证明三角形全等的思路归纳

证明三角形全等的思路归纳

三角形全等的识别方法是三角形一章的重点内容，在具体应用三角形全等的识别方法时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了那些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系，从而选择适当的说明方法。现将其思路归纳如下：

一、 已知有两角对应相等时的思路： 思路一、找出夹边相等，用（ASA）

例1．如图1，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，，且MN平分∠AMC，△ABM的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC的周长。

解析：只要求出CM和AC的长即得△ABC的 周长，而△AMN≌△CMN可实现这一目的。

因为MN平分∠AMC，所以∠AMN=∠CMN，

因为MN⊥AC，所以∠AMNA=∠CMNC=90，这样有两角对应相等，再找出它的夹边对应相

0

等（MN为公共边）即可。

AMNCMN在△AMN和△CMN中MNMN，所以△AMN≌△CMN（ASA）

MNAMNC所以AC=NC，AM=CM（全等三角形的对应角相等）， AN=2cm,所以AC=2AN=4 cm，而△ABM的周长为9cm,

所以△ABC的周长为9+4=13 cm。

思路二、找出任意一组角的对边对应相等，用（AAS）： 例2．如图2，在在△ABC中，∠B=∠C，说明AB=AC

析解：作∠BAC的平分线AD，交BC于D，由∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，再找出∠B和 ∠C

的对边AD=AD，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC。

二、 已知两组对应边相等时的思路： 思路一、找夹角相等，用（SAS）

例3．已知如图3，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，试说明BD=CE。 析解：已知AB=AC，AD=AE，若BD=CE ，

则△ABD≌△ACE，结合∠BAC=∠DAE易得两已知边的夹角

,.

∠BAD=∠CAE，于是，建立了已知与结论的联系， 应用（SAS）可说明△ABD≌△ACE，于是BD=CE。

思路二、找第三边相等，用（SSS）

例4．如图4，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明∠DEH=∠DFH。试用你所学的知识说明理由。

解析：由于已知DE=DF，EH=FH，连结DH，这是两三 角形的公共边，于是，

DEDF在△DEH和△DFH中， EHFH

DHDH所以△DEH≌△DFH（SSS），所以∠DEH=∠DFH（全等三角形的对应角相等）。 思路三、有一组对应角是直角，用（HL） 例5．如图5，两根长为12m的绳子，一端系 在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上， 两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。

析解：两根木桩到旗杆底部的距离是否相等，也就是 看OB与OC是否相等，OB、OC分别在Rt△ABO和Rt△ACO 中,由于

ABAC所以Rt△ABO≌Rt△ACO(HL), OAOAAOBAOC900所以OB=OC.

三、 有一边及其一邻角对应相等时的思路： 思路一、找夹等角的另一边对应相等，用（SAS）。 例6．如图6，AE=AF，∠AEF=∠AFE，BE=CF， 说明AB=AC。

析解：找到夹等角的另一对边。因为BE=CF， 所以BE+EF=CF+EF，即BF=CE。

图6 ,.

AEAF在△ABF和△ACE中， AEFAFE

BFCE所以△ABF≌△ACE（SAS），所以AB=AC。 思路二、找任一角相等，用（AAS或ASA）

例7．如图7，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？

解析：本题已知∠A=∠B，又O是AB的中点，因此OA=OB，再找任一角相等，由于本题还隐含了对顶角，∠AOC=∠BOD，于是根据（ASA）可得△AOC与△BOD全等。

四、 有一边及其对角对应相等时的思路。

有一边及其对角对应相等时的思路是任找一组角对应相等，用（AAS）。

例8．如图8，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：①AD=CB，②AE=CF，③∠B=∠D，④AD∥BC。请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。

析解：本题为一道开放型题目，其中如果已知AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC。试说明AD=CB。就是一个已知一边及其对角对应相等的问题。

因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF， 即AF=CE，这是比较明显的。

另外，因为AD∥BC，所以∠A=∠C，找到这对 对应角相等，则△AFD≌△BEC，即AD=CB。

21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B

A

C

BD证明：

延长AC到E ，使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E

,.

△CDE为等腰 ∠ACB=2∠B 22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF； （2）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF． A

23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△

ODEBC,.

AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

证明： ∵DC∥AB

∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE＝BE ∴BE＝DC ∵DC∥AB

∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE

∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE． F

A

ED

BC

证明：

∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE四点共元 ∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC

,.

取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB ∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE

25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

DEFCAB

证明：∵DF=CE， ∴DF-EF=CE-EF， 即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）

26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。

AFBEMC

证明：

,.

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

ADBC

∵△ABD和△BCD的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

ADBCF

证明：在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD

∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC

,.

∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC

∠BDF=∠FDC，DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC

29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

AFBECD

证明：∵AB=DC AE=DF, CE=FB

CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证明：连接EF ∵AB∥CD ∴∠B=∠C

∵M是BC中点 ∴BM=CM

在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C

,.

BM=CM

∴△BEM≌△CFM（SAS） ∴CF=BE 31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．

∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF. ∵DF//BE,

∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等） ∵BE=DF

∴：△ABE≌△CDF（SAS）

32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：

D E A CF B

连接BD； ∵AB=AD BC=D

∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC； ∵BC=DC E\\F是中点 ∴DE=BF； ∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF。

AE＝AF。

,.

33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

DA125E6B34C

证明：

在△ADC，△ABC中

∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边） ∵AB=AD，BC=CD 在△DEC与△BEC中 ∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD ∴△DEC≌△BEC（两边夹一角） ∴∠DEC=∠BEC

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．

证明：∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE

,.

∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA

∴△ABC≌△DEF（ASA）

35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．

C F E

证明： ∵BD⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC

∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS) ∴BE=CD

36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF．

A A

D E B D F C

,.

证明：

∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED与∠AFD=90° 在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD

∴△AED≌△AFD（AAS） ∴AE=AF

在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF

∴△AEO≌△AFO（SAS） ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF

37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？

A D

E B C 证明：∵AD⊥AB ∴∠BAC=∠ADE

又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE

∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）

,.

∴AD=AB=5

38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC

AEBMFC

证明： ∵AB=AC ∴∠B=∠C

∵ME⊥AB，MF⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME和△CMF中

∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME≌△CMF（AAS） ∴MB=MC．

39.如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC ⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA 求证：△DAB≌△CBA

证明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB

∴△DAB≌△CBA

39．在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，

求证： ①ADC≌CEB；BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

②DEADBE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

,.

（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB． ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE． 又∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE． ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE

40．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

F E A M B

C

（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC， 即∠EAC=∠BAF， 在△ABF和△AEC中，

∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC， ∴△ABF≌△AEC（SAS）， ∴EC=BF；

,.

（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC， ∴∠AEC=∠ABF， ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC⊥BF．

41．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

NA4FE1BM2C3

证明： （1）

∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN

（2）

∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN

42．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF

,.

证明：在△ABF和△CDE中 ,AB=DE ∠A=∠D AF=CD

∴△ABF≡△CDE（边角边） ∴FB=CE

在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF

∴四边形BCEF是平行四边形 ∴BC‖EF

43．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

证明：在AB上取点N ,使得AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE为公共,

∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC平行BD

∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE为公共边

,.

∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN

∴AB=AN+BN=AC+BD 44、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

证明：

∵AD是△ABC的中线 BD=CD

∵DF=DE（已知） ∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。

45、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF． 求证：AB∥CD． D

F E A

B C

证明：

∵DE⊥AC，BF⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90º 又∵AB=CD，BF=DE

∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL） ∴AF=CE

∠BAF=∠DCE ∴AB//CD

46、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

,.

AD.1324CB

证明：∵∠3=∠4 ∴OB=OC

在△AOB和△DOC中 ∠1=∠2 OB=OC

∠AOB=∠DOC △AOB≌△DOC

∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB和△DBC中 AC=DB ,∠3=∠4 BC=CB

△ACB≌△DBC ∴AB=CD

47、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.

C D

A B E

CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。 证明：

过D作AE平行线与AC交于F，连接FB

由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。 RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90° ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°

△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF

∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE

,.

48、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. A D

B E C

∵AB=DC,AC=DB，BC=BC ∴△ABC≌△DCB， ∴∠ABC=∠DCB 又∵BE=CE，AB=DC ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE

49．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

C F A 图9

作CG⊥AB,交AD于H, 则∠ACH=45º,∠BCH=45º

∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB ∴△CFD≌△BED ∴∠ADC=∠BDE

E D B