在平面直角坐标系xoy中已知动点p在正比例函数y

在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m(m＞0)，以点P为圆心，

m为半径的圆交x轴于A、B两

点(点A在点B的左侧)，交y轴于C、D两点(点D在点C的上方)．点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)．

(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D)，连接EQ、BQ，试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？ (3)连接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度数．

解：(1)如图①，连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M． 由题意可知，OM=PM=m，PB=

m．

在Rt△PBM中，由勾股定理得： BM=

=

=2m，

∴OB=OM+BM=m+2m=3m， ∴B(3m，0)；

连接PD，过点P作PN⊥y轴于点N，同理可求得DN=2m，OD=3m． 过点D作DR⊥PE于点R，

∵平行四边形DOPE，∴∠ODE+∠DOP=180°； 由题意可知，∠DOP=45°，∴∠ODE=135°， ∴∠EDR=45°，即△EDR为等腰直角三角形，

∴ER=DR=OM=m，EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m， ∴E(m，4m)．

(2)相等．理由如下：

依题意画出图形，如图②所示．

由(1)知，∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°，

又OB=OD=3m，即△OBD为等腰直角三角形，∴∠∠BDO=45°， ∴∠BDE=90°，即△BDE为直角三角形．

由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，∴∠BQE=90°． 过点E作EK⊥y轴于点K，则有EK=m，OK=4m． ∵∠BQE=90°，∴∠EQK+∠BQO=90°，又∠BQO+∠QBO=90°， ∴∠EQK=∠QBO．

∴Rt△EQK∽Rt△QBO， ∴

，即

，解得OQ=m或OQ=3m，

∵点Q与点D不重合，∴OQ=m，

∴OQ=EK，即相似比为1，此时两个三角形全等， ∴BQ=EQ．

(3)如图②所示，连接BC．

由(1)可知，如图①，CD=2DN=4m，∴OC=CD﹣OD=m． 由(2)可知，△BDE为直角三角形，△EDK与△BDO均为等腰直角三角形， ∴DE=

EK=

m，BD=

OB=3

m．

m，BD=3

m，

在Rt△BDE与Rt△BOC中，OC=m，OB=3m，DE=∴

，∴Rt△BDE∽Rt△BOC，

∴∠OBC=∠DBE，

∴∠DBC﹣∠DBE=(∠OBD+∠OBC)﹣∠DBE=∠OBD=45°．

分析： (1)如图①所示，过点P作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，利用垂径定理与勾股定理求出点B的坐标；同理可求得点D的坐标，过点D作DR⊥PE于点R，则△EDR为等腰直角三角形，从而求出点E的坐标； (2)如图②所示，首先推出△BDE为直角三角形，由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，因此∠BQE=90°；然后证明Rt△EQK∽Rt△QBO，通过计算线段之间的比例关系，可以得到这两个三角形全等，所以BQ=EQ； (3)如图②所示，本问要点是证明Rt△BDE∽Rt△BOC，得到∠OBC=∠DBE，进而计算可得∠DBC﹣∠DBE=45°． 点评： 本题综合考查了平面几何图形的若干重要性质，包括圆的垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形、平行四边形等，涉及考点较多，有一定的难度．另外需要注意解题方法多样，例如：第(1)问中求点E坐标也可采用代数方法解决，点E是直线DE(y=x+3m)与直线PE(x=m)的交点；第(3)问中也可以由三角函数tan∠OBC=tan∠DBE直接得到∠OBC=∠DBE．