概率论与数理统计期中考试试题1

一．选择题（每题4分，共20分）

1.设A,B,C为三个随机事件，A,B,C中至少有一个发生，正确的表示是（ ） A. ABC B. ABC C. ABC D. ABC

2.一个袋子中有5个红球，3个白球，2个黑球，现任取三个球恰为一红，一白，一黑的概率为 ( ) A.

1111 B. C. D. 2435B)（ ）

3.设A,B为随机事件，P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8，则P(AA．0.7 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.4

4. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为2的泊松分布，则某一分钟恰有4次呼唤的概率为（ ）

24211e B. e2 C. e2 D. e3 3322X25.若连续性随机变量XN(,)，则Z （ ）

A.

 A．ZN(,2) B. ZN(0,2) C. ZN(0,1) D. ZN(1,0)

二. 填空题（每题4分，共20分）

16. 已知P(A)，且A,B互不相容，则P(AB) 27. 老张今年年初买了一份为期一年的保险，保险公司赔付情况如下：若投保人在投保后一年内因意外死亡，则公司赔付30万元；若投保人因其他原因死亡，则公司赔付10万元；若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他原因死亡的概率为0.0050，则保险公司赔付金额为0元的概率为 8. 设连续性随机变量X具有分布函数

0,x1 F(x)lnx,1xe

1,xe则概率密度函数f(x) 9. 设连续型随机变量XN(3,22)，则P210. 设离散型随机变量X的分布律为X12102Y(X1)，则的分布 0.20.30.10.4

律为

三．解答题（每题8分，共48分）

11. 将9名新生随机地平均分配到两个班级中去，这9名新生中有3名是优秀生。求 （1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？ （2）3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？

12. 甲乙两人独立地射击同一目标，击中目标的概率分别为0.6，0.7，求下列各事件的概率： （1）两人都击中目标， （2）目标被击中， （3）恰有一人击中。

13. 将一枚硬币连掷三次，随机变量X表示“三次中正面出现的次数”，求 （1）X的分布律及分布函数 （2）PX5.5,P1X3

14. 设连续型随机变量X的概率密度为

kx,0x1 f(x)2x,1x2

0,其他（1）求常数k （2）求分布函数F(x) （3）求PX

15. 设随机变量X在2,5上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有两次

观测值大于3的概率。

3 2

16. 设二维随机变量X,Y的联合概率密度函数为

ey,0xy f(x,y)0,其他（1） 分别求X,Y的边缘密度函数fX(x),fY(y)； （2） 判断X,Y是否独立。

四．应用题（每题12分，共12分）

17. 病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8。若浇水则树死去的概率为0.15。有0.9的把握确定邻居会记得浇水。

(1)求主人回来树还活着的概率； （2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。

参考答案

1. D 2.B 3.A 4.B 5.C

11,1xe6. 7. 0.9948 8. f(x)x 9. 0.5328

20,其他10. Y401 0.10.70.211.解：记A: 每个班级各分配到一名优秀生

B: 2名优秀生分配在同一个班级 因此

2223!C6C4C29 （1） P(A)， …………………………………………..4分 333C9C6C3282223C6CC9 （2） P(B)33432. …………………………………………..8分

C9C6C35612. 解：记A：甲击中，

B：乙击中。

（1）P(AB)P(A)P(B)0.60.70.42 ………………………………..2分 （2）P(A （3）P(ABB)P(A)P(B)P(AB)0.60.70.420.88 ………..5分 AB)P(AB)P(AB)P(AABB)0.60.30.40.700.46

………………8分 13. 解：SHHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT

因此X的分布律为

X0123。 …………………………2分 13318888当x0时，

F(x)PXx0

当0x1时

1F(x)PXxPX0 ……………………………3分

8当1x2时

1F(x)PXxPX0PX1 …………………………4分

2当2x3时

7F(x)PXxPX0PX1PX2 …………….5分.

8当x3时

F(x)PXxPX0PX1PX2PX31 …….6分 即

0,x01,0x181 F(x),1x2

278,2x31,x3（2）

PX5.51PX5.51PX5.5PX5.51F(5.5)PX5.50

……….. 7分

P1X3F(3)F(1)14. 解：（1）因为

1 …………… 8分 21211f(x)dxkxdx2xdxk1， ………………2分

0122 故 k1 …………… 3分

（2）当x0时

F(x) 当0x1时

xf(t)dt0 ……………………………. 4分

0F(x)当1x2时

xf(t)dt01f(t)dtf(t)dttdtx2 …………….5分

002xxF(x)xf(t)dt1x1x1f(t)dtf(t)dtf(t)dttdt2tdt2xx2101012 ……………… 6分

当x2时

F(x)即

xf(t)dt0f(t)dtf(t)dtf(t)dtf(t)dt1 ……7分

01212x0,x01x2,0x1F(x)2

2x1x21,1x221,x2（3）PX333197F()21 ……………………………8分 22224815. 解：X的概率密度为

1,2x5 ………………………2分 f(x)30,其他记A:“对X的观测值大于3”，即AX3，故

12dx ……………….4分 3332记B：3次独立观测中观测值大于3的次数，则Bb(3,)， ………………….5分

3P(A)PX35故

202132 ……………8分 P(B2)PB2PB=3C32C33332716. 解：（1）当x0时 fX(x)23f(x,y)dyeydyex， ……………2分

xex,x0即 fX(x) ………………………3分

0,x0yey,y0同理 fY(y) ……………………….6分

0,y0（2） 因为

fX(x)fY(y)ye(xy)eyf(x,y) ………………………………… 8分

故X与Y不独立。 17.解：记A：树还活着；

B：邻居记得给树浇水。 …………………………………..1分 则由题意可得

P(B)0.9,P(B)0.1,P(A|B)0.15,P(A|B)0.8 …………………..3分

（1）P(A)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)0.785 …………………………7分

(2) P(B|A)P(AB)P(A|B)P(B)0.372 ………………………12分

1P(A)P(A)