高等数学(上)第一章习题

1、 求下列函数的定义域。 1）yarcsin(1x)1ln(x1)x13x21x1 2） y=lg（4x－3）－arcsin（2x－1）

14x2 3）y 5）y 4） yx2

1xarcsinx6 6）y3xarctan

x157） yln(x2x6) 8）y

1x12arcsin；

2、设f(x)的定义域为（0，1），求f()，f(x2)，f(lgx)的定义域。

x1

3、判断下列函数的奇偶性。 1）f(x)3(13x)232(13x)　(x) 2）f(x)lg(xx1)

2 3）f(x)x42x2 4）f(x) 5）f(x)xaaxxxax11x1x(a1)

11(a1) 6）f(x)lg

4、指出下列函数中的周期函数，并写出其周期。

1）y=sin（2x+5） 2）y=xsin（5x －3）3）y=|sinx| 4）y=sinx+5）y=sinx2

5、求下列函数的反函数。

1）y10x-12 2）y 3）y45x 4）yx1,x0x,x02

12sin2x

3x1

5）y1112x12x 6）yln(1x)ln(1x),1,x0 26、指出下列复合函数的复合过程。

1）y(2x1)9 2）yesinx。 3）yarctan11x22 4）y2ln(x21)

5）ycos2(3x1) 6）yln(lnx) 7）ytan3x2 8）ysin13x

7、若存在两个实数a，b，且a8、某运输公司规定货物的吨千米运价为：在a千米以内，每千米k元；超过a千米时超过部分每千米 k元，求运价m与里程s之间的函数关系及定义域。

9、设M为密度不均匀的细杆OB上的一点，若OM的质量与OM的长度的平方成正比，又已知

OM = 4单位时，其质量为8单位，试求OM的质量与长度间的关系。

习题1－2 数列的极限

1、判断下列数列是否收敛。若收敛，写出其极限。 1）xn:1,2）xn:1,31517,,,,, 23456121,3,141,5,1, 613）xn:0,,0,,0,,

246

习题1－3 函数的极限

1、讨论下列极限是否存在。

1,x0,x0 2）f(x)x1）f(x),x0 x1,x0|x|x2,x11,x1 4）f(x)arctan,x1 3）f(x)1xx1,x1

5）

f o o －1 0 1 2 3 x

y 当x→－1，x→0，x→1，x→2时

2、 考察如右图所示函数，求下列极限。

1）limf(x) 2）limf(x)

x1x03）limx6f(x) 4）limf(x)

x2-6 -1 o x

1 2

3、考察如右图所示函数，下列陈述中哪些是正确的，哪些是错误的。 1）limx2f(x)=0

y 2）limx2f(x)=0

3）limf(x)=3

x2 4）limf(x)=0

x2 5）limf(x)不存在

x2x 6）limf(x)存在

x4

习题1－5 极限运算法则

1、设数列xn 与yn 满足limxnyn=0，则下列命题正确的是（ ）。

n A、若xn 发散，则yn 必发散 B、若xn 无界，则yn 必无界 C、若xn 有界，则yn 必为无穷小 D、若

1xn是无穷小，则yn 必为无穷小

2、已知数列{an}和{bn}，liman=2，limbn=－3，求下列极限

nn1）lim[2annbn3] 2）lim[nan3bnan] 3）lim(n3bn2anbn)

3、求下列极限。 1）lim31(1)n2n2n1 2） lim22nn33nn

n2n12n3）lim 4）(123(n1)lim() 222nnn22nnnn12232n2n25）lim 6）lim 2nn13n1n393112114117）limx23xx2252 8）limx2x1x1(2x3)302

x19）lim1-x3x13 10）lim(3x8)5020x142xx14x1xx(5x1)

11）limx1 12）lim4x2x1x1x2

xsinx13）lim1x1exx 14）limsinln(x1)-sinlnx

x15）limxarctanx01x 16）lim=c，求常数a，b，c。

xaxb1x2xx2x1x

x4、已知limxaxb2x3x1323x15、确定常数a，b，使得lim6、设lim=5。

，求α和β的值。

x1(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)(3x1)2x

习题1－6 极限存在准则 两个重要极限

1、计算下列极限。 1）limtanxsinxxsinx2 2）limcosxcosaxa

x0xa3）lim2sinxsin2xx3x0 4）limx01-cosxx1-cos12

5）lim(x1)tanx1πx212xx 6）lim

x01x27）limx1x 8）limtann x1n24n9）lim

xx2x2x3x3x52x5

2、利用极限存在的准则求下列极限。 1）lim39xxx1x

2）

214n lim33nn31n2nn3）x16,x266,x3666,,xn6xn1，求limxn。

n3、若limf(x)存在，且f(x)xsinxx2limf(x)，求limf(x)。

xx

习题1－7无穷小的比较

1、当x→0时，若f(x)ex(ax2bx1)是x2的高阶无穷小，求a和b的值。 2、当x→0时，无穷小量（1－cosx）与asin2x2等价，则a= 。

3、当x→x0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小，则当x→x0时，无穷小f(x)+g(x)与无穷小g(x)的关系是 。

4、当x→x0时，(x)与(x)是等价无穷小，(x)是比(x)高阶的无穷小，则当x→x0时，

(x)(x)(x)(x)函数的极限为 。

1x5、若x→∞时，f(x)与是等价无穷小，则lim2xf(x)= 。

x6、当x→0时(x)kx2与(x)1xarcsinxcosx是等价无穷小，求k。

7、求下列极限。 1）limln(12x)sin3x2xe 2）limcotx x0sinxx03）limxarcsin(3x)3261xxxx0 4）lim1cos(1cosx)x(e2x2

x01)5）lim1sinx-1x 6）limlncos2xlncos3x

x0x07）limcosxsinx21x0 8）limex-1sin2xx01cosxxln(1x)1cosx

9）limxsinx2xx21 10）limx0

习题1－8，1－9

1、若f（x）=

ln(12x),x0在xa,x0x=0处连续，则a= 。

2、求下列函数的间断点及其类型，若是可去间断点，则补充或改变其函数值使其连续。 1）f(x)xx2213x2 2）f(x)x1cosx

3）f(x)xtanx 4）f(x)lim1xx2n12n11n1nxx

5）f(x)x

ex11

3、计算下列极限。 1）limarcsinx2xxx 2）lim(cosx)x

12x03）limtan2xtanx41) x 4）limnln(1n2n45）limxe21xx1tan(x1)ln(2x) 6）limx[ln(x1)lnx]

x07）limsin[ln(12x)]sin[ln(1x)]xx0

习题1－10 闭区间上连续函数的性质

k1、设t1，t2，…，tk 是k个正数，且ti1，f（x）连续，则对任意x1≤x2≤…≤xk，存在

i1k ξ∈[x1，xk]，使f（ξ）=tif(xi)。

i12、 设f（x）在R上连续，且f [f（x）]=x，证明存在实数ξ，使f（ξ）=ξ。 3、 设f（x）在[0，2l]上连续，且f（0）=f（2l），则在[0，l]上至少存在一点ξ，使得f（ξ）=f（ξ+l）。

4、 设f（x）在[a，b]上连续，且a 5、 证明方程组x6+5x3+2x2+1=0至少有两个实根。

6、当a取何值时，函数f（x）=2x3—9x2+12x—a恰有两个不同的零点。

自测题

一、填空题。

1、设函数y1ln(2x)的定义域为 。

2x2、f（x）的定义域是[0,3]，则f（lnx）的定义域是 。 3、设f(x1x)xx1,则f(x)= 。

4、设f(x1)3x22x1，则f(x)= 。

5、设g（x）与f（x）互为反函数，则f(x)的反函数为 。

216、已知limabn53n22n2，则a= ，b= 。

7、limsin5xcot3x= 。

x8、limxsinx1x= 。

1xxsin29、limx0sinx= 。

10、当x→0时，2x+3x与sin2 3

ax32是等价无穷小，则a= 。

11、若limx0sinxeax(cosxb)5，则a = ，b = 。

1xx0e,12、设f(x)在x=1连续，则a= 。 0x13x,2axaxee1,1x13、设f(x)ex1a有无穷间断点x=0和可去间断点x=1，则a= 。

x(x1)x11,x0，则x=0是 类 间断点， 14、设f(x)x0,x0x21,xc15、设函数f(x)在(,)内连续，则c 。 2xcx,16、lim17、limxx12xx332x(sinxcosx)= 。

xln(1x)1cosx1nx0= 。

n118、limnn_________。

1xcos,若x019、设f(x)，其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是 。 x0,若x020、设f(x)lim二、选择题：

(n1)xnx12n, 则f(x)的间断点为x 。

1、ylg(x1)12x。 arccosx的定义域是（ ）

A、（－1,+∞） B、（－1, 1] C、（－1, 1） D、（－∞,1）

2、设f（x）=（sin3x）2在定义域（－∞，+∞）上为（ ）

A、周期为3π的周期函数 B、周期为C、周期为

233的周期函数

的周期函数 D、不是周期函数

3、设f是偶函数，g是奇函数，复合函数fog有定义，则fog是（ ）函数。 A、偶函数 B、奇函数 C、非奇非偶函数 D、可能是奇函数也可能是偶函数 4、函数f（x）=

e1e1xxln1x1x(1x1)是（ ）函数。

A、偶函数 B、奇函数 C、非奇非偶函数 D、可能是奇函数也可能是偶函数

5、下列函数f（x）和g（x）相同的是（ ）。 A、f（x）=cos（arccosx），g（x）=x，其中| x |≤ 1 B、f（x）=x－3，g（x）=

(x-3)2

x-1（x）=x，g（x）= ,g(x)lg(x1)lg(x1) D、f

x1 C、f(x)lgx2

6、下列数列中收敛的是（ ）。 A、xn(1)nn1 B、xnn(1)n1n C、xnsinn2 D、xn2n

7、若limxna>0，则（ ）。

n A、所有xn>0 B、所有xn≠a C、n充分大时，xn>0 D、一定有n使xn=a

8、与limxna不等价的命题是（ ）。

n A、对任给ε>0，落在U （a，ε）之内的xn有无限多个 B、对任给ε>0，落在U （a，ε）之外的xn至多有限个 C、对任给ε>0，存在N，当n>N时，| xn － a |<ε D、对任给ε∈（0,1），存在N，当n>N时，| xn － a |<2ε

9、“函数f（x）在点x0极限存在”是“函数f（x）在点x0有定义”的（ ）。 A、充分条件 B、必要条件 C、充分且必要条件 D、无关条件 10、无穷小量是（ ）

A、零 B、比任何数都小的量 C、以零为极限的量 D、以上都不是

11、下列变量当x→∞时是无穷小量的是（ ）。 A、sin1x1 B、ex C、ln（1+x） D、e

2x

12、当x→∞时，2sinxcosx与x比较是（ ）无穷小量。

A、等价的 B、同阶的 C、高阶的 D、低阶的 13、当x→0时，2x2+3x是sinx的（ ）无穷小量

A、等价的 B、同阶的 C、高阶的 D、低阶的

14、当x→0时，下列变量中（ ）是x的二阶无穷小量。

A、x+x B、1－cos x C、ln xD、sin x 15、无穷多个无穷小量的和（ ）。

A、必是无穷小量 B、必是无穷大量 C、必是有界量 D、可以是无穷小量或是无穷大量或是有界量 16、无穷大量与有界量之间的关系是（ ）

A、无穷大量可能是有界量 B、无穷大量一定不是有界量 C、有界量可能是无穷大量 D、不是有界量一定是无穷大量 17、若limxf(3x)x022

2，则limf(2x)x=（ ）。

x0 A、1 B、1 C、462D、1

3318、当x→0时，下列4个无穷小量阶数最高的是（ ）。 A、ln（1+x）－x+C、x-(431312x2 B、12x313x

cosx)sinx

D、ex4x1

19、函数f(x)|x|sin(x2)x(x1)(x2)2在区间（ ）内有界。

C、（1 , 2）

D、（2 , 3）

，则

A、（1 , 0） B、（0 , 1）

20、设f（x）在（ , +）内有定义，且limx1f(),x0f(x)a， g(x)x0,x0（ ）

21、如果f（x）在x0点连续，则当x→x0时，f（x）－f（x0）是（ ）

A、无穷小量 B、无穷大量 C、无界量 D、常数0 22、当x0时，与A、 1exx等价的无穷小量是（ ）

. （B） ln1x1x. （C） 1x1. （D） 1cosx.

123、函数f(x)(exe)tanx1在[,]上的第一类间断点是x =（ ）

x(exe)A、0 B、1 C、2 D、

2

24、设对任意的x，总有(x)f(x)g(x)，且lim[g(x)(x)]=0，则limf(x)xx（ ）

A、存在且等于0 B、存在但不一定为0 C、一定不存在 D、不一定存在

25、函数f(x)|x|sin(x2)x(x1)(x2)2在下列哪个区间内有界（ ）

C、（1 , 2）.

D、（2 , 3）.

A、（1 , 0）.

三、计算题：

B、（0 , 1）.

11、已知f(x)x3，求f(0),f(1),f(a),f(f(x)),f()。

x2x

2、指出下列复合函数的复合过程：

1）ylogx(cosx4) 2）y10xsin1x

221-x)

3）yesin2(x1)2 4）y(arcsin5）ylgsinex2 6）yln3(lnx3)

3、已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域。 1）y=f（4x2） 2）y=f（x－3） 3）y=f（tanx）

4、讨论下列极限是否存在。

111）limarctan1x0x12x 2）limx04sinx12x2

3）lim2e3x3x3ee2xx4e2x 4）limex1

x01ex5、求下列极限。

233（-2）1111）lim 2） limnnn1233234n(n1)(n2)nn3）limn1π1cosnn1cos2πn1cosnπn 4）

nlim(1)nsin(2x733nn2)

25）limx1x1 6）lim(sinxxsinx1)

7）lim(x2xx) 8）limxsinxx

x123xx2x9）lim 10）lim2cosx02x2x23secx

11）limearctanx1x2 12）lim1x2x0lnsinxx

6、求下列函数的间断点及其类型，若是可去间断点，则补充或改变其函数值使其连续。 1）f(x)29x13sinxcosx2 2）f(x)1|x|(xn2x2 x2)3）f(x)lim1x1x2n 4）f(x)lim(n1)xnx12

n1xsin,x07、讨论函数f(x)的连续性（是常数）。 x0,x01etanxx8、设函数f（x）=arcsin22xae,x0在x=0处连续，求a的值。

x09、求下列曲线的渐近线方程。 1）曲线y1ln(1x)x的水平渐近线。 2）yx2(x2)32

3）曲线yx4sinx5x2cosx的水平渐近线方程。

四、证明题。

1、设f（0）=0，且x≠0时，f（x）满足af(x)bf()x1cx(a,b,c为常数，|a ||b |)，证明

f（x）为奇函数。

2、设01632xn1xn求: （Ⅰ）证明limxn存在,并求之 。（Ⅱ）计算lim 。 xxxn2