab

说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明： a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca) 3 3 3 2 2 2 二、根式

a?0)叫做二次根式，其性质如下： 【例6】化简下列各式： (1) 说明：

?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）： (1)

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(2) x?1) (2) (3)??

说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式( )或被开方数有分母( ．这时可将其化 (

)，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，

采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．( 为有理化因式)． 2 2

【例8】计算： (1)??1)(1??2 (2) ?

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说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算． 【例9 】设x?

y，求x3?y3的值．

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 三、分式 当分式 AA

的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：bb x 1?xx? 1x? x

(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质． 【例10】化简

说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质 AA?m

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进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．? bb?m x2?3x?96xx?1 ??【例11】化简 x2?279x?x26?2x

说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式． 四、多项式除以多项式

做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式?商式+余式 A组

1??a成立的条件是( A．a?0 b．a?0 )

c．a?0)c．－９ 2

D．a是任意实数

2．若x?3|x?6|的值是(A．－３3．计算：

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2

b．３D．９ (1)(x?3y?4z)

(2)(2a?1?b)?(a?b)(a?2b) (3)(a?b)(a?ab?b)?(a?b) 222

(4)(a?4b)(a?4b?ab) 14 22

4．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)： (1) (2)a