行列式的定义及其性质证明

摘 要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。

关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数

1 基本定理与性质的证明

引理 设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…pn的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。

证明 根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。

定理1 n阶行列式也可定义为

证明 由定义1和引理即可证得。

性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立)

性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

证明 利用定理1和代数余子式的定义即可证得。

性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。

证明 (利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知

又Ais=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，Mi+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，Mi+s总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即

(mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这

供参考 2行对应元素相等，根据二阶行列式的定义可知Di=0，所以Mi+s=0，因此D=0，证毕。

性质4 行列式的某行(列)的每个元素与另一行(或列)的对应元素的代数余子式乘积之和为零。

证明 设D1= 有性质2可知

=0

性质5 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一数K，等于用数K乘以此行列式。

证明 设D= 的第行的所有元素都乘以数K，得

行列式A，根据定理1，

A= 证毕。

性质6 行列式中如果有两行(列)对应元素成比例，则此行列式等于零。

证明 利用性质5和性质3即可证得。

性质7 行列式的某一列(行)的元素都是2数之和，设

D= ，则D等于下列2

供参考 个行列式之和:

证明 由定理1知:

=D1+D2 ，证毕。

性质8 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变。

由性质5可知 =0，所以D′

供参考 =D，证毕。

性质9 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 证明 由性质8、性质7，根据性质3可证。

2 结论

n阶行列式的性质1、2、5、7只运用定理1证明，化繁为简。以往教材，性质3和性质9必有一个性质用逆序数的有关概念来证，非常抽象，本文改进了行列式的定义后，性质3运用性质2证得，性质9运用性质3、7、8证得，化难为易;同时，也提升了我们学习的逻辑思维能力、推理能力、创新能力。充分体现了非数学专业的大学数学除了具有为专业课提供使用工具的功能，还应该有训练科学思维，激发学生创新热情的素质教育的功能。

参考文献:

[1]齐成辉。求解行列式的方法和技巧[J]。陕西师范大学学报:自然科学版，2003，31(1):27-30。 [2]王朝旺。行列式的归纳定义极其性质的证明[J]。北京联合大学学报，2005(3):12-15。

[3]程伟健。一个行列式的计算与推广[J]。高等数学研究，2005(1):61-65。

[4]马菊侠。关于Hadamard矩阵Kronecker积的构造和正规性[J]。陕西师范大学学报:自然科学版，2003，31(4):23-27。

[5]倪淑琪。论行列式的计算方法[J]。安庆师范学院学报:自然科学版，2001，7(4):33-37。