计数原理专项练习(含详解)

一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）

1. 从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽

取方法数为()

A. 224 B. 112 C. 56 D. 28

2. A，B，C，D四位妈妈相约各带一名小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一

位大人和一名小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C妈妈或D妈妈的车的概率是()

A.

1 3B.

1 2C.

5 9D.

2 3)

3. 袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是(A.

4. 已知

B.

C.

D.

项的系数为

的最小值为，则二项式

展开式中

A.

5.

B.

C.

D.

数0.0000025用科学计数法表示为() PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，

A. 25107 B. 2.5106 C. 0.25105 D. 2.5107

6. 若集合A1，A2满足A1则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1A2时，A2A，

(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合A{a1,a2}的不同分拆种数是()

A. 8

7. 已知(1x)10B. 9 C. 16 D. 18

a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a9等于()

A. 10 B. 10

C. 20 D. 20

8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，

4，6，5，10，…，记此数列的前项之和为

，则

的值为()

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A. 361 B. 295 C. 153 D. 66

n2n9. 设(1x)a0a1xa2x…anx，若|a1||a2|...|an|127，则展开式中二项式系数最大

的项为

A. 第4项 B. 第5项 C. 第4项或第5项 D. 第7项

)

n10. 二项式(x1)(nN)的展开式中x2的系数为15，则n(A. 4

11. 二项式

B. 5 C. 6

)

D. 7

的展开式中二项式系数最大的项为(A. 第 3 项 B. 第 6 项 C. 第 6 、 7 项 D. 第 5 、 7 项

12. 甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则

恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是

A.

nB.

C.

D.

113. x2的展开式中只有第4项的二项式系数最大，展开式中的所有项的系数和是()

2xA. 0 B. 256 C. 64 D.

1 6414. 9.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A. 66种 B. 65种 C. 63种 D. 60种

1021015. (2x)a0a1xa2x…a10x.则a1a2a3…a10()

A. 1 B. 1 C. 1023 D. 1023

16. 腾冲第八中学数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的90、91、92三个班实习，每班

至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()

A. 30种 B. 90种 C. 180种 D. 270种

17. 从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语

老师都至少有1人的选派方法种数是()

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A. 590 B. 570 C. 360

)

D. 210

n5218. 若nN*，且3Cn15An2，则n的值为(A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

19. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉

祥数”一共有()

A. 28个 B. 21个 C. 35个 D. 56个

)20. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有(种.

A. 252

B. 112 C. 20 D. 56

二、单空题（本大题共10小题，共50.0分） 21. 如图，它满足：

(1)第n行首尾两数均为n；

(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行n2第2个数是________

3422. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙

45的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是__________.

123. 二项式(2x)5的展开式中x3的系数为______.

x24. 已知4男3女排队，每名男生至多与一名女生相邻，共有______ 种不同的排法．(结果用数值表示)

25. 被4除，所得的余数为________.

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26. 若Cn2A2242，则

n!________.

3!n3!27. 2015年世博会在意大利米兰举行，其中某大学要从6名男生和2名女生中选出3人作为奥运会的志愿

者，若男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有__________________________种(结果用数字表示).

28. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为____________

29. __________.

30. 已知(x1)3(x2)8aa1(x1)a2(x1)2...a8(x1)8，则a6的值为_____.

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答案和解析

1.【答案】B

试题分析：根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：

.

2.【答案】D

解： 记A，B，C，D四位妈妈的小孩分别为a，b，c，d， 由于孩子都不坐自己妈妈的车， 假设A与b一辆车，则有3种情况，

同理A与c一辆车及A和d一辆车，都有3种情况， 所以不同的坐车方式有3339种，

而A的小孩a坐C妈妈或D妈妈的车的情况有336种情况， 所以所求概率为P62. 933.【答案】B

1120解：至少有1个黑球，包括1个黑球、2个黑球，其方法数为 C5C3C5C3

袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，

共有方法数为 C82

11C5C3C52C30至少有1个黑球的概率是

C82.

4.【答案】A

解：因为函数

的最小值为

，即

.

展开式的通项公式为

，

由，得

，

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所以

，

即

项的系数为15.

5.【答案】B

6.【答案】B

解：

A1A2A，对A1分以下几种情况讨论：

①若A1，必有A2{a1,a2}，共1种拆分；

②A1{a1}，则A2{a2}或{a1,a2}，共2种拆分；同理A1{a2}时，有2种拆分； ③若A1{a1,a2}，则A2、{a1}、{a2}，{a1,a2}，共4种拆分；

共有12249种不同的拆分．

7.【答案】D 8.【答案】A

解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式

.

n为偶数时，

，

0212232n为奇数时，1c2C2，3C3C3，6C4，10C5C5，…

.

然后求前21项和，偶数项和为75， 奇数项和为

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最后

.

9.【答案】C

解：令x0，可得a01，

令x1，可得a0a1a2an2n，

所以a1a2解得n7，

an2n1127，

所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，第5项.

10.【答案】C

因为(x1)的展开式中x2的系数为Cn，

n22即Cn15，亦即n2n30，解得n6(n5舍).

11.【答案】C

解：

，

在二项式

的展开式中二项式系数最大的项为第 6 、 7 项，

12.【答案】A

解：依题意，甲、乙、丙3人的相对顺序共有人

种，

其中甲位于乙、丙前面的共有

种，

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因此所求的概率为

，

13.【答案】D

解：根据(x21n)的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 2x得展开式中项数是2417，

n716；

令x1，得展开式中的所有项的系数和是

11(1)6.

264

14.【答案】A

解：

由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有当取得4个奇数时，有当取得2奇2偶时有

1种结果，

5种结果， 61060

共有156066种结果，

15.【答案】D

解：令x1代入二项式(2x)得(21)1010a0a1xa2x2…a10x10，

a0a1…a101，

10令x0得a02，

210a1a2…a101，

a1a2…a101023，

16.【答案】B

122C5C4C2解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有15种方法， 2A2第8页，共13页

3再将3组分到3个班，共有15A390种不同的分配方案，

17.【答案】A

311解：直接法：3名语文、1名数学和1名英语，有C3C4C520种， 1311名语文、3名数学和1名英语1名，有C3C4C560种， 1131名语文、1名数学和1名英语3名，有C3C4C5120种， 2212名语文、2名数学和1名英语1名，有C3C4C590种，

1221名语文、2名数学和2名英语1名，有C3C4C5180种， 2122名语文、1名数学和2名英语1名，有C3C4C5120种，

共计206012090180120590种

18.【答案】B

解：

n52nN*，且3Cn15An2，

0n5n1， 2n2(n1)(n2)(n3)(n4)35n2n34321n5即(n1)(n2)(n3)(n4)，

35n2n34321因此n5，

(n1)(n4)40即n5，解得n9， 2n5n360所以n的值为9.

19.【答案】B

解：因为1146， 1236，2226，0156，0246，0336，0066，所以可以分为7类，

当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，

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3当三个位数字为1，2，3时，三位数有A36个，

当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个， 当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个， 当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个， 当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个， 当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，

根据分类计数原理得三位数共有361442121.

20.【答案】B

解：分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，

2第一种是：一组2人，另一组5人，有C721种分法；

3第二一种是：一组3人，另一组4人，有C735种分法；

22第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，第一种有A22种分配方法，第二种也有A22种分配方法；

2232最后，把两步方法数相乘，共有C7A2C7A2212352112种方法.

n2n221.【答案】

2解：设第n(n2)行的第2个数构成数列{an}，则有a3a22，a4a33，a5a44，…，

anan1n1，

相加得ana223(n1)n1n22n1(n2)， 22

则ann1n2n2n22.2219 40022.【答案】

解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立， 停止射击时甲射击了两次包括两种情况：

①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，

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此时的概率P1P(ABA)(1)(1)344533， 480②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，

341， 451003119故停止射击时甲射击了两次的概率PP， P1280100400此时的概率P2P(ABAB)(1)(1)(1)344523.【答案】80

r5rr5rr52r解：二项式(2x)5的展开式的通项公式为Tr1C5(2x)x2C5x，

1x41令52r3，r1，故展开式中x3的系数为 2C580，

24.【答案】2304

431解：第一类，把4男生捆绑在一起，插入到3名女生排列所形成的4个空的1个空中，故有A4A3A4576种，

232第二类，把4男生平均分为2组，分别插入到3名女生排列所形成的4个空的2个空中，故有A4A3A4864种，

第三类，把4男生分为(3,1)两组，把把1名男生插入到3名女生排列所形成的4个空的头或尾，把在一起的3个男生插入到剩下的3个空中的1个，

11331故有A2A4A3A3A3864种，

根据分类计数原理得，5768648642304

25.【答案】0

解：

显然能被4整除，余数为0.

26.【答案】35

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22解：CnA2n(n1)42，解得n7，或n6(舍去)，

n!33CnC735，

3!(n3)!27.【答案】36

解：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，

，

男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有

，

28.【答案】0.6

22解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有C3A26种不同排法)，

剩下一名男生记作B，

将A，B插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，

2223故有C3A2A4A3432种，

则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为P4324320.6. 6A672029.【答案】40

解：

，

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30.【答案】28

解：(x1)3展开后不会出现x6，

又(x2)8[(x1)1]8，

所以a6表示(x1)6的系数，

所以a626C8(1)28.

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