数学必修2模块检测题

一、选择题

1．若直线y＝3的倾斜角为α，则α( ) (A)等于0

(B)等于

π 4(C)等于

π 2(D)不存在

2．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心的横坐标为1，则a等于( ) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2

3．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( ) (A)

22 3(B)2

(C)

2 3(D)

42 34．已知直线Ax＋By＋C＝0不通过第一象限，且A，B，C均不为零，则有( ) (A)C＜0 (B)C＞0 (C)BC＞0 (D)BC＜0

5．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )

(A)

4000cm3 3(B)

8000cm3 3(C)2000cm3 (D)4000cm3

6．在圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＝E2＞4F，则( ) (A)圆截两坐标轴所得弦的长度相等 (B)圆与两坐标轴都相切 (C)圆与两坐标轴都相离 (D)上述情况都有可能

7．已知直线m，n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m，n距离相等的点的集合可能是：

①一条直线； ②一个平面； ③一个点； ④空集． 其中正确的是( )． (A)①②③ (B)①②④ (C)①④ (D)②④

22

8．若不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x＋y＝9总有公共点，则b的取值范围是( ) (A)(5,5)

(B)[5,5]

(C)(－2，2)

(D)[－2，2]

二、填空题

9．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a等于______． 10．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是______．

11．将边长为a的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积

为______． 12．已知点P(x，y)在经过A(3，0)、B(1，1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值为______． 13．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面

ABC，AC2r，则球的体积与三棱锥体积之比是______．

14．点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关

系是______． 三、解答题

15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是DD1的中点．

(1)求证：BD1⊥AB1；

(2)求证：BD1∥平面QAC．

16．如图，在三棱锥S－ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O

为BC的中点．

证明：SO⊥平面ABC．

17．已知直线l经过点P(2，－5)，两点A(3，－2)、B(0，6)到直线l的距离之比为1∶2，

求直线l的方程．

18．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，使△ABD和△ACD所在的平面互

相垂直，BC的中点为N．

(1)求证：平面ACD⊥平面BDC； (2)求证：平面ADN⊥平面ABC； (3)求∠CAB的度数．

19．如图，一列载着危重病人的火车从O点所在地出发，沿射线OA行驶，其中tan1，33在距离O地5a(a为正数定值)千米北偏东β角的N地有一位医学专家，其中sin，

5现在110指挥部紧急征调离O地正东p千米的B地的救护车赶往N地载上医学专家全速追赶载有危重病人的火车，并在C地相遇．经测算当两车行驶的路线与OB围成三角形的面积S最小时，抢救最及时． (1)求S关于p的函数关系； (2)当p为何值时，抢救最及时．

20．已知圆C：(x＋4)2＋y2＝4．圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切．圆D与y轴交于A、

B两点，点P(－3，0)，点D(0，3)． (1)求∠APB的正切值；

(2)当点D在y轴上由原来的位置开始向y轴正方向运动时，求∠APB正切值的范围．

测试卷参考答案 数学必修2模块检测题

一、选择题

1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．A 7．B 8．B 提示：

7．提示：设A∈m，B∈n，AB⊥m，则AB⊥n， 设AB中点为O，平面β⊥AB，O∈β，

则平面β为与直线m，n距离相等的点的集合，

以下只需讨论平面β与平面α可能的位置关系即可．

①、②、④是两个平面的可能的位置关系，③是不可能的． 二、填空题

9．－6； 10．2π； 11．提示：

14．提示：点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2内不为圆心的一点，所以0＜x0y0＜a2，又圆心

(0，0)到直线x0x＋y0y＝a的距离为三、解答题 15．

2

2223a； 12．42； 13．4π； 14．相离 12a222x0y0a2aa，所以，直线与圆相离．

证明：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1⊥平面ABB1A1， 所以，A1D1⊥AB1，又AB1⊥A1B，所以AB1⊥平面A1BD1， 所以BD1⊥AB1．

(2)解：连结BD，设AC∩BD＝O，则点O是BD的中点． ∵点Q是DD1的中点，

∴OQ∥BD1．∵OQ平面QAC，BD1平面QAC， ∴BD1∥平面QAC． 16．

证明：由已知，设AB＝AC＝SB＝SC＝SA＝a， 连结OA，△ABC为等腰直角三角形， 所以OAOBOC2a，且AO⊥BC， 2△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC， 又OB22a,SBa，所以，SOa,

22从而OA2＋SO2＝SA2．

所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO． 又AO∩BO＝O.

所以SO⊥平面ABC．

17．解：当过P(2，－5)的直线斜率不存在时，其方程为x＝2，此时，A(3，－2)、B(0，

6)两点距直线的距离分别为1和2，满足题意．

当过P(2，－5)的直线斜率为k时，直线方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0， 由已知A(3，－2)、B(0，6)到直线l的距离之比为1∶2，

所以2|3k22k5|1k2|2k11|1k2，即2|k－3|＝|2k＋11|，解得k5， 4方程为5x＋4y＋10＝0．

综上，所求直线的方程为5x＋4y＋10＝0或x＝2．

18．提示：(1)易证AD⊥DC，AD⊥BD，所以，AD⊥平面BDC，

所以平面ACD⊥平面BDC．

(2)易证△ABC和△DBC均为等腰三角形，所以BC⊥AN，BC⊥DN， 所以，BC⊥平面ADN，所以平面ADN⊥平面ABC． (3)∠CAB＝60°．

19．解：(1)以O为圆点，正北方向为y轴建立直角坐标系，则lOA：y＝3x，

设N(x0，y0)，所以x0＝5asinβ＝3a，y0＝5acosβ＝4a，所以N(3a，4a)，

又B(x，0)，直线BC的方程为：y4a(xp)，

3apy3x,由 4ay(xp),3ap得C点的纵坐标yC12ap5(pa),

3p5a3所以，SOBC16ap25|OB||yC|(pa).

3p5a23(2)由(1)得SOBC6ap22ap25(pa), 3p5a53pa325a210a4025令tpa(t0)，所以，S2a[t]a,

9t3335a10a25a2当且仅当t，即t，此时p，上式取等号，

9t33所以当p10a千米时，抢救最及时． 32220．解：(1)|CD||CO||OD|5，且圆D与圆C外切(O为原点)，

∴圆D半径r＝5－2＝3．此时，A、B坐标分别为(0，0)、(0，6)， PA在x轴上，BP斜率k＝2， ∴tan∠APB＝2．

(2)设D点坐标为(0，a)，圆D半径为r，则(r＋2)2＝16＋a2…①

A、B坐标分别为(0，a－r)、(0，a＋r)．设PA、BP斜率分别为k1，k2，则

k1arar,k2, 33arar6r3tanAPBtan(BPOAPO)3②

arara2r291.33由①解出a2代入②，得tanAPB6r39，而8r－6为单调增函数，

4r328r6由①r∈[3，＋∞)．tanAPB(,2].

32