函数项级数

1. 设f(x)在(,)内可微，且： (1) f(x)0,x(,) (2) |f'(x)||f(x)|,01

任取a0(,)，定义anln(an1),n1,2,，则(anan1)绝对收敛。

n12. 设f(x)(1xx),an21n!f(n)(0)，则an收敛。

n13. 计算：qcosq2cos2qncosn(|q|1)。 4. 证明：fn(x)n(1x)en(x1)在x(0,1)上不一致连续。

25. 求证：n(x)n在(1,1)上不一致收敛。

n11n6. 证明：xenx

n1(1)当1时，在[0,)上一致收敛； (2)当01时，在[0,)上不一致收敛。

n7. 设anx在xr处收敛(r0)，则anxn在[0,r]上一致收敛。

n0n012nx,0xn2n11x 的极限函数的连续性，可积性。 8. 讨论：fn(x)2n2nxn,2nn10,x1n9. 设nan收敛，f(x)n12n1anx(|x|1)，则nanlimnn1x1f(1)f(x)1x。

10.证明：n2enx的一致收敛性。

n111.证明：若f0(x)在[0,a]上连续，令fn(x)[0,a]上一致收敛于

x0fn1(t)dt,0xa，则{fn(x)}在

0。

1n12.证明：设f(x)在(a,b)内有连续的导数f'(x)，且fn(x)n[f(x)f(x)]，则在[,](a,b)上{fn(x)}一致收敛于f'(x)。

13.设f(x)在[0,1]上连续，且gn(x)xnf(x)，则{gn(x)}在[0,1]上一致连续。 14.f(x)在[A,A](A0)上连续，且f1(x)f(x)，|f(x)||x|(x0)，

fn1(x)f(fn(x)),n1,2,，则{fn(x)}在[A,A]上一致收敛于0。

15.问k为何值时，fn(x)xnkenx在[0,)内一致收敛。

16.设f(x)在(,)上有任意阶导数，令Fn(x)f(n)(x)且对任意有限区间

Fn(x)一致收敛到(x)，求(x)。

17.证明：fn(x)1n1nkf(xkn)，其中f(x)在(,)内连续，则{fn(x)}在任意

区间[a,b]上一致连续。

18.证明：若f(x)an0nxn的收敛区间是(R,R)，设{xn}(R,R)，使得

nlimxn0，且f(xn)0，则an0。

19.证明：n1n2n!x(xxnn1)在[,2]上一致收敛。

2n2n120.求(1)n1(2n1)!!, (2) limnk!(k1)!(k2)!, (3) (2n1)!,

k1k2(n!)2n0(4) 1n1xnn2, (5) 1012xln1xdx.