三角形的周长平分线

１０一　舀　数学数学　２０１１年第１０期　三角形的周长平分线　４６６００１河南省周口市川汇区教体局教研室李世臣　１．问题的提出　如图１，ＡＡＢＣ的三个旁切圆和三边ＢＣ、　扎ｓｉｎ　），直线ｌ的方程为（ｍ＋ｎ）　ｓｉｎ　０＋（礼一　ｍ）　ＣＯＳ０一ｍｎ　ｓｉｎ　２０＝０．……………………－・①　ＣＡ、ＡＢ的切点分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ，由切线长定理　易知，ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别等分ＡＡＢＣ的周长．　图１　我们不妨把ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ定义为ＡＡＢＣ　的基本等周线，那么，给定三角形内的任一点，过　此点是否还存在等分三角形周长的直线？过给　定点的等周线有多少条？怎样过给定点作出这些　直线？　２．问题的探索　图１中，设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、Ｃ，半周长　为ｐ＝—ａ—＋　ｂ＋ｃ，贝０　ＡＥ＝Ｐ—ｃ，　Ｆ＝Ｐ—ｂ，　ＢＦ＝ｐ－ａ，ＢＤ＝ｐ－ｃ，　Ｄ＝ｐ－ｂ，ＣＥ＝ｐ一　。１，所以ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ三线共点于点Ｐ（．由于篙・器・　＝蓦・善・界心）．葚＝　　假设等分三角形周长的其他直线存在，则这　样的直线必与三角形的两边相交．如图１，若一　个交点在　Ｅ上，则另一点必在ＢＤ上，另外还　有两种情况，即交点分别在ＡＦ、ＣＤ，　、ＢＦ　上．　如图２，假设直线ｆ平分△　ＢＣ的周长，且交　Ｃ、ＡＢ于点Ｍ、Ⅳ，则点　在线段ＣＥ上，点　Ｊ７ｖ在线段ＢＦ上，且ＡＭ＋　Ｎ＝Ｐ．　以顶点　为原点，　ＪＥ；　的平分线为Ｘ轴建　立平面直角坐标系，如图２所示，设ＺＢＡＣ＝２０，　Ｍ＝ｍ，ＡＮ＝ｎ，贝０Ｐ—Ｃ≤仇≤ｂ，Ｐ—　ｂ≤ｎ≤Ｃ，Ｍ（ｍＣＯＳ　０，ｍ　ｓｉｎ　）、Ｎ（ｎＣＯＳ０，　ｔ　图２　义＂　＋佗＝Ｐ．…………………………………　由①、②消去ｎ得ｐｘ　ｓｉｎ　＋（Ｐ一２ｍ）　ＣＯＳ０　＋ｍ（ｍ—Ｐ１　ｓｉｎ２０＝０．…………………………・⑧　如将③看作关于ｍ的方程，可化为　（ｓｉｎ２０）ｍ　一（２ｙ　ＣＯＳ　０＋Ｐｓｉｎ２　）ｍ＋　ｐ（ｘ　ｓｉｎ０＋Ｙ　ＣＯＳ０１＝０．…………………………・④　如果对于某些　、Ｙ，方程④有唯一解．则　Ａ：ｆ２ｙ　ＣＯＳ　０＋Ｐｓｉｎ２０）　４ｐ　ｘ　ｓｉｎ　０＋Ｙ　ＣＯＳ　０）ｓｉｎ　２０　＝４　ＣＯＳ　ｏ（ｙ　一２ｐｘ　ｓｉｎ　０ｔａｎ　０＋Ｐ　ｓｉｎ　０１　＝０，　即　＝２ｐｓｉｎ　０ｔａｎ　０（ｚ一呈ｃ。ｓ　）．………。・⑤　将⑤看作关于Ｘ、Ｙ的方程，这是一条关于　ＺＢＡＣ的平分线对称、焦准距为Ｐ　ｓｉｎ　０　ｔａｎ　０的　抛物线．此时，直线⑧与抛物线⑥有唯一的交　点，坐标为　２ｍ－－２ｆｐ＋ｐ２．ｃ。ｓ　，（２ｍ－ｐ）ｓｉｎ　．｜　．．⑥　注意到边界条件Ｐ—ｃ≤仇≤ｂ，将ｍ：Ｐ—　ｃ和ｍ＝ｂ９别代入⑥，得到直线ＢＥ、ＣＦ与　抛物线的切点分别为　Ｇ　２ｃ－２ｃｐ＋ｐ２ｃｏｓ　０，－（２ｃ－ｐ）ｓｉｎ　、／、　日（＼　ｐ　　ｃｏｓ　，（２ｂ－ｐ　ｎ　）／　．　如图３，每一条与ＡＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ相　交，且等分三角形周长的直线③一定和抛物线　２０１１年第１０期　数学教学　Ｊ　一　７　⑤相切，切点⑥在抛物线的弧回上，反过来　也正确，所以，抛物线⑤是直线⑧的包络．　Ａ　Ｆ　Ｂ　Ａ　Ｆ　Ｂ　图３　图４　如图４，对三角形的每两条边都进行同样的　讨论，可得三段不同的抛物线弧Ｇ日、　｜，、　，　其中的三条过顶点的等周线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ作为　它们的公切线，切点分别为Ｇ、日；Ｉ、　，；Ｋ、Ｌ．　３．一般结论　由前面的推理过程可以看出，经过平面内已　知点　作ＡＡＢＣ的等周线，实际上是作三段抛　物线弧Ｇ日、　、　的切线：　（１）当点　在△ＡＢ　内，且在曲边多边形　ＧＨＩＪＫＬ外部区域（阴影部分外）时，可作出一　条且只可作出一条△　Ｂ　的等周线；　（２）当点　在曲边多边形Ｇ日　Ｌ厂　上时．若　在外顶点Ｇ、日、　上，则可作一条且只可作一条　△　Ｂ　的等周线（或认为是两条重合切线），即过　顶点的等周线；否则，可作两条且只可作出两条　△　ＪＥ；　的等周线，分别和两段抛物线弧相切．　（３）当点　在曲边多边形Ｇ日　ｆ一　ｆＬ（阴影）　内时，可作出三条，且只可作出三条△　Ｂ　的等　周线．特别地，当　为△ＡＢ　的界心时，这三条　切线就是△ＡＢＣ的三条基本等周线．　４．等周线的作法　、　如图２，直线Ａ日、ＰＣＯＳ０，所以直线ＡＢ、ＡＣ分别与抛物线⑤相　切于点（ＰＣＯＳ０，土ｐｓ一　方程为　＝￣：ｔａｎ０ｘ．⑦　联立⑤、⑦消去Ｙ得（　ＣＯＳｉｎ　），加上基本等周线ＢＥ、／１　）　　＝０，即Ｘ＝　　　ＣＦ，有四条与抛物线⑤相切的直线．我们可以　通过这四条切线确定抛物线⑤的焦点和过抛物　线顶点的切线，然后过给定的点作出与抛物线⑤　相切的直线，进而得到过给定点的等周线．　下面介绍过定点　且与△ＡＢ　的边ＡＢ、　相交的等周线的作法．　此时定点　可以在图４中的阴影　ＰＧＨ区域　内，也可以在△ＪＦ）　或△ＰＦＢ区域内．　如果定点　在图４中的阴影ＰＧ　区域内．　（１）确定抛物线的焦点和准线，如图５．①作　△ＡＢＣ的基本等周线ＢＥ、ＣＦ；②作△ＡＢＥ、　△Ａ　Ｆ的外接圆。　、ｏ　，两圆交于顶点　和点　，则　为顶点　对应的抛物线的焦点；　⑧过点　作　Ｂ、　的垂线，垂足为Ｍ、Ⅳ，　则直线ＭⅣ即为抛物线过顶点的切线，记作ｆＡ．　图５　图６　（２）过给定点　作等周线，如图６．①连结　，以　为直径作圆，与抛物线过顶点的切　线ＺＡ交于点　、　；②作直线　、　，分别和　Ｂ、　交于Ｒ、Ｓ；　、ｙ；则ＲＳ、　ｙ即为　所求△ＡＢ　的等周线．　如果定点　在图４中的△ＰＥ　或△ＰＦＢ区　域内，则过定点　且与△　ＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ相　交的等周线只有一条．　完成上述作图需要根据抛物线的两个重要　性质：　性质１抛物线的外切三角形的外接圆经过　抛物线的焦点；　性质２过抛物线的焦点向抛物线的切线作　垂线，垂足在抛物线顶点处的切线上．　性质１、性质２的证明和作图结果证明从略．　类似地，也可作出过定点　且与ＡＡＢＣ的边　ＡＢ、ＢＣ或边　Ｃ、Ｂ　相交的等周线．　由上述探究结论可得到如下新命题：　命题设ＡＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，外接圆　半径为Ｒ，半周长为Ｐ，对应于ＡＡＢＣ：￣顶点的　等周线包络抛物线的焦准距分别为ＰＡ、ＰＢ、Ｐｃ，　￣ＰＡＰＢＰＣ＝　．　分析：由上述可知ＰＡ＝Ｐｓｉｎ　ｔａｎ导，ｐＢ＝　ｐｓｉｎ　ｔａｎ　Ｂｐｃ＝ｐｓｉｎ　ｔａｎ　ｃＡ，９．　ｃｏｓ　９．　ｃ。ｓ　Ｂ・ｃ。ｓ　Ｃ＿　ｐ，ｓｉｎ虿Ａ　（下转封底）