关于能带理论的探讨

维普资讯 http://www.cqvip.com Ｖ０１．６　Ｎｏ．２　第６卷第２期　２００４年６月　沈阳教育学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈｅｎｙａｎｇ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｊｕｎ．２００４　关于能带理论的探讨　王爱芬　（杭州电子工业学院理学院，浙江杭州　３１００１２）　摘要：介绍了能带理论，说明能带理论是一个近似理论，是把一个复杂的多体１－３题化成单电子　问题。介绍能带计算方法及其广泛应用。　关键词：能带；势函数；固体；单电子　中图分类号：Ｏ６４１　文献标识码：Ａ文章编号：１００８—３８６３（２００４）０２—０１３３—０３　概述　称绝热近似。这个近似的基本思想是忽略了晶体中　的电子——声子相互作用，把一个存在着复杂相互　作用的多体问题变成固体核势场中相互作用的电子　体系问题。实际上，电子声子相互作用在许多物理　现象中起着重要作用，不能忽略。例如：它在超界起　源的ＢＣＳ理论中的关键作用；在正常金属中，电子　固体在宏观上表现出各种各样的性质，与其微　观结构相关，单电子能带理论可用于研究固体的电　子结构，应用广泛，已成为从理论上研究凝聚态物质　各种复杂性质的有力工具。能带理论的发展主要是　受到新的实验技术促进，新的技术已经能够对复杂　晶体结构材料做出精密的实验测量，这就要求从理　论上对本征值进行解释。同时，为了确定不同的可　观察量算符的期待值，还要求给出精确的波函数。　此外，通过理论与实验比较，可精确地确定实际　声子相互作用能引起所测量的电子质量，电子　速度、ｇ因子。光跃迁振子强度以及从比热测量得到　的费米能态密度等的增加。为了得到一个有效的单　电子方程，还必须作一个单电子近似。这个模型有　两个依据：一个是建立在哈吹——福克理论基础上　的。称为哈吹——福克近似。在这个方法中，系统的　态函数近似地取为单电子轨道组成的单个斯莱特行　列式，用变分步骤得到的　Ｆ方程中包含着非局　固体中多体效应的相对大小及其重要性。　能带方法取得成功和广泛的应用，要求我们对　该方法的理论基础，基本假设和近似条件有个清楚　认识，以便更好地理解所得结果的可靠程度，适用范　围以及估价这些方法对实验的有效性。　域的交换势，因此又采用一个附加的近似。即用某　种方法把非局域交换项求平均，得到有效的单电子　局域势，通常采用斯莱特自由电子气近似。单电子　模型的另一个理论依据是处理系统基态的多体相互　作用均匀电子气方法，即局域密度泛函近似。　用了上述近似以后，就可以认为在晶体中运动　固体是一个复杂的多粒子体系，所有粒子之间　的相互作用是一个多体问题，要求解晶体的多体问　题，需要求解ｌ０∞个核与电子的薛定谔方程，这是一　个无法完成的工作，能带理论是把计算晶体中电子　本征态的问题做了一些简化和近似处理。把一个复　杂的多体问题化成单电子问题，从这个意义上讲，能　带理论是一个近似理论。　的每个电子受到晶体中所有其它电子和核产生的一　个平均的又具有空间周期性的势Ｖ（ｒ）的作用，这个　势叫局域势，因此所有的能带方法都将问题归结为：　第一个近似是零级Ｂｏｍ—Ｏｐｅｎｈｅｉｍｅｒ近似、或　收稿日期：２００３—０１—１３　作者简介：王爱芬（１９６３一），女，山东文登人，杭州电子工业学院理学院副教授，硕士。　ｌ３３—　维普资讯 http://www.cqvip.com 沈阳教育学院学报２００４年第２期　选交换关联晶体势，并在假定势下精确地解薛定谔　的分析方法，就其解决问题的方面来讲，也是极其　方程。　广阔的，不仅可以计算电子能谱，还可以计算电子云　关于能带的计算，大致可分为两个阶段：５０年　分布，固体的结合性质，声子反常，表面研究以及材　代以前和５０年代以后。现在已有的一些计算能带　料的计算，取得相当多的成就。　的方法，在５０年代以前就已经提出来了。例如：缀　二、能带理论的假定　加平面波方法（１９３７）、正交化平面波方法（１９４０）、格　能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理　林函数方法（１９４７）、近自由电子近似和紧束缚方法　论。量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入　一２　在２０年代未３０年代初就提出来了，并开始作简单　能带理论。能带理论是一个近似理论，下面对该理　计算。但是由于固体本身的复杂性受到计算条件，　论所作的假定作为一探讨。　实验条件等的限制，这个时期的计算多是半经验的，　实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子　非自洽的，势函数也作了某些近似，而且也只包含部　体系。如果不采用一些简化近似，从理论上研究固　分电子。５０年代以后，先进的实验技术，给研究固　体的能级和波函数是极为困难的。把固体看成是相　体的各种性质提供了有力的条件。　互作用着的电子和原子核组成的系综，体系的　南　目前，能带计算广泛应用于金属、半导体、绝缘　Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程为：　体、化合物、合金、表面的研究，为这些领域提供了同　由于采用了某些近似，因此有希望求解晶体中　虑，相当于忽略了电子——声子相互作用。电子运　电子态的本征值问题。　动时，可以认为核是不动的。电子是在固体不动的　１．绝热近似　原子核产生的势场中运动。按照上述假定。动能项　考虑到电子与核的质量相差悬殊。可利用　Ｂ０ｍ——叩ｐｅｎｈｅｉｍｅｒ近似把（１）的本征值分为相互　手［一　ｈ２　：】＝。。若适当选择势能零点使　（　。　耦合着的电子与核的本征值问题。把耦合项去掉，　Ｒ。…）＝０就可得到电子系统Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程　这种近似叫绝热近似。它把核与电子的运动分开考　【一手　＋吉　丢　＋　（ｒ－…ｒ　…Ｒ－…Ｒ。…）Ｊ　（ｒ　，Ｒ。），＝Ｅ　（ｒ　，Ｒ　ｏ）　（２）　２·平均场近似　＝手　印　（６）　（２）式仍不能精确求解　因为所有电子的运动　一　一　一　一　是关联的。可用一种平均场来代替价电子之间的相　脚（ｒ－…ｒ　…）＝Ｅ　（ｒ－…ｒ　…）　（７）　互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。使每　由分离变量法，令　个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有　（　。…一／－ｉ　ｏ　ｏ　ｏ）＝　。（　。）　：（　：）…　（　）　（８）　关，而与其它电子的位置无关，引入０。（　．）使之　Ｅ　－ＹＥ　（９）　黝　（　．）＝下１　（３）　代入方程（７）得　把电子与核之间的相互作用能改写为　二。。　…　．：Ｚ…ｔ￣０Ｅｆ．Ｔｑ…．　　‘既所有电子都　（　）：Ｅ　ｉ‘样的‘　（　）‘　　方（１０）　程，只要　（　－…ｒ　，Ｒ－…Ｒ　ａ）　譬ｕＩ口　　手　－　（４）　Ｅｎ（Ｄ、ｒ（　），可得晶体电子体系的电子状态和能量。　Ｊ．Ｈｌ　１　Ｒ日１４　ＨＪ．Ｔ１４　ｆ　ｒＴ、１日］Ｔ　＾‘：：斤Ｕ　Ｈ　田　　Ⅱ　＝Ｕｉ表示所有核对第ｉ个电子的作用能，在上　使多电子问题简化为个单电子问题，所以上述近　述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，若用　似也称单电子近似代表第ｉ个电子的哈密顿。即　３周期场假定　＝一　岫（　）　（５）　（５）中势能项Ｖ（ｒ）＝０（ｒ）＋Ｕ（ｒ），Ｕ（ｒ）＝　则电子体系的哈密顿　三Ｕｏ是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周　ｌ３４一　维普资讯 http://www.cqvip.com 王爱芬关于能带理论的探讨　期性。ｎ（ｒ）代表一种平均势能，应是恒量。　（ｒ）只有晶格周期性。　（ｒ）＝　（　（ｒ＋尺　）　因此　【　论。　＋　（　）】　（　）：　（　）　（１２）　上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带　（１１）　综上所述，在单电子近似和晶格周期场假定下。就　固体能带论是目前研究晶体中的电子状态，说　明晶体性质最重要的基础理论。它的出现是量子力　学，量子统计理论在固体中最直接最重要的应用。　把多电子体系问题简化为在晶格周期势场　（ｒ）的　单电子定态问题：　参考文献：　『１　方俊鑫，陆栋．固体物理学［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９８０，１２　［２：梅良．译．近代固体理论［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８５．　Ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｅｎｅｒｇｙ　ｂａｎｄｓ　ＷＡＮＧ　Ａｉ—ｆｅｎ　（Ｈａｎｇｚｈｏｕ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｉｎｄｕｓｔｒｙ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ　３１００１２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｅｎｅｒｇｙ　ｂａｎｄｓ　ａｎｄ　ｅｘｐｌａｉｎｓ　ｉｔ　ｉｓ　ａ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｔｈｅｏｑ．Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｅｎｅｒｇｙ　ｂａｎｄｓ　ｃｈａｎｇｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉ—ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ．ｓｉｎ￣ｅ　ｅｌｃｔｅｏｎ．ｒＴｈｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｅｎｅｎｇｙ　ｂａｎｄｓ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｅｎｅｎｇｙ　ｂａｎｄｓ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｉｎｄｕｃｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｅｎｅｒｇｙ　ｂａｎｄｓ；ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｏｌｉｄ　ｓｔａｔｅ；ｓｉｎｇｌｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｎ　（责任编辑　吕成学）　１３５—