[数学]数学自主招生试题

一、填空题：

1.A=xRlog2(x2x1)0,B=xR2x21x1,ABC(BC表示B在R上的补集)=_____________.

112.数x满足x1,求x300300_____________.

xx3.求53sin5cos的圆心坐标,[0,2).__________________.

4.抛物线y2x22axa2与直线y=x+1交于A和B两点,AB最大时,a=_______. 5.limnn2n1n2n1______________.

n(n1)__________. 27.一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为_________.

6.求1+3+6+8.求31000在十进制中最后4位_____________.

x20029.定义在R上的函数f(x)(x1)满足f(x)2f4015x,则

x1f(2004)=______.

1sinx的最大值是_____________.

2cosx二、解答题

10求 y=

x2y21.在四分之一个椭圆221(x>0,y>0)上取一点P，使过点P椭圆的切线与

ab坐标轴所围成的三角形的面积最小. 2.在ABC中，tanA:tanB:tanC=1:2:3,求

AC. AB3.在正方体ABCD_A1B1C1D1中，E、F、G点分别为AD、AA1、A1B1中点,求： （1）B到面EFG距离； (2)二面角GEFD1平面角. 4.在实数范围内求方程 410x47x3的实数根.

5.已知sincosa0a2,求sinncosn关于a的表达式.

 1

6.直线l与双曲线xy=1交于P和Q两点，直线l与x轴交于A,与y轴交于B， 求证:APBQ.

4x12n17.定义在R上的函数f(x)x,Snfffn=2,3,…

42nnn(1)求Sn; (2)是否存在常数M>0,n2,有

111M. S2S3Sn1

2005年上海交通大学保送、推优生试题

一、填空题（每小题5分，共50分） 1. 方程x2px144的两个根满足则p . x,x0xx22，121222p41,x0,，则x . 1282n12. sin8xcos8x13. 已知nZ，有1n1120042004，则n .

4. 将3个12cm12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，如图，将这6部分接于一个边长为62的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为 . 5. 已知2333x3y,x,yR,则x，y .

n16. 2242628212n2 . 7. 若z31，且zC，则z32z22z20 .

8. 一只蚂蚁沿123立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为 . 9. 4封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为 ，恰好只有一封装错的概率为 . 10. 已知等差数列an中，a3a7a11a1944，a5a9a16 . 二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分）

2

1. x3ax2bxc0的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数， 求a,b,c的值.

2. 是否存在三边为连续自然数的三角形，使得(1)最大角是最小角的两倍,(2)最大角是最小角的三倍, 若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由.

ax28xb3. y的最大值为9，最小值为1，求实数a,b. 2x14. 已知月利率为r，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于r的函数关系式（假设贷款时间为2年）.

5. 对于数列an：1,3,3,3,5,5,5,5,5,……，即正奇数k有k个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n都有anr[ns]t恒成立，(x表示不超过x的最大整数).

2006年复旦大学推优保送生考试数学试题

1．（本题20分）求和： ⑴ 7777777777 n个7⑵ 200520052005200520052005200520052005

n个20052.（本题15分）试构造函数f(x),g(x),其定域为(0,1)，值域为0,1 ⑴ 对于任意a0,1,f(x)a，只有一解； ⑵ 对于任意a0,1,g(x)a，有无穷多个解

3.（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数

14.（本题15分）对于任意nN,x1,x2,xn均为非负实数，且x1x2xn，

21试用数学归纳法证明：(1x1)(1x2)(1xn)成立

20Cn1Cn2CnnC2nn 5.（本题20分）求证：Cn2222x2axb6.（本题20分）a,b满足何条件，可使21恒成立

x2x27.（本题20分）下列各式能否在实属范围内分解因式？若能，请作出分解；若

3

不能，请说明理由

⑴x1 ⑵x2x1 ⑶x3x2x1 ⑷x4x3x2x1 8.（本题20分）解三角方程：asin(x4)sin2x9,a为一实常数

x2y21,曲线C关于直线y2x对称的曲线为曲9.（本题20分）已知曲线C:4线C',曲线C'与曲线C''关于直线y1x5对称，求曲线C'，C''的方程 210.（本题20分）已知抛物线yax2,直线l1,l2都过点(1,2)且互相垂直，若抛物线与直线l1,l2中至少一条相交，求a的取值范围

11. （本题15分）f(x)在1,上单调递增，且对任意x,y1,，都有

f(xy)f(x)f(y)成立，证明：存在常数k，使f(x)kx在x1,上成立

2006年上海交通大学推优、保送生考试试题

一、填空题

1. 矩形ABCD中，ADa,ABb，过A、C作相距为h的平行线AE,CF，则

FDAAF=

BE C

第1题图

2. 一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是 3. 2005！的末尾有连续 个零。 4. x2x210展开式中，x3项的系数为 5. 在地面距离塔基分别为100m，200m，300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为,,，且90，则塔高为 6. 三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为 ,在一次游戏中,甲获胜的概率为 .

7. 函数ylog3x2axa在,13上单调递增，则实数a的取值范围是

 4

8. 是x51的非实数根，121 9. 2张100元，3张50元，4张10元人民币，共课组成 种不同的面值。 10. 已知ak一、

k2，则数列an的前100项和为

k!k1!k2!解答题

11. a,b,cR，abc0,bc，abcx2b(ca)xcab0有两个相等根，

111求证：,,成等差数列。

abcx212. 椭圆2y21a1，一顶点A0,1，是否存在这样的以A为直角顶点的内

a接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由。 13. 已知z1，k是实数，z是复数，求z2kz1的最大值。

14. 若函数形式为fx,yaxbycxdy，其中ax,cx为关于x的多项式，则称fx,y为P类函数，判断下列函数是否是P类by,dy为关于y的多项式，函数，并说明理由。

（1）1xy （2）1xyx2y2 15. 设k9，解方程x32kx2k2x9k270

2007年上海交通大学冬令营选拔测试试题

1.填空题（每小题5分，共50分）

_ 1. 设函数f(x)满足2f(3x)f(23x)6x1,则f(x)__________2. 设a,b均为实数，且3a6b4，则

11_______________ ab3. 设a0且a1,则方程ax1x22x2a的解的个数为_________ 4. 设扇形的周长为6，则其面积的最大值为_________ 5. 11!22!33!nn!_________

5

6. 设不等式x(x1)y(1y)与x2y2k的解集分别为M和N，若MN，则k的最小值为_________ 7. 设函数f(x)xx，则S12f(x)3f2(x)nfn1(x)_________

25________，则a_

29. 6名考生坐在两侧歌友通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打

8. 设a0，且函数f(x)(acosx)(asinx)的最大值为

扰其他余尚在考试的考生的概率为__________ 10. 已知函数f1(x)2x1,对于n1,2,,，定义fn1(x)f1(fn(x))，若x1 f35(x)f5(x)，则f28(x)__________2.计算与证明题（每小题10分，共50分）

11. 工件内圆弧半径测量问题。

为测量一工件的内圆弧半径R,工人用三个半径为r的圆柱形量棒O1,O2,O3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h,试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r10mm,h4mm时，R的值。

12. 设函数f(x)sinxcosx，试讨论f(x)的性态（有界性，奇偶性，单调性和周期性），求其极值，并作出其在0,2内的图像。

13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线xy2上，试求

AB的中M点到y轴的最短距离M和点此的时坐 标14. 设f(x)(1a)x4x3(3a2)x24a0，试证明对任意实数a： 1.方程f(x)0总有相同实根 2.存在x0,恒有f(x0)0

15.已知等差数列an的差项a，公差为b，等比数列bn的差项为b，公比为a，

n1,2,,其中a,b均为正整数,a1b1a2b2a3

6

⑴求a的值

⑵若anbn存在关系式am1bn，试求b ⑶对于满足⑵中关系式的am,试求a1a2am

2008年复旦大学自主招生试题

1107．在（x2-）10的展开式中系数最大的项是_________.

x A．第4、6项 B．第5、6项 C．第5、7项 D．第6、7项 108．设函数y=ƒ (x)对一切实数x均满足ƒ（5+x）=ƒ(5-x)，且方程ƒ（x）=0恰 好有6个不同的实根，则这6个实根的和为______.

A．10 B．12 C．18 D．30

109．若非空集合X=｛x｜a+1≤x≤3a-5｝，Y=｛x｜1≤x≤16｝，则使得XX∪Y 成立的所有a的集合是_______. A．｛a｜0≤a≤7｝ B．｛a｜3≤a≤7｝ C．｛a｜a≤7｝ D．空集 110．设z为复数，E=｛z｜(z-1)2=|z-1|2｝，则下列_____是正确的. A．E={纯虚数} B．E={实数}

C．{实数}E{复数} D．E={复数}

(y1)2111．把圆x+(y-1)=1与椭圆x+=1的公共点，用线段连接起来所得到的

92

2

2

图形为_______.

A．线段 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．四边形 112．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小是______.

A．60° B．75° C．90° D．105° 113．某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示： 体积 重量 利润 货物 每箱（米3） 每箱（吨） 每箱（百元） 甲 20 10 8 乙 10 20 10 托运限制 110 100 在最合理的安排下，获得的最大利润是_________百元. A．58 B．60 C．62 D．64 114．若向量a+3b垂直于向量7a-5b，并且向量a-4b垂直于向量7a-2b，则向

7

量a与b的夹角为_______.

； B．； C．； D．. 2346115．复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中 一班有三位，二班有两位，其它班有五位。若采用抽签的方式确定他们的演讲顺 序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连。问二班的两位同学的演讲序号不相连 的概率是______.

1111 A． B． C． D．

204060902

116．已知sin，cos是关于x的方程x-αx+α=0的两个根，这里α∈R.则 A．

sin3+cos3=____.

A．-1-2； B．1+2； C．-2+2 D．2-2 117．设z1，z2为一对共轭复数，如果|z1-z2|=6且z1为实数，那么|z1|=|z2|=______. 2z2 A．2 B．2 C．3 D．6 118．若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是V(x)，则函数V(x)在 其定义域上为______.

A．增函数但无最大值 B．增函数且有最大值

C．不是增函数且无最大值 D．不是增函数但有最大值 119．下列正确的不等式是______. A．16<k112012011<17； B．18<<19； kkk112011<21； D．22<<23. kkk1C．20<k1120120．设{αn}是正数列，其前n项和为Sn，满足：对一切n∈Z+，αn和2的等差

中项等于Sn和2的等比中项，则limn=_______.

xn A．0 B．4 C．12 D．100 121．已知x1，x2是方程x2-(α-2)x+(α2+3α+5)=0（α为实数）的两个实根，则x12+x22 的最大值为_______.

A．18 B．19 C．20 D．不存在

122．条件甲：1sin=α。条件乙：sin+cos=α。则下列________是正确

22的.

A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的必要条件

C．甲是乙的充分条件 D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件

8

123．已知函数ƒ(x)的定义域为（0，1），则函数g(x)= ƒ(x+c)+ƒ(x-c)在0A．(-c,1+c); B．(1-c,c); C．(1+c,-c); D．(c,1-c); 124．函数y=2x+12x的最值为______.

1 2555，ymax=； B．无最小值，ymax=； 4445 C．ymin=，无最大值 D．既无最小值也无最大值

4125．等差数列{αn}中，α5<0，α6>0且α6>|α5|，Sn是前n项之和，则下列______是正确的.

A．S1，S2，S3均小于0，而S4，S5，…均大于0

B．S1，S2，…，S5均小于0，而S6，S7，…均大于0 C．S1，S2，…，S9均小于0，而S10，S11，…均大于0 D．S1，S2，…，S10均小于0，而S11，S12，…均大于0

A．ymin=126．已知角θ的顶点在原点，始边为x轴正半轴，而终边经过点Q（3，y）， （y≠0），则角θ的终边所在的象限为______.

A．第一象限或第二象限 B．第二象限或第三象限

C．第三象限或第四象限 D．第四象限或第一象限 127．在平面直角坐标系中，三角形△ABC的顶点坐标分别为 A(3,4),B(6,0),C(-5,-2),则∠A的平分线所在直线的方程为_______.

A．7x-y-17=0; B．2x+y+3=0; C．5x+y-6=0; D．x-6y=0. 128．对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程1表示的不同 n1Cmcos双曲线条数为_______.

A．6 B．9 C．12 D．15

129．设有三个函数，第一个是y=ƒ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个 函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，则第三个函数是_______.

A．y=-ƒ(x)； B．y=-ƒ(-x)； C．y=-ƒ-1(x)； D．y=-ƒ-1(-x)；

130．设ƒ(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当x ∈[2，3]时，ƒ(x)=x，则当x∈[-2,0]时，ƒ(x)的解析式为______.

A．x+4; B．2-x; C．3-|x+1|; D．2+|x+1|. 131．已知α,b为实数，满足（α+b）59=-1,( α-b)60=1,则α59+α60+b59+b60=_______. A．-2 B．-1 C．0 D．1 132．设αn是（2-x）n的展开式中x项的系数（n=2,3,4,…），则极限

22232nlim(…)=_________. x3n2A．15 B．6 C．17 D．8

9

），且x1≠x2，不等式 2xxxx11 (1)（tanx1+tanx2）>tan12; (2) （tanx1+tanx2）2222xxxx11 (3)（sinx1+sinx2）>sin12; (4) （sinx1+sinx2）>sin12

2222 A．(1),(3) B．(1),(4) C．(2),(3) D．(2),(4) 133．设x1,x2∈（0，

x2x1x3134．方程ƒ(x)=2x22x12x3=0的实根的个数为________.

3x33x23x5 A．1个 B．2个 C．3个 D．无实根 135．如图所示，半径为r的四分之一的圆ABC上， 分别以AB和AC为直径作两个半圆，分别标有α的 阴影部分面积和标有b的阴影部分面积，则这两部分 面积α和b有_______.

A．α>b B．α第135题图

136．设a,b是不共线的两个向量。已知PQ=2a+kb，QR=a+b，RS=2a-3b.

若P，Q，S三点共线，则k的值为_______. A．-1； B．-3； C．

43； D．； 352008年上海交通大学冬令营数学试题(2008.1.1)

一、填空题

2x1,gxf1.若fxx2113x，则g 52.函数yx1的最大值为 x283.等差数列中，5a93a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为 4.复数|z|1，若存在负数a使得z22aza2a0，则a 5.若cosxsinx1，则cos3xsin3x 26.数列an的通向公式为an

1nn1n1n10

，则这个数列的前99项之和

S99 __________ 7.1x1x1x1x中x3的系数为

298991358.数列an中，a00,a1,a26,a3,a420,a5,a642,

24677a7,a872，此数列的通向公式为an 89.甲，乙两厂生产同一种商品，甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%，甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%，若某人购买了

此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为

10.若曲线C1:x2y20与C2:xay21的图象有3个交点，则a

2二． 解答题

1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a，把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b, (1)a是否有可能比b高？ (2)a和b是否可能相等？

2. 已知函数fxax2bxca0且fxx没有实数根，那么ffxx是否有实数根？证明你的结论.

3. 世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛，规定每场比赛赢者得三分，平局各得一分，败者不得分，比赛结束后前两名可以晋级.

(1)由于4支队伍均为强队，每支队伍至少可以得3分，于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线. 问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？

(2)若不考虑(1)中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？

4. 通信工程中常用n元数组a1,a2,a3,,an表示信息，其中设ua1,a2,a3,,an,vb1,b2,b3,,bn，du,v表ai0或1,iN*,nN*。

示u和v中相对应的元素不同的个数.

(1)u(0,0,0,0,0),问存在多少个5元数组v使得du,v1? (2)u(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v使得du,v3?

0,0,00，ua1,a2,a3,,an,vb1,b2,b3,,bn (3)令wn个0求证：du,wdv,wdu,v.

5. 曲线y22pxp0与圆x2y23交于A、B两点，若线段AB的中点

2 11

在yx上，求p.

2008年上海财经大学自主招生试题

一、填空题 1. 已知tan43,且,，则cos________. 3222. 已知集合A{x|x22x150,xR},B{x|a1x4a1,xR}，

B，AB,则实数a的取值范围是________.

3. 函数ycosx,x[,0]的反函数是___________.

1114. 设数列{an}的前n项和Sn2n1，则limaaaa...aa的值为

n1223nn1________.

5. 设向量OA3,1，点B的坐标为1,2，若非零向量OC垂直于OB，且BC 平行于OA，则向量OC的模为__________.

6. 设函数f定义如右表，若u04，且对整数n0 均有un1fun，则u2008__________.

x 1 2 1 3 3 4 5 5 2 fx 4 7. 已知：(12x)(12x)2...(12x)10a0a1(1x)...a10(1x)10，则 a0a1a2...a10等于____________.(结果用数值表示)

12

x28. 已知P是椭圆y21上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若PF1PF20，那4么PF1F2的面积等于__________.

9. 定义在R上的函数yfx，它具有下述性质：

(1)对任何xR，都有fx3fx；(2)对任何x1,x2R,x1x2，都有

3fx1fx2，则f0f1f1的值为___________.

10. 不等式x(x1)y1y的任意一组解都能使x2y2k成立，则k的最小值 是__________.

11. 设某人对机器狗发出一次指令，使机器狗沿着直线方向要么“前进一步”，要 么“后退一步”，允许重复过任何一点，则此人发出6次指令后，机器狗实际上是前进了两步的概率为____________.(结果用分数表示)

12. 函数yax22(a3)xa2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零 点的所有a的值之和为_____________. 二、选择题

13. 函数fx1|12x|,x[0,1]，函数gxx22x1,x[0,1]，定义函数

Fx{fx(fxgx) ，那么方程Fx2x1的实根的个数是 （ ） gx(fxgx) （A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个

14. 对一个棱长为1的正方体木块ABCDA1B1C1D1,在过顶点A1的三条棱上分别取点E,F,G，使A1EA1FA1G。削掉四面体A1EFG后，以截面EFG为底面，在立方体中打一个三棱柱的洞，使棱柱的侧棱均平行于体对角线A1C。当洞打穿后，顶点C处被削掉，出口是一个空间多边形，则这个多边形是（ ） （A） 二角形 （B） 四边形 （C） 六边形 （D） 八边形 15. 数列{an}满足a13,a24及递推关系an2an1an1，那么此数列的项an1数最多有（ ）

（A） 50项 (B) 51项 （C） 49项 （D） 48项 三、解答题

16. 某房产开发公司用80万元购得建房基地一块，计划建造一栋每层1000平方米的楼房，第一层每平方米所需建筑费用（不包括土地购置费用）为500元，第二层每平方米所需建筑费用为600元，… , 以后每升高一层，每平方米所需建筑

13

费用增加100元。要使这栋大楼的每平方米平均造价不超过950元，则这栋楼最多能造几层？

17. 如图，四面体ABCD中，O,E分别 是BD,BC的中点，AO垂直于平面BCD， 且CACBCD2，AB2，求异面 直线AB与ED所成角的大小.

18. 对于定义在区间D上的函数fx和gx，如果对于任意xD，都有

|fxgx|1成立，那么称函数fx在区间D上可被函数gx替代. (1)fxx,gx1113，试判断在区间[,]上fx能否被gx替代？ 4x42(2)fxlgax2x,xD1,gxsinx,xD2，问是否存在常数a，使得fx在

D1D2上能被gx替代？若存在，则求出a的取值范围;若不存在，请说明理由. 19. 在1和9两数之间插上2n1个正数a1,a2,a3,a4...,a2n1，使这2n1个正数成等比数列，又在1和9之间插入2n1个正数b1,b2,b3,....,b2n1，使这2n1个正数成等差数列，设 Ana1a2a3a2n1及Bnb1b2b3...b2n1 (1)求数列{An}及{Bn}的通项;

(2)若f(n)9An4Bn17(nN)，试求出最大的自然数p,使得fn均能被p整除.

20. 设ABC的三边a,b,c上的高分别为ha,hb,hc，满足3(1)若ABC的面积为S,试证S(2)用b,c表示sin(A1(3a2b26c2)； 12abc66。 hahbhc4(3)根据上述解题过程所得到的ABC结论，请你设计一个此三角形的有关及结论，并解答你所给的结论.

21. 类似于在平面上建立直角坐标系，如图，我们在平面上建立一个斜角坐标系，

)，并求A的大小；

使得y轴与x轴的夹角为60.设P为平面上任意一点，过P分别作y轴与x 轴的平行线，分别交x轴、y轴于P1,P2点，则P1,P2点分别在x轴、y轴上的坐标x,y

14

称为点P在斜角坐标系xOy中的坐标，记为x,y. 在坐标平面内，方向与x轴和y轴正方向相同的 两个单位向量分别记为i和j.

(1)若Ax1,y1及Bx2,y2，用x1,y1,x2,y2表示

A、B两点的距离|AB|；

(2)设M2,3，O为坐标原点，求过点M且与OM垂直的直线l的方程； (3)设抛物线C是以原点O为焦点，且以直线y1为准线，试确定直线xy10与抛物线C的交点个数.

2009年复旦大学自主招生试题（部分）

1．△ABC中，AB：BC：CA=2：3：4，A（0，0），B（a，b），求点C的坐标． 2．xyzyz12，求log4xlog2ylog2z的最大值．

13．有两个细胞，每个细胞每次分裂成2个细胞或死亡的概率均为，求分裂两

2次后有细胞存活的概率．

4．将n+1个不同颜色的球放入n个盒子中，每盒至少放一个球，求放法数．

a5．求极坐标的图象．

1cos6．正三棱柱ABC-A1B1C1，AB= AA1=1，在AB上有一点P，PB1C1，PA1C1与底面所成角为,，求tan()的最小值．

7．正多边形中，能完整覆盖平面的有几个？

8．X0,1,2,,9,n0X，定义n1(n0n0)(mod10),nx(nx1n0)(mod10)，求n0的集合，可使nx取到X中的所有元素． 9．向量a1(a,b,c),a2(d,e,f),3a(g,h，,i)存在不全为0的k1,k2,k3，使

xk1a0，则称有线性关系，下列哪一组向量有线性关系？ 1k2a2k3a310．a00,a11,bnanan1,bn是公比为2的等比数列，则an}的前n项和Sn，

Sn． nanaxby1,11．无解的充要条件是．

x2yab求lim 15

1x在(1,)上递增，问在(,1)和(1,1)上的单调性． 1x13．下列哪种情况绳不会打结．

12．f(x)loga14．f(x)logatax2bxc定义域是什么？

ax2bx115．函数f(x)log2log122在(,)上都有定义，求a，b的取值范围．

11sincos,sinsin,3cos)， 3316．a(sincos,sinsin,cos),b(ab,0x122，求a,b夹角的最大值．

17．y2的图象关于x＝1对称的图象为C1，为C1关于y=x对称的图象为C2，求C2对应的函数表达式．

x18．a3sinx2cos21在[0,2]有两根，求a的取值范围．

219．半径为R的球中装了4个半径为r的球，求r的最大值．

120．zr,r1，求z在复平面内的轨迹（ ）

zA．焦距为4的椭圆 B．焦距为4的椭圆

rrC．焦距为的椭圆 D．焦距为的椭圆

42bcacab21．,,为等差数列，以下不等式正确的是（ ）

abcacA．bac B．b2ac C． D．b

222．Axxab2,a,bQ，以下和A相等的集合是（ ）

1x2xA A．2xxA B．2xxA C．xA D．

x23．xy0,0ab1，则以下恒成立的是（ ）

A．xayb B．xayb C．axby D．axby 24．1，2，…，9的排列中，1，2不在原位置的概率是 ． 25．2n1能被7整除，则n＝ ．

26．菱形的边长与其内切圆直径之比为k：1，求菱形锐角的大小．

ax2bxb27．y的最大，最小值为6，4，求a,b．

x2228．一圆锥母线与底面半径之比为k，OAB为过轴的截面，O为顶点，P为OA中点，求PB沿圆锥面的最短距离．

29．四面体一对对棱长为6，其余棱长为5，求其内切球半径．

16

2005年复旦大学自主招生试题答案

一．填空题： 1．,12,.

A=xx1或x2,B=xx1,BCx1,ABC,12,. 2. 2

3n13由已知得：x2x10,xi,即x或，3n1,原式

22=1+1=2.

23. (5,);

310cos(4. 1 222),圆心的极坐标为(5,). 33设A(x1,y1),B(x2,y2),

y2x22axa2解方程组得：2x2(2a1)xa210则

yx1(2a1)28(a21)04a24a90110110a. 222a1a212x1x2,x1x2,AB2(x1x2)22x1x24x1x2=

222191522aa2a，a=时AB最大.

24225. 1

n2n1n2n12n2nn1nn122212n1111212nnnn, 17

limnn2n1n2n121. 116.

1n(n1)(n2); 6原式=

12111122n212nn(n1)(2n1)n(n1) 22621 =n(n1)(n2).

68 7.; 1913C3C178 P(A)=. 419C20 8.0001;

12496497310009500(101)50010500C50010499C50010498C500104C500103

498499+C500102C500101=()104-499835105+12475000-5000+1.

最后四位是0001. 9.2005;

令x=2:则f(2)+2f(2004)=4013 ① 令x=2004:f(2004)+2f(2)=2011 ② 由①②：得f(2004)=2005. 410.. 3解法一：由已知得：2y+ycosx=1+sinx,sinx-ycosx=2y-1,

1ysin(x)2y1,sin(x)22y11y2,2y11y21,

3y24y0,0y解法二：y44,y大. 33sinx(1)表示点P(cosx,sinx)与点A(-2,-1)连线的斜率，P点在

cosx(2)44，y大. 33单位圆上,可求得过A点切线斜率k=0或二.解答题：

1.解:设P(x0,y0)(x00,y00),则过P点的切线方程为

x0xy0y21, a2bb2a2a2b2令x=0,y=; 令y=0,x=.即切线与x轴、y轴分别交于A(,0)、B(0, )

y0x0x0y0

18

x0acosa2b2aba2b2S=, 令. ,(0,),则S=

2absincossin22x0y02y0bsin2a2b当Sin21时即45时S最小.此时P2,2.

02..设tanA=k, tanB=2k, tanC=3k.

tanAtanB3ktan(AB),tanC3k,

1tanAtanB12k2显然k0,k1.tanA=1,tanB=2,tanC=3,由此可得sinBACbsinB22=. ABcsinC325,sinC310.

3.解：(1)易得平面EFG过正方体棱B1C1、CC1、CD的中点H、M、N。 可证BD1平面EFG,设正方体棱长为a,BBD1与MF交于O,并在这点所平分，到

平

面

EFG

的

距

离

为

3a.2(2)取EF中点

R,D1REF,由（1）得OREF,D1RO是二面角GEFD1平面角

,D1R32a3a6,D1O,sin,tan2. 423arctan2.

4.设410xa,47xb则

ab3a4(3a)417,a46a327a254a320. 44ab17,a1a2(a-1)(a-2)(a23a16)=0或x9或x6

b2b1检验知x=-9或x=6.

a21a212,sin,cos是方程xax5.由sincosa得sincos=0

22a2a2a2ann的两根，x,sincos222a2a22n. n 19

6.可设直线l的方程为y=kx+b(k0)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0)

xy1b1b解方程组:kx2bx10，x1x2,x1x2.x0,

kk2kykxbbbbbby0.M(,),又可得AB中点N(,),即M、N重合，APBQ.

22k22k217.(1)易得f(x)f(1x)1,Snfn2fnn1f， nn1n1n21. Snfff.2Snn1,Sn2nnn(2)(lnx)'即

1ln(n1)lnn,作出ylnx的图象可知：k(lnx)'xn1nxn1 n1ln(n1)lnn n111左边=21

n23>2[ln2ln1ln3ln2ln(n1)lnn] =2ln(n1).

不存在常数M>0,使

111M. S2S3Sn1第12题图 2005年上海交通大学保送、推优生试题答案

一、填空 1． p812

112222,xx(xx)2xxp 121212222pp,12114)2p222 244p4p2p分析：x1x2p,x1x24222x14x2(x12x2)2x12x2(p2

20

44又x14x222，x14x222，此时

p411 ,p482p22. 30或60

分析：由sin8xcos8x41,x0, 1282得sinx1313 ,cosx或cosx,sinx2222而x0,，x30或x60

23. n2005 4. 864

分析：拼接后的多面体为三条侧棱两两垂直且侧棱长为18的三棱锥，在三个顶点截去全等的三侧棱两两垂直且棱长为6的三棱锥得到的多面体。

11V183633864

63315. , 22分析：233

xy3x3y3(xy)

2333233162 222 x6231,y,x,y 22226. n为偶数时，2nn1 ;n为奇数时，2nn1 分析：n为偶数时，

224262821n12n2

412223242n1n2

2437112n12nn1

n为奇数时，

224262821n12n2

2n14n22nn1

21

25；z1时，19 7. z1时， 分析：z31，z1或z2z10

当z1时，z32z22z201222025 当z2z10时，z32z22z20z322019 8. 32

23,0 2410. 33

9.

分析：a3a7a11a194a136d4a1044，a1011

a5a9a163a1033 二、解答题 1.由

xaxbxcx3abcx2abbccaxabcx3ax2bxc

1abca2ac0aabbccab，当c0由ab1可得 abccac1c1ac消c得 2a42a2a10

a1或2a32a210

设2a32a210一根为a32q,p,q1 pqqp3p3则2p2p1，2p2qq2由2p2q为整数，q2为分数，

知aq,p,q1不存在. pa1,b1,c1

2ab0当c0时，，由a,b不全为零，得a1,b2

abb

22

a1,b1,c1或a1,b2,c0

2.(1)设最大角为，最小角为，三边长为n,n1,n2

则

n2n2nn2n，即，cos 2nsinsin2sincossin22n1n2n2又cos2n1n2n1n5n5 2n1n22n1 n2n5，解得n4，故所求三角形三边长为4，5，6 2n2n2(2)

n2nn2n, 3sin3sin3sin4sinsinn2n1,cos2 n2n234sin2n5n1 n52cos,2n24n222nn39n80,n1n2n80 n1,n2n80，由n2n80得n133（舍） 4当n1时，1，2，3不能构成三角形，所以不存在三角形。

ax28xb3.由y得yax28xyb0 2x1 644yayb0,即y2abyab160

ab10由题意得，解得a5,b5.

ab1692322

244.由题意：m1rm1rm1rm100001r，

241r11r24 m100001r1 m101000rr241r241

5.猜想an2[n1]1，即存在整数r2,s1,t1满足题意.

23

原数列从第m21项到第(m1)2项的值均为2m1，由于当m21n(m1)22[m211]12[n1]12[(m1)21]1，时，所以2[n1]12m1.

2006年复旦大学推优保送生考试试题答案

1.⑴7777n个77(10n1) 9 7777777777 n个771777(101)(1021)(1031)(10n1) 99997 (1010210310nn)

9 710(10n1)n) (9101

70(10n1)7n

819n个2005 ⑵ 200520052005200520052005200520052005

2005(20052005104)(200520051042005108)(2005200510420051082005104(n1))

20051(1104)(1104108)(1104108104(n1)

10411042110431104n1 20054 444101101101101 2005(10410421043104n)n 41012005104(104n1) 4n 4101101

h(x)，xQ(0,1)((0,1)中的有理数)2.(1)构造f(x) ，CxQ(0,1)((0,1)中的无理数)x,下面构造满足条件的h(x).

24

①将(0,1)中的有理数

q(qp,既约真分数)排序：先按分母排序，同分母按分子p11213排序，则排序唯一（可数）,,,,,

2334411213②再[0,1]中的有理数排序：0，1在排序之前即0，1，,,,,,

233441111③h(x)将，中排序的数字一一对应即：h()0,h()1,h(),

2342显然对任意a[0,1],f(x)a只有一解.

法二 f(x)a只有一个解函数yf(x)与函数ya的图象只有一个公共点.上述问题就转化为构造一个函数,当定义域为(0,1),值域为[0,1]时,不同的x值对应不同的y值,也即构成x和y之间的一一对应关系.

我们可以思考一个函数来做一个拟合:比如f(x)x,x(0,1).此时值域也为(0,1),不满足,可先挖去点

x111111(,),(,),(,),.且使2233nn11y0,xy1, 23111111接着xy,xy,,xy,.也就是

14253n2x10,x;211,x;311f(x),x,n4,5,6,;1x2 xx,x(0,1)且x1,n2,3,.n上述函数正好满足构成x和y之间的一一对应关系. (2)构造g(x)sin

3.不考虑四位数各数字情况的四位数共有91010109000个

133若四位数的各位数字均不同则有C9C9A34536个

1,x(0,1)即可. x 25

若四位数有三个数字不同时

112 当相同一数字有一个在千位上时有C9C3A91944个

1111 当相同一数字不在千位上时有C9C3C9C81944个

满足条件的四位数有9000-4536-1944-1944=576个

114.证明：①当n1时，x1,1x1,命题成立

22 ②设nk时，命题成立

11 即x1x2xk时，(1x1)(1x2)(1xk)成立

22 当nk1时

1 x1x2(xkxk1)

21 则(1x1)(1x2)(1xk-1)1(xkxk1)

2(1xk)(1xk1)1xkxk1xkxk11xkxk1

(1x1)(1x2)(1xk)(1xk1)(1x1)(1x2)(1xk)1(xkxk1)当nk1时，命题成立

综①②所知，nN时，命题成立 5.(1x)n(1x)n(1x)2n

n(1x)2n的展开式中xn的系数为C2n

1 2而(1x)n(1x)n中xn的系数为

0n1n12n2n00212n2CnCnCnCnCnCnCnCn(Cn)(Cn)(Cn)

命题得证 6.

x2axb1恒成立2x2x2x2axbx22x2恒成立

x22x2x2axbx22x2恒成立 2x2(a2)x2b0恒成立 (a2)xb20(a2)242(2b)0 a2且b20a2且0b2

26

7.⑴x1不能分解

⑵x2x10无实数解，x2x1在实数范围内不能分解 ⑶x3x2x1(x1)(x21)

⑷x4x3x2x1(x2ax1)(x2bx1)

1515,b可解得 a22而x2

1515x10无实数解，x2x10无实数解 221515x1)(x2x1) 22故x4x3x2x1(x2

8. asin(x asin(x asinx(2(x 2sin4)sin2x9

4)cos2(x2)2sin(x44)9

4)8

4)asinx(48)80

a2sinx(4)sinx()4

a10或a10

aa264aa264 当a10时，，当a10时， sin(x)sin(x)4444所以当a10时,方程的解为:

a-a2645a-a264xarcsin()或x2karcsin,kz

4444所以当a10时,方程的解为:

aa2645a-a264xarcsin()或x2karcsin,kz

44449.设(x,y)为C'上任一点，(x,y)关于y2x的对称点为(x0,y0)

27

y0y2(x0x)4y3xx0225则有，解得

yy10y4x3y025xx0x2(4y3x)22y1,得(4x3y)225 代入44整理得C'的方程为73x272xy52y2100，② 设(m,n)为C''上任一点，其关于y1x5的对称点为(a,b)， 2203m4n1manba52522则 解得

b404m3nbn25am代入②得

73(203m4n)272(203m4n)(404m3n)52(404m3n)22500 整理得，(4m)24(8n)24

(x4)2(y8)21 C的方程为

4''10.设l1:y2k(x1)，则l2:y21， k(x1)yax2由ax2kxk20 y2k(x1)1k24ak8a0，①

14a8a0，即8ak24ak10，② 同理2()2kk令f1(k)k24ak8a，f2(k)8ak24ak1

当a0时，

①和②的解集的并集应为R 则1k2，k1k21 k11 8即k1k28a1，0a当a0时，

28

k1k24a0 k10,k20 k1k28a0则当a0时，①与②的解集的并集必为R

1综上，a且a0

811.证明：由题意f(nx)nf(x)，令xq,(p，q)1 p则

qqqnnf(n)nf()，而f(n)f(q)qf()

pppppnqqf()nf()，又令np

ppqqq则qf(1)pf(),f()f(1)

pppxQ时，f(x)xf(1)

又f(x)在1,上单调递增

xR时，f(x)xf(1)kx，其中kf(1)

2006年上海交通大学推优、保送生考试试题答案

一、

填空题

h2aa2b2h21.

b2a2x2h2ax分析： hb由上可解得. 2.

15 2分析：设正实数的整数部分为x，小数部分为y，则xy,x,y为等比数列，

x2xyy

29

xxxxx151510,,由代入xyyy10 yyy2222可求得y3. 500

4. -39400 5. 100

5115，x1,xy 22hhh,tan,tan，由90， 100200300hhh得tantan1，可得2003001，可解得h100

hh1001200300116. , 39分析：tan7. 223,2

 又xaxa0对,13恒成立, 即1313aa0，a2

22分析：由题意x2axa在,13上单调递减的，a13 28. -1

分析：是x51的非实数根，由x51得x1x4x3x2x10

43210，4321

1214321 9. 39

1110. 

2!102!分析：akk2k2k2

k!k1!k2!k!1k1k23k2k!k22 1k111

k2k!k2!k1!k2!1111111111 2!3!3!4!10!010!110!110!22!10!2 a1a2a100211. b2ca4acbcab0，两边同除以a2c2得

30

11bbb2411，两边同除以b2得 acac1111114， acbacb22411111

bcabac11411420 acbacb1121120，，得证。

acbacb22212. 设存在满足条件的三角形，不妨设AB的方程ykx1k0，则AC方程：y1x1， kykx1由x2得：k2a21x22ka2x0 22y1a2ka22ka2xB可得xC2 221kaka22ka212ka2AB1k，AC122 2221kakka22ka212ka2 1k1221k2a2kka22整理得：k3a2k2a2k10，k1k21a2k10 由k21a2k10得1a2当a3时有k1

当a3时， 两个不等于1的正根，当1a3时，无根 综上：当1a3，存在满足条件的一个三角形 当a3时，存在满足条件的三个三角形

24a21a23

 31

13. 由z1，知zz1，且z1，设zabia,bR

z2kz1zz2kz1zzk2ak2ak2k

14. 令ax1,by1,cxx,dyy 则fx,yaxbycxdy11xy

1xy是P类函数

令axa1x2a2xa3，byb1y2b2yb3，

cxc1x2c2xc3，dyd1y2d2yd3

axbycxdya1x2a2xa3b1y2b2yb3c1x2c2xc3d1y2d2yd3a1b1c1d1x2y2a1b2c1d2x2ya2b1c2d1xy2a1b3c1d3x2

a3b1c3d1y2a2b2c2d2xya2b3c2d3xa3b2c3d2ya3b3c3d31xyx2y2

a1c1a2ca1b2c1d202abcd0a12121abcd11111abcd01313c1a2b2c2d21且abcd1a3b1c3d10a33333a2b3c2d30c3abcd0a23232c2a3c3由

d2b2d1b1d3b3d1b1d3b3d2b2a1d1b1c1da32

b2c3a3d3b3c3a1d1得a1b1c1d10 c1b1所以矛盾，1xyx2y2不是P类函数。

15. 由xk22x29kx327kx3xkx23x9 得原方程变形为kx3xkx23x90

32

xk3或xkx23x90

又k336k26k27k9k30

23kk26k27 xk3x90，所以根为x22所以原方程解为：（1）k9时，x112,x23;

3kk26k273kk26k27(2)k9时，xk3或x或x

22

上海交通大学2007年冬令营选拔测试试题答案

答案：

二、 填空题 1.2x1

分析：由2f(3x)f(23x)6x1得2f(t)f(2t)2t1 ① 由①得，2f(2t)f(t)52t ②，由①2-②得2.1 2f(t)2t1，即f(x)2x1

分析：由3a6b4得alog34,blog64

1111log34log64log4 ab223. 2

分析：由ax1x22x2a得ax(x1)22a 令f(x)ax，g(x)(x1)22a 当a1得 g(1)2af(1)a 当a1得g(1)2af(1)a

94. 4分析：如图2rr6,r62r

33

S扇113rr29rr(62r)r(3r)r() 22245.(n1)!1

分析：nn!(n1)!n!

11!22!33!nn!2!1!3!2!(n1)!n!(n1)!1 6. 2

111(x)2(y)2， 分析：由x(x1)y(1y)得，222 要使MN,必有2r1k,即2k

1n(n1),x027.S n-11(1)(2n1),x04

分析：①x0时，Sn123nn(n1) 2 ②x0时，sn1234(1)n1n 8.22

分析：f(x)(acosx)(asinx)a2a(sinxcosx)sinxcosx 令tsinxcosx，t2,2，则sinxcosx1111ya2att2(ta)2(a21)

22221125当t2时，ymaxa22a2

22212(t1) 2解得 a22 或 a32舍 9.

43 45(15C52)22分析：交卷时无人受打扰的概率为 645A6则其中一人交卷时打扰其他人概率为110.

1 1x34

243 4545

分析： 由

fn1(x)f1(fn(x))，可求f2(x)x1x21x1,f3(x),f4(x),f5(x),f6(x)x, x2x11x2x fn(x)的周期为6，f28(x)f4(x)1 1x

11设OO1与OO2相切于N，过O1作O1MOO2于M连接O1O2,ON则O2Mh， 由ONO2~O1MO2得

2rRr2r2,得Rr hrh由r10mm,h4mm,得R60mm 12.f(x)sinxcosx1sin2x

xR,11sin2x2,f(x)的值域为1，2 f(x)sin(x)cos(x)sinxcosxf(x) f(x)为偶性 令ysin2x

由图可知，f(x)为周期函数，周期为2

k1f(x)的单调递增区间为k,2,KZ 241kf(x)的单调递减区间为，k,KZ 24`22k,(KZ)时，f(x)的极小值为1 2k x,(KZ)时，f(x)的极大值为2

24当xMM1最小 13.要使M到y轴距离最小，即使 35

1MM1（AA1BB1)

21(AFBF)2

13AB22M到y轴的最短距离为此时A,F,B三点共线，1设AB:yk(x)

4315 244y2x12kyky 得14yk(x)41ky2yk0,设A（x1,y1),B(x2,y2)

411y1y2,y1y2

k4AB11y1y23 2k即1112， k132k2k2y1y22

x1x2y1y2(y1y2)22y1y222215 2252M(,)

424243214.⑴由f(x)0得，a(x3x4)(xx2x)0

422x3x40(x1)(x2)(x2)0由题意得4 即2 32xx2x0x(x1)(x2)0x2或2 x0或1或2对任何实数a,f(x)0有相同的根，x2

⑵由⑴知，当x2时，x43x240而x4x32x20

36

存在x02,恒有f(x0)0 15.⑴a1b1a2b2a3

abababa2b

a01

bb由abab得，a11

aa由aba2b得，a23

baN,a2

⑵ ana(n1)b,bnban1

a(m1)b1ban1

b33N n1n1am121mba2,b3,b3

⑶ama(m1)b2(m1)33m1

Sa1a2amm(3m12)m(3m1)

22当b3时，m2n1

2n1(32n11)Sn322n32n2

2

2008年复旦大学自主招生试题答案

107.C.

r Tr1C10xr210r1r203rr5、7项。.系数最大的项是第 C101xx108.D.

f(5x)f(5x).yf(x)的图象关于直线x5对称.和为30。

109．

110．B.

设z1abi(a、bR),z1z12abi2b20.

22 37

b0,z1aR,ER.

111.B.

x2(y1)2131312得三公共点为A(0,2),B,,C,解方程组2y1. 2222x19BC3,AB112.C.

393AC.ABC为等边三角形. 44取BC中点M,连AM, B1M.正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2BB1, 可得B1MBC1,又可证AM面B1BCC1,AMBC1,BC1面AB1M,

BC1AB1,BC1与AB1成900角. 113．C.

20x10y110设托运甲、乙货物分别为x、y箱，利润为z百元，则10x20y100

x0,y0,x、yN2xy11x2y10 Z=8x+10y, x0,y0,x、yN,4z由图可知：l:yx过点M(4,3)时，z最大，z大8410362.

510114.B.

22a3b7a5b07a16ab15b02由题意可得： 2a4b7a2b07a30ab8b02abb,ab,cos115．A.

2abab1,. 23623A6A7A31由题意可得:P(A)=. 1020A10116.C.

sincosa,sincosa,a12. a2sin(4)2,2,a12.

 38

sin3cos3(sincos)(sin2sincoscos2)a(1a)22.

117.A.

设z1abi(a、bR)，则z2abi,

z1z22bi6,bz1z226.24z1z12z1232z1z13abiz1a33ab2(3a2bb2)iz14R,3a2bb30,

b0,b23a2,a21,z1z2a2b22. 2118.D.

设四面体V-ABC,不妨设VC=x,其余棱长都为1，面VAB面ABC时V(x)最大,

66时V(x)是增函数，x时V(x)是减函数. 0,,3且x22119.C.

1n1n22n2nn12nn12(nn1)

又

n22n2(n1n),

k1n1k1k12(2132nn1)12(n1)2n1

k12(2132n1n)2(n11)

120令n=120,得: 2(1211)k11k21201,20k11201k2121121.

120.B. 由题意可得：

an212SnSn(an2)2,① 2811a1S1(a12)2,a12,又Sn1(an12)2(n2)②

88①-②:anan14(anan1)0,(anan1)(anan14)0,

22an0,anan14,(n2),数列an是等差数列，ana1(n1)d4n2.

39

liman4n2lim4. nnnn121.A.

(2)24(235)04x1x224 32xx3512x1x2(x1x2)22x1x2(2)22(235)2106 =(5)219,4时（x1x2)大18 。122.D. 提示：甲sin123．D.

22222cos2。

0xc1cx1c10c,cx1c. 20xc1cx1c124.B.

令12xt,2x1t2,t0,则

155y1t2t(t)2,ymax,无最小值。

244125．C.

a50,a60,a6a5,a6a50,S1010(a1a10)5(a6a5)0. 2S99a50.又d>0,选C. 126.B. 画图易得. 127.A.

设A平分线所在直线的斜率为k,kAC由

34,kAB, 43kkACkk1AB可得k7或k,由图得k7,

1kkAC1kABk7A平分线所在直线的方程为y-4=7(x-3)即7x-y-17=0. 128.A.

114231312ne=Cm共有6条. C5,C5C5,C4C4,C3C3.加C21,C5129.B

40

第二个函数为yf1(x),设P(x,y)是第三个函数图象上的任意一点，则P点关于直线

x+y=0

的对称点P'(y,x)在函数yf1(x)的图象

上,xf1(y)yf(x). 即第三个函数是yf(x). 130.C.

当x2,1时x42,3,f(x)f(x4)x4,

当x1,0时x0,1,x22,3,f(x)f(x)f(x2)x2. 综上：f(x)3x1. 131.C.

ab1a1a0或. ab1或ab1b0b1132.D.

r2Tr1C22nrnnr(x)C2rrnnr(1)x,令2nrr1,r2. 2nC22223n2=2n3n(n1),n8118,

n(n1)n1n231111118(1)()()=81.原式8. n223n1nn2n133.B.

画图易得. 134.A.

由行列式性质计算可得f(x)x0. 135.C. 设r=2, S1a圆ABC41r2,以AB、AC为直径的半圆面积都是S1，

2422bb.

136．C.

QSQRRS3a2b,P、Q、R三点共线PQ,QS共线， 41

2k4,k. 323

2008年交大冬令营数学试题答案(2008.1.1)

一、 1、2

填空题

2x13，2x4,x2 分析：由gxfx知，x21512.

1 4 分析：由yy1 43. 2或3

x1191yx0x122924，得，要使最大，，x28yx1y4.

15 21515 ,a0a22分析：由|z|1，得zza2a1，a5.

11 1613得sinxcosx 28分析：由cosxsinxcos3xsin3xcosxsinx1sinxcosx9 10分析：

13111 28166.

an1nn1n1nnn1nn11n1nnn11n1n1

a1a2a3a9947. C100 3921225111212131991100119 1010 42

8. an1nn1n1n

2 3分析：甲产品的次品率为80%5%4%,乙产品的次品率为20%10%2%，故

2购买的甲产品的次品概率为。

310. 1

9.

分析：若曲线C2不过原点，则曲线C1与C2的交点情况为0个，2个，4个，不可能为3个。 二、解答题 1. (1)不可能

①若a,b为同一个人，有ab； ②若a,b在同一行、列，则均有ab

③若a,b不在同一行、列，如图以56的矩形为例，记a所在的列与b所在的行相交的人为x，因为ax,bx,axb,综上，不可能有ab x b a (2)有可能，不妨令30个人身高由矮到高分别为1，2，3，……，30，如图2，知ab26 1 6 11 16 21 26 2 7 12 17 22 27 3 8 13 18 23 28 4 9 14 19 24 29 5 10 15 20 25 30 2、若a0，则有fxx，于是ffxfxx, 若a0，则有fxx，于是ffxfxx 所以ffxx没有实数根。

3、(1)乙专家

若中国队得10分，则可能其余三队12分，10分，3分。以澳大利亚12分，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲

43

专家说的不对。 澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 澳 3 0 3 0 3 3 12 中 0 3 1 3 0 3 10 卡 0 3 1 0 3 3 10 伊 0 0 3 0 0 0 3 假设中国队得分11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名，第二名均不少于11分，而第四名不少于3分，12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分，而四队总分36分时，不能出现1场平局，而11分不是3的倍数，故出现平局，矛盾。

所以中国对得11分可以确保出线。

(2)若中国队得12分，则可能出现如下表情况，仍无法确保晋级。 澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 澳 3 0 3 0 3 3 12 中 0 3 0 3 3 3 12 卡 0 3 3 0 3 3 12 伊 0 0 0 0 0 0 0 假设中国队得13分，仍无法出线，则必为第三名，则第一、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分，大于36分，矛盾 故中国队至少得13分才可以确保出线。 4、(1)5；

3(2)C510;

(3)记u和v中对应项同时为0的项的个数为p，对应项同时为1的项的个数为q，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为npq;p,qN,ppn.

du,w即是u中1的个数，dv,w即是v中1的个数，du,v是u和v中对应项一个为1，一个为0的个数，于是有du,vnpq

u和v中1一共有2qnpq个，即du,wdv,wnpq，所以 du,wdv,wdu,v2q0于是du,wdv,wdu,v 5．设Ax1,y1，Bx2,y2

22x2y3 得x22p2x10 2y2pxx1x22p,x1x21 2 44

2y12y2y1y22y1y22px1x2

2且y1y2x1x2

2得y1y242p1p，又y12y24p2x1x24p2

y1y22p812p4p2 解得p

717717（舍） 或p442008年上海财经大学自主招生试题答案

1. 5 52. [0,1]

3.yarccosx,x[1,1]

x[,0],yarccosx的主值区间是[0,]，则x[0,],

ycosxcosx，则xarccosy 4.

2 3Sn2n1 an2n1, 111n1n2, anan122411它是以为首项，为公比的等比数列。

24n111...a1a2a2a3anan111[1]n2124[1]

13414nlim(n1112...) a1a2a2a3anan1345

5. 75 6. 4

周期为4，则u2008u04

310(31) 4令x2即得 8. 1

7.

PF1PF22 1PF24,PF1PF22c12，则得PF2229. 0

令x0,1,1，得：

f0f30,f1f31,f1f31

1，-1（不一定对应）。 x1x2 fx1fx2 故f0,f1,f1的值分别为0，10. 2

111x(x1)yy1xyxy0xy

222222222 k221511.

642每发出一次指令，有两种方向可以选择，故一共有2664种不同走法

为使实际上只前进了两步，那么一定是四步前进，两步后退，只要在六步中选定

4是哪四步前进，剩下的2步均后退，故有C615种不同走法。

12. -14

令ax22a3xa20,且xZ,a0,aZ 令tx1,tZ，则a6t4

t22因a0,则t，又tZ，所以t0

31 t0,x1时，原方程不成立 2 t0时，t1,a10，符合题意

t2,a4，符合 t3,4,5,6,aZ，舍去

46

t7,t26t4,aZ，舍去 即a10或4 13.D

1x[,1]22x22数形结合：fx{ ，gxx1,x[0,1]

12xx[0,]2由题意，Fx取途中ABCD段图像

1方程Fx21 ，即Fx的实根个数

2xx相当于两函数图像在[0,1]内交点个数，3个。

14．C

此三棱柱的洞打穿点C后，在每个面（共三面）上留下一个三角形缺口,

由于PQR以右全部截掉，实际上并不作为多边形的边线，故这个空间多边形是六边形. 15．C

由an2an1an2122，得an1an2anan11, an1即数列{anan1}是等差数列,

2所以anan148n149n0n49

16.8层

设造n层，第n层每平方米所需建筑费用为500100n1400100n，则第

400100n104n万元 n层所需建筑费用为100080这栋大楼的每平方米造价为yn54n2 1000n令y0.095n210n1602n8 17.arccos6 4连接OC，易证OCBD

以DB所在直线为ｘ轴，以OC所在直线为ｙ轴，以OA所在直线为ｚ轴，建立空间直角坐标系.

由OA2OB22,OC2OB24,OA2OC24，则OAOB1,OC3

47

13则A0,0,1,B1,0,0,C0,3,,0,D1,0,0,E2,2,0，cos236

4231131131,x[,] ，记hxx,x[,] 4x424x421113易证hx在[,]上减，在[,]上增,

422222 则fxgx[0,]，|fxgx|1成立，即能被替代.

3318 . (1)fxgxx(2)假设fx在D1D2上能被替代

则|lgax2xsinx|1，即1sinxlgax2x1sinx恒成立， 事实上，当a0，x时，lgax2x1sinx不成立， 当a0,x0时lgax2x1sinx不成立 所以不存在常数a，满足题意. 19. (1)An32n1，Bn10n5 (2)fn均能被64整除

事实上：fn932n1410n51732n140n3

n1时，f164

假设nk时，fk32k140k3能被64整除 则nk1时，fk1932k140k3645k1

由fk能被64整除，5k1为整除，故645k1能被64整除，故fk1也能被64整除。综上，fn均能被64整除。

13a2b26c2 1212S2S2SSaha ha,hc,同理hb

2abc分别代入即得.

20.(1)S 4111SbcsinA,3a2b26c2bcsinA,3a2b26c26basinA,

2122(2)A 48

2b29c2将abc2bccosA代入上式,得sinAm,

462bc222由sinA1，则sinA1，A.

444（3）结论：若有x,y,z满足xabcyzA，则 hahbhc（a）s1(xa2yb2zc2) 2A2(A2y)b2(A2z)c2（b）当2xA时，sin(A)

422Abc（c）当y,z满足A2(yz)A4yz0时，A证：（a）若x24

1abc(xa2yb2zc2) yzA，则s2Ahahbhcxa2yb2zc2b2c2a2 （b）由（a）知sinA， cosA，

Abc2bc22(A2y)b2(A2z)c2所以sin(A) (sinAcosA)4222Abc（c） 设Ay，sin(A所以A2)22bc(A2y)(A2z)1 22Abc4

21. （1）以O为原点，ox为x轴正方向建立直角坐标系x’oy’,从而点P（x,y）对应的直角

112xx'13坐标为[x’,y’] 则，即x'xy y'y，

2201yy'21x'xy111222易得|AB|(x1'x2')(y1'y2')，将

y'3y112|AB|(x1x2)2(y1y2)2(y1y2)(x1x2)

1x'xy2222代入，得 y'3y222 49

(2) M(2,3)M[12,332] O(0,0)O[0,0] kOM33,而kOMk'1

k'39 l的直角坐标方程为：y'39(x'12)323 将x'x12y

y'32y代入得： y174x2

（3）由条件知，抛物线在x’oy’中是以y'32为准线，o[0,0]为焦点的抛物线 从而x'23(y'34) 又直线xy10x'3y'10 则 x'23(y'34) 得x'2x'10x'1,y'3 x'3y'10426所以交点只有一个，即[12,36]，也即（13,13）

2009年复旦大学自主招生试题答案

1.（

3158b118a,118b3158a)或118b3158a,3158b118a) 2．3

解：由xyzyz12知，12=xyzyz33xy2z2，即xy2z264，x14,y2,z2时取等号，而 log4xlog2ylog2z12(logxlog2log212122y2z)2log2(xyz2)2log26433 3.1(1122212121212+1212(12)4)=3964

4．C2nn1An

解：将两个球捆绑，再放到n个盒子里

50

当

=

5．抛物线

6．正三棱柱ABC-A1B1C1，AB= AA1=1，在AB上有一点P，PB1C1，PA1C1与底面所成角为,，求tan()的最小值．

解:过点P在平面ABB1A1做直线PP1垂直于A1B1交于点P1，由正三棱柱知

在面A1B1C1内过点P1分别做B1C1和A1C1的垂线，垂足为E，PP1面A1B1C1，PPPP11F，则tan ,tanP1EP1FPP1PP1PEP1FPEP1F3tan()11，而P1E1P1F1，故

PP1PP1PEPF12111P1EP1F338322，当P1EP1F时取等号 tan()2P1EP1F1P1EP1F13127．解：根据题意，正多边形的顶角可以拼成一个轴角，即周角度角度是正多边

43602形的内角度整数倍，设正多边形为n边形，则为整数，即为n2360180n整数，则n可取3，4，6.故有3个。 8．{1,3,5,7,9} 9．题目有问题

10.解：由题b11，bn2n1，bnanan1，则an2n1，则an}的前n项和

Sn2n12n

Sn2n12nnlimlimlim(2)2 nnnann2121nab1，b2a,且a1 12ab1x12．解：令g(x)，则由g(x)的图像知，g(x)在(,1)上递增，在(1,1)1x1,)上递增，递减，在(而f(x)在(1,)上递增，故a1，所以f(x)在(,1)上递增，在(1,1)递减 13. 14.

11．解：

15．解：本题即为log12ax22bx10恒成立，也即2ax2bx11恒成立，即

ax2bx10恒成立，若a0，不成立，若a0，则a0,且b24a0 16．解：

51

11sin2cos2sin2sin23cos233cosa,b121sin2cos2sin2sin2cos2sincos2sin2sin23cos2331sin23cos2=3，

12sin3cos233(t1)1231324令tsin3cos，则cosa,b， (t)342tt则a,bx126

17. y2的图象关于x＝1对称的图象为C1，为C1关于y=x对称的图象为C2，求C2对应的函数表达式． 解：C1的解析式为y2(2x)122，C2的解析式为y2log2x

x2a3sinxcosx22sin(x18．解：

6)2，又x[0,2],则x13[,] 666则a(0,3)(3,4)

19．半径为R的球中装了4个半径为r的球，求r的最大值．

由题，当这四个球两两相切，且与大球相切时取最大。

23r2(Rr)，r31R 220．解：令zrcosirsin（rR,r1)， 则z1cosisin11rcosirsin(r)cosi(r)sin zrrrx2y21，应是焦距为4的椭圆 可得

1212(r)(r)rr21．A

2acbcab1111，22222，可得acb2，故选A bacbacac22． B 解：

2x2(ab2)2a2b,a,bQ，令2bm,an,则m,nQ，

52

2xmn2,m,nQ，故选B

23． D

解：由题xy0,0ab1，则axbxby 5724．

72987A92A8A757解： 9A97225. n6k,kN

解：由费马小定理得，26126. arcsin1 k(mod7)，故n6k,kN

1111解：设该锐角为2，则kkcosksin，解得sin2，所求锐角为

222k1arcsin

k27．解：由题(x22)yax2bxb，整理得(ya)x2bx2yb0，若ya，

2ab则x若ya，则b24(ya)(2yb)0，

b可得8y24(2ab)y4abb20，其解集为[4,6]，（此题题目有误）

kk528.解：将圆锥面展开即得dmink2()22k()cos()=kcos()

22k4k37 8解：将四面体补成长方体，使其面对角线为四面体各棱长，不妨设长方体三边长为a,b,c，则a2b225，a2c225，c2b236，解得a7,bc32，

17323267，设内切球半径为r，四面体一个面可求四面体的体积为3137面积为12，用体积分割法可得:412r67，解得r

38

29．r

53