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提分专练(一) 一元二次方程根的判别式
(18年20题,17年21题,16年20题)
|类型1| 求证方程根的个数问题
1.[2018·顺义一模] 已知关于x的一元二次方程x2
-(m-1)x+2m-6=0. (1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根是负数,求m的取值范围.
2.[2018·燕山一模] 已知关于x的一元二次方程x2
-(2k+1)x+k2
+k=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)当方程有一个根为1时,求k的值.
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3.[2018·朝阳一模] 已知关于x的一元二次方程x2
+(k+1)x+k=0. (1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若该方程有一个根是正数,求k的取值范围.
4.[2018·怀柔一模] 已知关于x的方程x2
-6mx+9m2
-9=0. (1)求证:此方程有两个不相等的实数根.
(2)若此方程的两个根分别为x1, x2,其中x1>x2.若x1=2x2,求m的值.
|类型2| 确定参数的值或取值范围问题
5.[2018·丰台一模] 已知关于x的一元二次方程x2
-4x+2m=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;
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(2)如果m为非负整数,且该方程的根都是整数,求m的值.
6.[2018·大兴一模] 已知关于x的一元二次方程3x2
-6x+1-k=0有实数根,k为负整数.(1)求k的值;
(2)如果这个方程有两个整数根,求出它的根.
7.[2018·门头沟一模] 已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根. (1)求k的取值范围;
(2)若k为正整数,且方程有两个非零的整数根,求k的值.
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8.[2018·房山一模] 关于x的一元二次方程x2
-2mx+(m-1)2
=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;
(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.
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9.[2018·平谷一模] 关于x的一元二次方程x2
+2x+k-1=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围;
(2)当k为正整数时,求此时方程的根.
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参考答案
1.解:(1)证明:∵Δ=-4(2m-6)
=m2-2m+1-8m+24
=m2-10m+25
=≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)∵x==,
∴x1=m-3,x2=2.
由已知得m-3<0.
∴m<3.
2.解:(1)证明:因为Δ=b2
-4ac=-4×1×(k2+k)=1>0,
所以方程有两个不相等的实数根. (2)当x=1时,1-(2k+1)×1+k2
+k=0. 整理得k2
-k=0, 解得k1=0,k2=1,
3.解:(1)证明:依题意,得Δ=(k+1)2-4k=(k-1)2
.
∵(k-1)2≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)由求根公式,得x1=-1,x2=-k.
∵方程有一个根是正数, ∴-k>0.
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∴k<0.
4.解: (1)证明:∵Δ=(-6m)2
-4(9m2
-9)=36m2
-36m2
+36=36>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)x===3m±3.
∵3m+3>3m-3, ∴x1=3m+3,x2=3m-3, ∴3m+3=2(3m-3), ∴m=3.
5.解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0.
∴Δ=(-4)2-4×2m=16-8m>0. ∴m<2.
(2)∵m<2,且m为非负整数,∴m=0或1.
当m=0时,方程为x2
-4x=0,解得x1=0,x2=4,符合题意;
当m=1时,方程为x2-4x+2=0,它的根不是整数,不合题意,舍去.综上所述,m=0.
6.解:(1)根据题意,得Δ=(-6)2
-4×3(1-k)≥0. 解得k≥-2.
∵k为负整数,∴k=-1或-2.
(2)当k=-1时,不符合题意,舍去;
当k=-2时,符合题意,此时方程的根为x1=x2=1. 7.解:(1)由题意得,Δ=16-8(k-1)≥0.
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∴k≤3.
(2)∵k为正整数,
∴k=1或2或3.
当k=1时,方程2x2
+4x=0有一个根为零; 当k=2时,方程2x2+4x+1=0无整数根;
当k=3时,方程2x2+4x+2=0有两个非零的整数根. 综上所述,k=1和k=2不合题意,舍去;k=3符合题意. 8.解:(1)由题意得,Δ=(-2m)2
-4(m-1)2
=8m-4>0,
解得m>.
(2)答案不唯一,如:当m=1时,方程为x2
-2x=0, 解得,x1=0,x2=2.
9.解:(1)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=22-4=8-4k>0.∴k<2.
(2)∵k为正整数,∴k=1. 解方程x2
+2x=0,得x1=0,x2=-2.
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