[第52讲 曲线与方程]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
2222
1．与两圆x＋y＝1及x＋y－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上
2．[2013·北京朝阳区一模] 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率e＝其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为( )
A.－y＝1 B.－＝1 223
C.－y＝1 D．x－y＝1 4
3．已知点O(0，0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是( )
22
A．8x＋8y＋2x－4y－5＝0
22
B．8x＋8y－2x－4y－5＝0
22
C．8x＋8y＋2x＋4y－5＝0
22
D．8x＋8y－2x＋4y－5＝0
4．[2013·皖北协作区联考] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，AM＝18，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到M的距离的平方差为，39则P点的轨迹是________．
能力提升
5．已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是( )
A.B.
＋＝1 169＋＝1 1612
6，2
x2x2
2
x2y2
2
22
x2x2
y2
y2
C.＋＝1 43
D.＋＝1 34
6．[2013·德州模拟] 已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满→→→→
足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程是( )
x2y2x2y2
A．y＝8x B．y＝－8x
22
C．y＝4x D．y＝－4x
→→x7．已知两定点A(1，1)，B(－1，－1)，动点P(x，y)满足PA·PB＝，则点P的轨迹
2
是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．拋物线
8．[2013·南平适应性测试] 已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A．x－＝1(x<－1)
8B．x－＝1(x>1)
8C．x＋＝1(x>0)
8
D．x－＝1(x>1)
10
9．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A．y－＝1(y≤－1)
48B．y－＝1
48C．y－＝－1
48D．x－＝1
48
→→
10．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点．若2OQ＝QP，则点Q的轨迹方程是________．
11．F1，F2为椭圆＋＝1的左，右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外
43
角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．
2
12．设过抛物线y＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是________．
13．[2013·北京卷] 曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等
2
于常数a(a＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
12
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a.
2
其中，所有正确结论的序号是________．
14．(10分)[2013·安徽卷] 如图K52－1，设λ>0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛
→→2
物线y＝x上运动，点Q满足BQ＝λQA，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P→→
满足QM＝λMP，求点P的轨迹方程．
22222222
2
2
2
y2y2y2
y2
x2x2x2y2
x2y2
图K52－1
x2y2
15．(13分)[2013·茂名二模] 如图K52－2，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点
ab1a2
分别是F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为，椭圆上的动点P到直线l：x＝的最小距离为2，
2c→→→
延长F2P至Q使得|F2Q|＝2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足PT·TF1＝0.
(1)求椭圆的方程；
(2)求点T的轨迹C的方程；
a2
(3)求证：过直线l：x＝上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两
c切点的直线经过定点．
图K52－2
难点突破
16．(12分)已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－y－22＝0相切． (1)求圆的标准方程；
→→→
(2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足OQ＝mOA＋(1－m)ON(其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程C2；
3
(3)在(2)的结论下，当m＝时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B，D2
两点，求△OBD面积的最大值．
课时作业(五十二)
【基础热身】
22
1．B [解析] 圆x＋y－8x＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)减去到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．
x2y2
2．A [解析] 设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，双曲线的焦距为2c，双曲线的渐
abc6|bc|
近线方程为bx±ay＝0.根据已知＝，22＝1，解得b＝1，a＝2，c＝3，故所求
a2a＋b2x2
的双曲线方程是－y＝1.
2
3．A [解析] 设P点的坐标为(x，y)，则（x－1）＋（y＋2）＝3x＋y，整理，22
得8x＋8y＋2x－4y－5＝0.
2
2
2
2
4．抛物线 [解析] 如图．以点A为坐标原点建立直角坐标系，设P(x，y)，则P到A1D1
122122822
的距离为1＋x，P到点M的距离为x－3＋y，根据已知得1＋x－x－3－y＝9，
22
化简即得y＝x，故点P的轨迹为抛物线．
3
【能力提升】
5．C [解析] 由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知|PF1|＋|PF2|＝4，故动点P的轨迹是以定点F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为＋＝1.
43
→→→→22
6．B [解析] 根据|MN|·|MP|＋MN·NP＝0得4（x＋2）＋y＋4(x－2)＝0，即(x2222
＋2)＋y＝(x－2)，即y＝－8x.
→→
7．B [解析] 点P(x，y)，则PA＝(1－x，1－y)，PB＝(－1－x，－1－y)．
→→22
所以PA·PB＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x＋y－2. 由已知x＋y－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆，故选B.
242
8．B [解析] 如图，由切线长定理知|AM|＝|MB|，|PD|＝|PA|，|DN|＝|NB|，所以|PM|－|PN|＝|PA|＋|AM|－|PD|－|DN|＝|MB|－|NB|＝2，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去点B)．
2
2
x2y2
x2x2y2
9．A [解析] 由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|， 所以|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.
故F点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c＝7，a＝1，b＝48， 所以轨迹方程为y－＝1(y≤－1)．
48
→
10．2x＋4y＋1＝0 [解析] 设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．根据2OQ→
＝QP得2(x，y)＝(x1－x，y1－y)，
x1＝3x，即 y1＝3y.
∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0，把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y＋1＝0，为所求轨迹方程．
122
11．x＋y＝4 [解析] 延长F1D与F2A交于B，连接DO，可知|DO|＝|F2B|＝2，∴动
2
22
点D的轨迹方程为x＋y＝4.
2
12．y＝2(x－1) [解析] F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则x1＋x2＝2x，
22
y1＋y2＝2y，y1＝4x1，y2＝4x2，后两式相减并将前两式代入得(y1－y2)y＝2(x1－x2)，当x1≠x2时，
y1－y2y1－y2y2
×y＝2，又A，B，M，F四点共线，＝，代入得y＝2(x－1)，当x1＝x1－x2x1－x2x－1
2
x2时，M(1，0)，也适合这个方程，即y＝2(x－1)是所求的轨迹方程．
13．②③ [解析] ①曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a＝1，与条件不符；②曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1||PF2|＝a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|＝a；③三角形的面积S△F1F2P2≤，很显然S2
2
11a△F1F2P＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝.所以②③正确．
222
→→
14．解：由QM＝λMP知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设
P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，则y0＝(1＋λ)x2－λy.①
→→
再设B(x1，y1)，由BQ＝λQA，即(x－x1.y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，解得x1＝（1＋λ）x－λ，② y＝（1＋λ）y－λ.01
x1＝（1＋λ）x－λ，
将①式代入②式，消去y0，得③ 22
y1＝（1＋λ）x－λ（1＋λ）y－λ.
222
又点B在抛物线y＝x上，所以y1＝x1，再将③式代入y1＝x1，得
222
(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ＝((1＋λ)x－λ)，
22222
(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)x－2λ(1＋λ)x＋λ， 2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.
因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0. 故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.
c1＝，a2
15．解：(1)依题意得2
a－a＝2，
2
2
2
x2
a2
cc＝1，x2y2222
解得∴b＝a－c＝3，所求椭圆方程为＋＝1.
43a＝2，
(2)方法一：设点T的坐标为(x，y)．
当P，T重合时，点T坐标为(2，0)和点(－2，0)，
→→→→
当P，T不重合时，由PT·TF1＝0，得PT⊥TF1.
→→→→→→
由|F2Q|＝2a＝4及椭圆的定义，|PQ|＝|QF2|－|PF2|＝2a－|PF2|＝|PF1|， 所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点．
1→→
在△QF1F2中，|OT|＝|F2Q|＝a＝2，
2
22
所以有x＋y＝4.
22
综上所述，点T的轨迹C的方程是x＋y＝4. 方法二：设点T的坐标为(x，y)．
当P，T重合时，点T坐标为(2，0)和点(－2，0)，
→→→→
当P，T不重合时，由PT·TF1＝0，得PT⊥TF1.
→→→→→→
由|F2Q|＝2a＝4及椭圆的定义，|PQ|＝|QF2|－|PF2|＝2a－|PF2|＝|PF1|， 所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点．
x′－1x＝，
2
设点Q的坐标为(x′，y′)，则
y′y＝，2
x′＝2x＋1，因此①
y′＝2y.→22
由|F2Q|＝2a＝4，得(x′－1)＋y′＝16，②
22
将①代入②，可得x＋y＝4.
22
综上所述，点T的轨迹C的方程为x＋y＝4.③
a222
(3)直线l：x＝＝4与x＋y＝4相离，
c22
过直线上任意一点M(4，t)可作圆x＋y＝4的两条切线ME，MF， 所以OE⊥ME，OF⊥MF，
所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，
tt其方程(x－2)＋y－＝4＋.④ 22
2
22
EF为两圆的公共弦，③－④得EF的方程为4x＋ty－4＝0，
显然无论t为何值，直线EF经过定点(1，0)．
【难点突破】
|－22|
16．解：(1)设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则d＝2＝2，圆C1的方2
1＋1
22
程为x＋y＝4.
(2)设动点Q(x，y)，A(x0，y0)，AN⊥x轴于N，N(x0，0)，
x＝x0，
由题意，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)(x0，0)，所以
y＝my0，
x0＝x，1x2y222即1将Ax，my代入x＋y＝4，得＋2＝1.
44my0＝y，
m3xy(3)m＝时，曲线C方程为＋＝1，设直线l的方程为y＝－x＋b，
243设直线l与椭圆＋＝1交点为B(x1，y1)，D(x2，y2)，
43
y＝－x＋b，22
联立方程2得7x－8bx＋4b－12＝0， 2
3x＋4y＝12，
22
x2y2
8b4b－12
因为Δ＝48(7－b)>0，解得b<7，且x1＋x2＝，x1x2＝.
77
2
2
2
∵点O到直线l的距离d＝|b|4622
，BD＝2（x1＋x2）－4x1x2＝7－b，∴S△OBD＝
72
1|b|4623272
··7－b＝b（7－b2）≤3当且仅当b2＝7－b2即b2＝<7时取到最大值，27722∴△OBD面积的最大值为3.
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