正比例函数的图像与性质学案

正比例函数的图像与性质

 温故知新：

 正比例函数的定义：一般地，形如__________（k是常数，k______）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做____________。

 在下列函数中，哪些是正比例函数？并指出正比例系数分别是多少？

①y=x ②y=3x2 ③y=2x④y=2x-4 ⑤y

 画函数图象的步骤：

①________，列出自变量与函数的对应值表。

②________，建立直角坐标系，描出表格中数值对应的各点。

③________，按照横坐标从小到大的顺序把描出的点用平滑曲线依次连接起来。

 画出下列正比例函数的图象

（1）y=x （2）y=2x （3）y=-x（4）y=-2x

x y=x y=2x

函数图象都是一条________，经过第________象限函数图象都是一条________，经过第________象限， 函数图像从左到右__________（上升/下降）， 函数图像从左到右__________（上升/下降）， y随x的增大而__________。 y随x的增大而__________。

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1 ⑥y=-x ⑦y=-2x ⑧yx xx y=-x y=-2x ☆☆正比例函数的图像与性质学案☆☆

 因为正比例函数的图像是____________，而________确定一条直线，所以画正比例函数的图像时，只

需描______个点，一般选取点（0，____）和点（1，____）。

正比例函数y=kx(k是常数，k≠0) 的图象和性质 k的取值范围 y=kx(k是常数， k≠0)的图像 图像经过的象限 函数图像从左到右是（上升/下降） 函数图像从左到右是（上升/下降）性质（增减性） __________，y随x的增大而__________ __________，y随x的增大而__________ 图像必经过的点 倾斜程度与k的关系

例1 下列函数①y=4x ②y=-3x ③y 当k越大，直线的倾斜程度越______，当k越小，直线的倾斜程度越______。 11x ④yx ⑤y=-0.2x 23y随x的增大而增大的函数是_____________，y随x的增大而减小的函数是_____________。 图像经过第一、三象限的函数是_____________，图像经过第二、四象限的函数是_____________。

练习1（已知比例系数k，求象限、图像、趋势） （1）正比例函数y=2x的图象所过的象限是（ ）

A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 （2）下列图象中是y=-1.2x函数图象的是（ ）

（3）函数y=2x，y=-3x，y1x的共同特点是（ ） 2A.图象位于同样的象限 B.y随x的增大而减小 C.y随x的增大而增大 D.图象都过原点

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（4）函数y=-5x的图象在第________象限内，经过点（0， ）与点（1， ），y随x的增大而________。 （5）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A(2，m)，B(n，3)，那么一定有（ ）

A.m>0，n>0B.m>0，n<0C.m<0，n>0D.m<0，n<0

（6）如果函数y=-ax的图像经过一、三象限，那么y=ax的图像经过________象限。

（7）若正比例函数y=(m-1)x中，y随x的增大而减小，则正比例函数y=(1-m)x的图象经过________象限。 （8）若ab<0，则函数ybax的图像经过______象限。若ab>0，则函数yx的图像经过______象限。 ab（9）已知正比例函数y=kx(k≠0)，点(2，-3)在函数图象上，则y随x的增大而________（增大或减小）。

例2-1 函数y=(1-k)x中，如果y随着x增大而减小，那么常数k的取值范围是（ ）

A.k<1 B.k>1 C.k≤1 D.k≥1

例2-2 正比例函数y=(m-2)x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（ ）

A.m<2 B.m>2 C.m≤2 D.m≥2

例2-3 已知正比例函数y=(1+2m)x的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是__________，则函数y=mx的图像经过__________象限。

练习2（求比例系数k的取值范围）

（1）如果正比例函数y=(3m+6)x的图像经过二、四象限，则m的取值范围是__________。 （2）如果正比例函数y=(8-2a)x，y的值随x的值增大而增大，则a的取值范围是__________。

（3）已知正比例函数y= (2k-6)x的图像经过第一、三象限，则k的取值范围是__________，则函数y=-kx的图像经过__________象限。

（4）若正比例函数y=(k-3)x满足下列条件，求出k的取值范围。

①当y随x的增大而减小，k________。 ②当y随x的减小而减小，k________。 ③当图象经过一、三象限，k________。 ④图象如图所示，k________。

（5）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx，则a、b、c、d的大小关系是（ ） A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c

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（6）若正比例函数图像又y=kx的图像经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x10 B.k<0 C.k=0 D.无法确定

（7）若正比例函数图像又y=(3k-6)x的图像经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），当x1y2，则k的取值范围是（ ） A.k>2 B.k<2 C.k=2 D.无法确定

（8）正比例函数y=(3m-1)x的图像经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），且该图像经过第二、四象限. ①求m的取值范围

②当x1>x2时，比较y1与y2的大小

（9）已知正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)，当-1≤x≤1时，对应的y的取值范围是-3≤y≤3，且y随x的增大而增大，则k的值为________。

（10）已知正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)，当-3≤x≤1时，对应的y的取值范围是-2≤y≤6，且y随x的增大而减小，则k的值为________。

例3 已知正比例函数y(m1)xm，它的图像经过__________象限。

练习3（根据约束条件，求未知数的值） （1）已知正比例函数y(m2)x22m21，那么它的图像经过__________象限。

（2）正比例函数ymxm它的图像除原点外在一、三象限内，则m的值为__________。 （3）如果y(m1)xm22是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为__________。

m2（4）已知正比例函数函数y(m1)x，且y随x的增大而增大，则m的值为__________。

（5）已知直线y=(a-2)x+a2-9经过原点，且y随x的增大而增大，则a的值为__________，y与x的关系式为__________。

例4-1 如右图，正比例函数图象经过点A，该函数解析式是____________。

例4-2 在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移1个单位，恰好在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的解析式是____________。

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例4-3 在水管放水的过程中，放水的时间x（分）与流出的水量y（立方米）是两个变量，已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程持续10分钟 （1）写出y与x之间的函数解析式 （2）写出函数的自变量取值范围 （3）画出函数的图像

练习4（实际问题）

1.点燃蜡烛，蜡烛长度按照与时间成正比变短，长为21厘米的蜡烛，已知点燃6分钟后，蜡烛变短3.6厘米，设蜡烛点燃x分钟后变短y厘米，求： （1）用x表示函y数的解析式 （2）写出自变量x的取值范围 （3）画出函数的图像

2.如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答： （1）谁走得快？

（2）求甲、乙两个函数解析式，并写出自变量的取值范围？ （3）当t=4时，甲、乙两人行程相差多少？

例5 已知正比例函数y=2x，若y<10，则x的取值范围为_________，若x<10，则y的取值范围为_________。

练习5（取值范围） （1）已知正比例函数y1x，若y<10，则x的取值范围为_________，若x<10，则y的取值范围为_________。 2（2）已知正比例函数y=-3x，若y<6，则x的取值范围为_________，若x<6，则y的取值范围为_________。

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（3）已知正比例函数y=2x，若0（5）已知正比例函数y=-3x，若0练习6（综合类）

1.已知正比例函数图像经过点（2，-6） （1）求出此函数解析式

（2）若点M（m，2）、N（3，n）在该函数图像上，求m、n的值 （3）点E（-1，4）在这个图像上吗？试说明理由 （4）若-2≤x≤5，求y的取值范围

（5）若点A在这个函数图像上，AB⊥y轴，垂足B的坐标是（0，-12），求△ABO的面积

2.正比例函数y=2x的图象如图所示，点a的坐标为（2，0），y=2x的函数图象上是否存在一点P，使△OAP的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由。

1x，若0