高阶常系数齐次线性方程通解之初等证明

第１７卷第１期　２０１４年１月　膏等数学研究　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．１７，Ｎ０．１　Ｊａｎ．，２０１４　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８—１３９９．２０１４．０１．０１１　高阶常系数齐次线性方程通解之初等证明　刘妙华　（空军工程大学理学院，陕西西安７１００５１）　摘　要　利用初等方法可证明，在特征方程具有重根时，高阶常系数齐次线性微分方程对应的通解形式．　关键词　常系数；齐次线性微分方程；通解　中圈分类号　Ｏ１７５一　文献标识码　Ａ　文章编号　１００８—１３９９（２０１４）０１—００４２—０２　Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ａｐｐｒｏａｃｈ　ｏｆ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｏｒｄｅｒ　Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ＬＤＥ　ｗｉｔｈ　Ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｏ　ＬＩＵ　Ｍｉａｏｈｕａ　ｃｉｅｎｔｓ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ａｉｒ　Ｆｏｒｃｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ　７１００５１，ＰＲＣ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｍｅｔｈｏｄ，ｗｅ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ａ　ｈｉｇｈｅｒ　ｏｒｄｅｒ　ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ＬＤＥ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ｗｈｅｎ　ｉｔｓ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｈａｓ　ｒｅｐｅａｔｅｄ　ｒｏｏｔｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｇｅｎｅｒａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　在高等数学课本中［１　］，首先讨论二阶常系数　齐次线性微分方程的通解，主要利用的是特征根法．　然后类似给出ｎ阶系数常系数齐次线性微分方程通　解的形式，本文主要给出有重根是通解形式的证明．　首先回顾二阶常系数齐次线性方程的通解形　ｒｌ—ａ＋ｉ卢，ｒ２一口一ｉ卢，　那么方程（１）有通解　Ｙ—ｅ　（Ｃ１　ＣＯＳ　＋Ｃ２　ｓｉｎ　）．　若ｒ　和ｒ。为两个相等实根，即　ｒ　一ｒｚ一式．设二阶常系数齐次线性方程　＋　＋ｑＹ一０，　（１）　号，　那么方程（１）有通解　Ｙ一（Ｃ１＋Ｃ２ｚ）ｅ　．　其中Ｐ，ｑ为常数．注意到指数函数Ｙ—ｅ　和它的各　阶导数都只相差一个常数因子这个特点，因此我们　想是否适当的选取待定常数ｒ，指数函数Ｙ：ｅ　有　可能是（１）方程的解，于是将其代人方程，得　（ｒ。＋　＋ｑ）ｅ　一０．　以上是利用常系数齐次线性方程的特征方程的　特征根确定其通解的方法，称为特征根方法．　对于　阶常系数齐次线性方程　Ｙ‘　＋Ｐ１Ｙ‘　＋…＋　１Ｙ　＋Ｐ　Ｙ一０，　（３）　因ｅ　≠０，故有　ｒ　＋　＋ｑ＝＝＝０．　（２）　它的特征方程为　＋ｐ１　＋…＋　，ｒ１　ｒ＋Ｐ　一０，　（４）　方程（２）称为方程（１）的特征方程，其根ｒ　和ｒ　为特　征根．若ｒ　和ｒ　为两个不相等的实根，则方程（１）有　通解　Ｙ—Ｃ１ｅｒｌ　＋ｃ２ｅｒ２　，　其特征根也有三种不同情况，下面主要给出重根时　通解中的对应项的形式的证明．　如果有　Ｔ（ｒ）一（ｒ＋等）　一０，　可称方程有二重根ｒ一一要，那么就有　若ｎ和ｒ　为一对共轭复根，即　收稿日期：２０１１－０８－２７；修改日期：２０１３—１２—１８　基金项目：国家科学自然基金资助项目（１１０７１１９４）　作者简介：刘妙华（１９７８－－），女，陕西西安人，硕士，讲师。从事数论及　其应用研究．Ｅｍａｉｌｌｌｌｍｍｈｈ　４１９＠１６３．ｃｏｒｎ　Ｔ（一号）一Ｔ　（一号）一０，　（一号）≠０，　因此给出以下定义．　第１７卷第１期　刘妙华：高阶常系数齐次线性方程通解之初等证明　４３　定义１　ｚ。是，（　）的ｋ重根的充分必要条件是　ｆ（ｘｏ）一／（ｚ０）一…一ｆ‘卜”（ｚｏ）＝０，　∑Ｐ　∑　ｃ　（ｚ）ｒ　ｅ　一　Ｄ（　０）≠０．　、　ｅ　∑　∑　Ｃ∽（　）　一　设方程（４）有ｋ重根ｒ，为表述方便，我们记　Ｔ（ｒ）一　＋Ｐｌｒｎ－－　＋…＋Ｐ　，　ｅ　∑∑Ｐ　ＣＬ　Ｃ　（ｚ）ｒ，ｒ　＝　于是　Ｔ（ｒ）＝Ｔ　（ｒ）一…一Ｔ‘卜　（ｒ）＝０，　ｅ　∑Ｃ　（　）∑Ｐ　ｒ　一　Ｔ‘　（ｒ）≠０．　那么方程（３）的通解中对应项形式应改为　ｅ　奎ｃ　（　）　Ｔｗ丁＿（ｒ）一ｏ．　Ｙ一（Ｃｏ＋Ｃ１Ｘ＋…＋Ｃ卜１ｚ卜　）ｅ　．　又因为　事实上，因为ｒ是方程（３）的ｋ重特征根，那么　Ｔ（ｒ）＝Ｔ　（ｒ）：…一Ｔ　扣　（ｒ）一０，　ｅ　是方程（３）的一个解，还要求出其它ｓ一１个解．不　Ｔ‘　’（ｒ）≠０，　妨使用常数变易法，设解为　所以有　Ｙ—Ｃ（ｚ）ｅ　，　将其代人方程（３），便有　塞ｃ∽ｃｚ　一ｏ，　（Ｃ（ｚ）ｅ　）‘　＋Ｐ１（Ｃ１（ｚ）ｅ　）‘　＋…＋　也即　Ｐ　１（　１（ｚ）ｅ　）　＋Ｐ　（Ｃ（ｚ）ｅ　）一０．　（５）　Ｃ‘　’＝…一Ｃ‘　一０．　也即　因此Ｃ（ｚ）即为如下形式　Ｃ（ｚ）一Ｃｏ＋ＣｌＸ＋…＋Ｃ卜１　卜　，　∑　［一０　ｃ（　）ｅ　］‘　一０（ｐ。一１）．　从而方程（３）有重根时通解中的对应项的形式即为　因为　Ｙ＝（Ｃ０＋Ｃ１ｚ＋…＋Ｃ卜１ＸＪｒ－　）ｅ　．　Ｔ‘ｊ　（ｒ）一　参考文献　，ｒＪ　∑Ｐ　ｓ一０　（，ｌ—ｓ）（　一ｓ—１）…（　一ｓ—　＋１）　广ｊ＝　［１３同济大学数学系．高等数学：下册［Ｍ］．４版．北京：高等　＿Ｊ　∑　！　ｒ一　，　教育出版社，２００２：３７６—３８０．　ｊ＝０　［２３侯云畅，冯有前，刘卫江．高等数学［Ｍ］．２版．北京：高　故由莱布尼兹公式，并交换求和次序可得　等教育出版社，２００９．　ｏ●ｏ●ｏ●＜＞●ｏ●ｏ●＜＞●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●ｏ●‘０＇●ｏ●ｏ●ｏ●　（上接第３Ｏ页）　ｒａｎｋｌ　厂０　Ｅ］　ＬＥ—Ａ　Ａ　Ｊ　ｌ＋ｒａｎｋＩ广ＬＥ＋Ａ　Ａ　　０　Ｅ］　Ｊ　Ｉ一３ｎ．　参考文献　证明　由于Ａ和Ｅ都是数量对合矩阵，故由定　［１］龚和林，舒情．关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推　理２可得　广ｉ－Ｊ］．大学数学，２００９，２５（６）：１２６—１２９．　ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）一ｒａｎｋ『０［２］Ｔｉａｎ　Ｙｏｎｇｇｅ　Ｔ，Ｓｔｙａｎ　Ｇ　Ｐ　Ｈ．Ｒａｎｋ　ｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｆｏｒ　ＬＥ—Ａ　Ａ　　Ｅ］Ｊ　一　，　ｒａｎｋ（Ａ十Ｅ）＝ｒａｎｋ『０　Ｅ］一，ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ　ａｎｄ　ｉｎｖｏｌｕｔａｒｙ　ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ　Ａｌｇｅｂｒａ　ＬＥ＋Ａ　Ａ　Ｊ　２，　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００１（３３５）：１０１－１１７．　又由于Ａ　一Ｅ，由文Ｅｌ－Ｉ中的命题２可得　［３］黄少武，杨忠鹏，晏瑜敏．数量幂等矩阵的一些秩等式　ｒａｎｋ（Ａ—Ｅ）＋ｒａｎｋ（Ａ＋Ｅ）一，ｌ，　－ＩＪ］．广西民族大学学报：自然科学版，２０１０，１６（３）：　于是待证结果成立．　６Ｏ一６６．