柔性机械臂动力学建模与振动分析

柔性机械臂动力学建模与振动分析

作者：邓云江

来源：《中国新技术新产品》2014年第10期

摘要：本文采用假设模态法和Lagrange方程建立了柔性机器人连杆的动力学模型，利用数值仿真，对比分析了截取模态的阶数对连杆振动的影响，结果表明，三阶模态截断可以得到较良好的振动响应分析结果。仿真结果还表明，柔性机器人连杆的结构参数对系统振动的影响，适当增加连杆截面高度可以有效抑制其振动和弹性变形。末端集中质量会对连杆振动产生较大影响。仿真结果表明，集中质量越大，连杆振动也越剧烈。 关键词：柔性机器人连杆；动力学模型；模态截断；振动；弹性变形 中图分类号：TP391 文献标志码：A

柔性机器人具有操作速度快、能量消耗少、构件紧凑、载荷质量比大等优点。但是，由于其连杆弹性变形，容易产生高频弹性振动，且其末端运动往往偏离较大。

近年来，柔性机器人连杆的弹性振动问题十分突出。例如空间站航天器的柔性附件在展开过程中诱发的振动可使航天器的姿态失稳，为避免造成大的振动而使得展开过程达6-8小时。柔性边杆在产生弹性振动时，能导致后续执行动作的精准度产生较大误差，从而使执行速度减慢，甚至使结构产生过早的疲劳破坏。

对柔性机器人连杆振动分析必须首先建立一个动力学模型。在柔性多体系统动力学中，主要的建模方法有运动-弹性力学法、子结构（假设模态）法、浮动参考坐标方法、有限段法、有限元法、绝对节点坐标方程法等。

本文主要分析柔性机器人连杆的弹性振动问题，首先利用假设模态法和Lagrange方程建立单个柔性连杆的动力学方程，然后进行数值仿真，分析连杆机构参数以及末端集中质量等对其振动的影响。

1柔性连杆动力学建模

平面内做回转运动的柔性机器人连杆。设 Oxy为固连在柔性机器人连杆上的参考坐标系；

l为柔性机器人连杆(梁)的长度, h为截面高度； b为截面宽度；

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τ为电机的驱动力矩；

θ为柔性机器人连杆的关节转角。

在对柔性机器人连杆(梁)进行动力学建模时，作Euler-Bernoulli柔性梁假设： ( 1 )只考虑横向振动，忽略其轴向变形和剪切变形等； ( 2 )横向振动为小变形；

( 3 )柔性机器人连杆(梁)的长度远大于其截面尺寸。

设P为任意点，w ( x, t)为Ox轴上离P点t时刻的横向弹性变形。则均匀材料等截面梁弯曲自由振动微分方程为 式中:

ρ为材料密度； A为截面积;

E为材料的弹性模量；

I为柔性机器人连杆的截面惯性矩。 曲自由振动微分方程式(1)的解可表达为： 式中：为对应的模态坐标; 为振型函数。

实际应用中,一般写成如下形式： 式中: N 为所取的前N 阶模态阶数。式中 (i=l，2，…，n) 是相应的广义坐标； n是截断项数。

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所以柔性臂的动能：

在水平面内运动,其势能仅由弹性变形产生。弹性势能为： 根据Hamilton原理，可以得到下列Lagrange方程：

将上述所求得的系统的动能和弹性势能代入Lagrange方程,同时进行线性化处理,可得柔性机器人连杆的动力学模型 则系统动力学方程为：

采用同样的原理可以导出带有末端集中质量的柔性机器人连杆的动力学方程与上式相同，其中有关矩阵元素的表达式变为

采用Rayleigh粘性比例阻尼模型引入系统阻尼，即，式中，α和β为Rayleigh组尼系数。 2数值仿真

设柔性机器人连杆为等截面矩形梁, 其材料为铝， 单杆柔性机器人连杆结构参数：柔性臂密度：2.7×103kg/m3；弹性模量×惯性矩为300N/m2；截面宽为：30mm；截面高为：3.42mm；柔性臂长为1m；端部质量 ：0.1kg；转动惯量 ：0.8kg·m2。柔性臂的一端连接在电机的转轴上，另外一端有集中质量块，柔性臂加载的力矩为τ=1-t(0≤t≤2)。 仿真分析结果如下。

（1）模态截断阶数的影响分析

从理论角度来说，柔性机器人连杆的动力学模型是连续的。实际上，柔性机器人连杆振动的离散化动力学方程，模态阶数取得越多，其结果就越与实际情况相近似，而这在实际应用中是不必要的。仿真结果的差异随着系统模态阶数增加而减小,一阶与其它阶数模态间误差差距较大。为节省计算所造成的资源浪费,同时还要保障误差符合预定的要求,因此，取系统的前3阶模态即可。

结构参数对柔性机器人连杆振动特性的影响：当加载力矩方式不变,改变柔性机器人连杆的结构尺寸。可以看出柔性机器人连杆的动力学特性对截面高度很敏感。适当增加截面高度，可有效抑制柔性机器人连杆的振动。

（3）末端集中质量对柔性机器人连杆振动的影响：当加载的力矩不变，连杆材料和结构参数不变，当集中质量后，柔性机器人连杆的弹性变形增大，振动加剧，集中质量越大，柔性机器人连杆的振动越大。

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结语

柔性机器人由于其连杆弹性变形，容易产生高频弹性振动，且其末端运动往往偏离较大。性机器人连杆的弹性振动问题，首先利用假设模态法和Lagrange方程建立单个柔性连杆的动力学方程，然后进行数值仿真，分析连杆机构参数以及末端集中质量等对其振动的影响。柔性机器人连杆取一阶弹性模态与截取三阶弹性模态，当加载的力矩不变，连杆材料和结构参数不变时，仿真得到了末端集中质量对柔性机器人连杆的弹性变形发生变化，集中质量越大，连杆振动越剧烈。 参考文献

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