一、 引言
在电磁学中，介电质响应外电场的施加而电极化的衡量，称之为介电常数；介电常数关系到介电质传输或者容许电场的能力，衡量电场怎样影响介电质，怎样被介电质影响，介电常数又被称为“电容率”或者“绝对电容率”。而真空中的介电常数我们称之为“真空介电常数”，标记为 ，且 。而在非真空中由于电介质被极
化，在物质内部的总电场会减小；我们将非真空中测得的电介质的介电常数与真空介电常数的比值称为相对介电常数，它是表征介质材料的介电性质或极化性质的物理参数，其值也等于以预测材料为介质与以真空为介质的同尺寸的电容器电量之比。而相对介电常数不是一个常值，它可能会随着电场的频率、湿度、温度或其它参数而改变。而相对介电常数越大，
则能越显著地提高同尺寸电子器件的电容，则在交流电路中可以明显减少电子器件的响应时间，在现代大规模集成电路中有着重要作用。
本实验利用交流电桥研究平行板电容器极板间距与电容值的关系，圆柱形电容器长度与电容值的关系，研究介质对电容的影响，从而测量空气的介电常数与介质的相对介电常数，并通过研究充入电介质的多少对电容的影响验证电容的串并联规律。 二、 实验原理
1、在充电的真空平行板电容器，若两金属板的面电荷密度为 和 ，平行板面积为S，平行板间距为d，当 》 时，由高斯定理，知极板间电场为 可知：
…………………………………… ⑴
，由
2、当电容器充满了相对介电常数为 的电介质后，极化电荷所产生的附加场强与原场强的方向相反，所合成的 比原来的 小，有
即可分别测量 后，通过
……………………………………………⑶
求得 。当电介质未充满电容器时，设充了电介质的面积为S’，则由电容器的并联规律可知，此时电容器的电容值为：
，由 ，得：
…………………………………⑵
……⑷
3、对圆柱形电容器，由理论分析可知：
……………………………………⑸
其中 为圆柱形电容器的高度， 为外径， 为内径。
4、交流电桥，其原理如下图1：
当灵敏电流计显示节点2、4间无电流时，2、4间即无电势差，则1-2-3支路与1-4-3支路应满足：
把 ， 待
入，则得到：
……………⑹
实验中通过反复调节 ，使G示数达到最小值，从而得到测量的 。
三、 实验器材与实验步骤
实验仪器：
QS18A万用电表 米尺（分度值=1mm） 游标卡尺（50分度） 千分尺（分度值=0.01mm） 实验步骤：
①探究平行板电容器的电容C与极板间距d的关系
（1） 测量好三个垫片的厚度，在下极板三个点垫上垫片，三个点与圆心连线两两
成120°。
（2） 将电容接入万用电表，测量其电容值。
（3） 改变间距d，测量对应不同电容值，作出C~ 曲线，进行线性拟合。 ②测量介质的相对介电常数
（1） 用游标卡尺分别测量电极板和透明介质板直径。
（2） 测量透明介质板厚度，将其垫进极板间，接入万用电表测得电容值。 （3） 理论计算得出真空介质下电容值，计算两者比值得到 。 ③探究平行板电容器电容C与介质板面积S的关系 （1） 选用不同大小的介质板，测量它们的直径与厚度。
（2） 将不同介质板分别加入电容中，将电容接入万用电表，测量它们的电容。 （3） 作出 关系图，进行线性拟合。
④探究圆柱形电容器的电容C与其长度l的关系。 （1） 利用米尺测出圆柱形电容器两圆柱重合部分长度l；
（2） 利用千分尺测出里面金属丝直径，作为内径 ；测出透明介质的直径，作为
外径 。
（3） 分别测出不同圆柱形的电容C，作
四、 实验结果
①探究平行板电容器的电容C与极板间距d的关系 千分尺0点读数： -0.020 mm
表1：平行板电容C与极板间距d关系
序号1234561/d(1/mm)1.852 1.585 1.440 1.239 1.112 0.9251 C/pF130110106.3 90.0 83.8 68.1 作图后进行线性拟合得到： 130.0
~l图，进行线性拟合。
其中R=0.988
（ ）
C (pF)120.0110.0100.090.080.070.060.00.800实验结果说明平行板电容器 与 呈较良好的线性关系，验证了原理中公式⑴的正确。
因为 所以
（ ） 8.6*
1.0001.2001.4001.6001.8002.0001/d (1/mm) 图2： C~ 关系图 取
直径测量的极限不确定度为0.02mm，则 =4*
：
所以 （ ） 。其中
3%。
直线拟合中的b=10表示电路中当平行板电容器的理论电容值为0时，电路中仍有
10pF的电容。而在实验电路中不可避免地会出现因为线与线之间、印制板的上下层之
间形成的电容，这种电容是非电容形态形成的一种分布参数，我们称之为分布电容。所以由实验结果可知在平行板电容器接入电路时其分布电容： 分布 。 ②测量介质的相对介电常数 理论计算得
（
=62.81pF
因为厚度d为千分尺单次测量，其分度值为0.01mm，取其 经查阅知其极限不确定度为0.0004mm，所以取
,所以
则测得电容C’= 测 分布=96.2pF
因为在测量中发现，电容示数有-1~1pF的变化对灵敏电流表G的示数影响不是很大，所以取 测 ，又因为
所以
分布=4pF，所以 。
1.53，
所以
③探究平行板电容器电容C与介质板面积S’的关系
因为在实验中存在着分布电容，而且分布电容的数量级跟测量电容一致，不能被忽略，所以原理中公式（4）应修正为：
测 分布 所以数据处理后得到表2数据：
表2：平行板电容C与介质板面积S’关系
C'/pF96.2 90.0 75.0 65.0 53.0 S'/mm^2(只计算在极板范围内的面积）7576 6501 4418 3112 1956 C'*d102.7 96.1 78.5 67.1 56.5 作出C‘*d~S’关系图，作线性拟合，得 C’*d= （ ）
其中R=0.996.
可见C‘*d与介质面积S’呈良好的线性关系，则验证了公式（4）的正确性，即验证了电容的并联定律的正确性。
则得
，
（
） 由实验原理公式⑷知，截距b= ，所以
5.42* F/m ：
取直径测量的极限不确定度为0.02mm，则
0.16* F/m
所以 （ ）
%
④探究圆柱形电容器的电容C与其长度l的关系
表3：圆柱形电容器电容与长度关系
序号123456 l/cm91.444.539.661.419.673.5C*ln(D2/D1)108.9 55.1 44.9 75.1 18.7 97.2 120.0对C* ~l作图，进行线性拟合，得到： C*ln(D2/D1) (pF)100.0 规定截距为0 不规定截距C* = （ ） 其中R=0.9826。 80.060.040.020.010.020.030.040.050.060.070.080.090.0100.0l (cm)可见若圆柱形电容器的尺寸一致，其电容值与其长度呈较良好的线性关系，也初步验证了原理公式（5）的正确性。
所以该圆柱形电容器的介电常数： ε=
=2.069*
所以ε=（2.07 ）* ，所以 =2.34，
。
所以 =2.34
同时由实验分析可知，当l=0时，即等效为不接入圆柱形电容器，所以不存在分布电容，则这里的截距很明显不是分布电容。所以可理解这里的截距只是实验中产生的误差，则再将直线的截距规定为0再进行一次拟合，得到：
C* = ，其中R=0.996，标准差也明显减小，拟合度有明显提高，验证了前面的猜想。
则ε=
=1.958* ，所以 ；
所以ε=（1.96 ）* ，所以 =2.21，
。
所以 =2.21
五、 讨论与分析
1、垫片对实验结果的影响
经过查阅资料可知，实验中所用红色的硬质塑料的相对介电常数可能为3.8；而透明的软质塑料应该可能是聚苯乙烯、聚四氟乙烯或者聚氯乙烯（PVC），其相对介电常数为2.2~3.5，我们暂时考虑其范围内的中值2.6。将每个垫片的面都看作2cm*1cm的规格，为尽量保证垫入垫片后稳定又不垫入过多面积，则三个方向上均只垫入一半面积，即S‘=3 ，每个硬质垫片的厚度为0.5mm，每个软质塑料的厚度为0.1mm.分别对实验①中各个测量值进行分析，由实验原理公式⑷可知：
（ ） 可得 ，同理可得 ， ， ， ， ，即应在测量得到电容值上减去它所对应的差值才是完全由空气充当电介质时平行板电容器的电容。则作出对比图可知：
由图象可知：
测量 预测真实，即测量得到的 应该比真实值偏大。而且根据拟合得到 测量 而 预测真实=56，斜率的相对误差达到了14%，所以可以断定这个实验中因为垫片的介电作用造成的实验误差是比较大的，可能达到10%的相对误差。
2、极板是否正对对实验结果的影响
C(pF)130120110100908070600.81.01.21.41.61.82.0 测量值 消除误差后值 Linear Fit of Sheet1 C1\"测量值\" Linear Fit of Sheet1 C\"消除误差后值\"1/d (1/mm)因为在实验中很难保证上下两极板完全对齐，则设其只有99%的面积对齐，则很明显可知，每次测得的电容都会有1%的相对误差，我们将每次测量电容时因为极板未对齐的相对误差都看作1%，则在实验①中，因为电容越大时，电容与真值的差值也越大，则由下图夸张后的误差放大可知： 测量得到的斜率比真实斜率偏小，则得到的 应该比真实值偏小，与实验结果也相符。若在得到测量值后，减去分布电容，再将得
C(pF)140130120110 测量值 预测真值 Linear Fit of Sheet1 C1\"测量值\" Linear Fit of Sheet1 B\"预测真值\"到的电容除以99%消除因为未对齐造成的误差再进行拟合，得到的 =8.66* ，与第一次测量值的相对误差仅为0.7%，再考虑到第一次测量时不确定度较大的原因而使其没有第三位有效数字的原因，可以判断因为面
100908070600.81.01.21.41.61.82.01/d (1/mm)积的微小错开对实验结果的影响不是太大，可以忽略。 3、边缘效应对测量结果的定性分析
若考虑边缘效应，因为在边缘处的电场线会向外歪曲，所以为保证在两极板上电势差相等，则边缘处的电荷面密度应该高于中央部分电荷密度，则电容的实际值应该比理论计算值高。则在实验②中，因为实际值应该比理论值高，则因边缘效应造成的 的测量值应该比实际值略大，但是因为边缘效应太微弱，无法定量分析，但原则上它的影响可以忽略。
4、因为实验中三个方向上的垫片不严格等高，所以其实际电容应该比用平均垫片厚度而
计算出来的略大。用一个简单的正方形上下板有微小偏差的电容器作为模型分析。如图：
为整个电容器的平均高度， 为左半部的平均高度， 为右半部的平均高度。 。在上下板夹角不大的情况下，电容可以直接近似为 ，若稍微追求更精确一点，可有电容器的
并联规律知：
（ ） ,其中影响因子为
（ ）
；在
实验中各组数据中各垫片厚度与平均厚度的差距未超过0.005mm，即使相对平均厚度最小的0.500mm的比例就未超过1%，则平方后误差就小于万分之一，所以该误差可以忽略。
六、 实验结论
本次实验验证了平行板电容器在极板面积不变的情况下与平板间距的倒数呈线性关系，并得到了在平行板电容器存在分布电容的事实，得知其大概为10pF，并在实验中测
得了空气的介电常数为 ） ；直接通过相对介电常数的定义，测得加入介质后的平行板电容值与计算值的比值得到了透明介质板的相对介电常数为 ；通过公式变化消除极板间距的影响后，验证了平行板电容器电容值与充入介质面积的线性关系即验证了电容的并联规律，并在该实验下分别测得了真空介电常数为
（ ） ，透明介质板的相对介电常数为 ；通过公式变换消除圆柱形电容器内外径的影响之后，验证了圆柱形电容器的电容值与其长度呈正比的关系，并测出了圆柱形电容中的电介质的相对介电常数为2.21 。
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