上海市罗南中学（八年级数学） 钱雪莲
教学目标：
1、使学生进一步理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；
2、使学生会运用根的判别式，能够在不解方程的前提下判别根的情况；能够根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围；以及说明字母系数方程根的情况。提高学生对于根的判别式的运用能力。
教学重点：一元二次方程的根的判别式的应用。
教学难点：1、 对一元二次方程的根的判别式的结论的理解及应用；
2、 运用根的判别式，不遗漏、不重复地列出所解决问题应具备的条件，特别是容易忽略的隐含条件。
教学过程：
一、知识点的复习
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式：Δ=b2-4ac。 2、在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中：
判别式的情况 Δ=b2-4ac﹥0 Δ=b2-4ac=0 Δ=b2-4ac﹤0 Δ=b2-4ac≥0 根的情况 两个不相等的实数根 两个相等实数根 无实数根 两个实数根 两者的关系 Δ＞0 <=>方程有两个不等实数根 Δ=0 <=>方程有两个相等实数根 Δ＜0 <=>方程没有实数根 Δ≥0 <=>方程有两个实数根 二、根的判别式的应用
引出：梳理框架：
一般地，一元二次方程根的判别式有3种应用： 1）不解一元二次方程，判断方程根的情况；
2）已知方程的根的情况确定方程中待定系数的取值范围； 3）说明含有字母系数的方程的根的情况 （一）不解一元二次方程，判断方程根的情况。
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 2x2+3x-4=0 (2) 5(x2+1)-7x=0
说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，进而说明△的正负情况，得出结论。
(二)、已知方程的根的情况确定方程中待定系数的取值范围
1、例2、已知关于x的一元二次方程 ：(m+1)x2-2x+3=0有两个实数根，求m的值。 说明：
1）解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出待定系数的取值范围。
2）当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围。
2、试一试、关于x的一元二次方程(m2 - 1) x2 — 2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围。
（三）说明含有字母系数的方程的根的情况
例3、关于x的方程：x2-(m+2)x+2m-1=0一定有两个不相等的实根吗？为什么？ 说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含有完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从而说明出方程根的情况
小结:对于(二) 已知方程的根的情况确定方程中待定系数的取值范围是已知方程根的情况，
利用根的判别式得到关于待定系数的不等式(或等式)，进而确定待定系数的取值范围；
对于（三）说明字母系数方程根的情况是通过△的情况证明方程根的情况，如果不能直接证明，通常运用配方法把△配成含有完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从而说明出方程根的情况。
三、课堂小结: 谈一谈：通过本节课的学习你都有哪些收获？
四、作业布置：
（一）必做题：
1、若关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+4=0 有实数根，则m的取值范围是 。 2、当k取什么值时，已知关于x的方程：2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根； 3、关于x 的一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0 一定有实数根吗？为什么？ （二）提高题:（选做）
1.已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2 ax=0有两个相等的实数根。请判断ΔABC的形状。
2. 若关于x的方程(m2 — 1) x2 — 2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围。
六、板书设计
一元二次方程根的判别式的复习
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式：Δ=b2-4ac 应用：（一） (一) （三） 例1： 例4 例5 (二)、 例2：
从（二）已知方程的根的情况确定方程中待定系数的取值范围与（三）证明字母系数方程根的情况的解题步骤看它们的区别与联系： （二）（1）计算Δ，并要考虑二次项系数 （2）根据根的情况列不等式或方程 （3）解方程或不等式 （4）结论（字母的取值范围，字母之间的相互关系）， （三）（1）计算Δ （2）用配方法将Δ恒等变形 （3）判断Δ的符号 （4）结论.（原一元二次方程根的情况） 其中难点是Δ的恒等变形。 归纳总结形成解题思路
四、课堂小结
谈一谈：通过本节课的学习你都有哪些收获？ 对于一元二次方程而言:
（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.
一元二次方程根的判别式的应用复习题
班级： 姓名： 应用梳理：
1）不解一元二次方程，判断方程根的情况；
一元二次方程根的判别式 2）已知方程的根的情况确定方程中待定系数的取值范围；
有3种应用： 3）说明含字母系数的方程的根的情况。
1、例2、已知关于x的一元二次方程 ：(m+1)x2-2x+3=0有两个实数根，求m的值。
2、试一试、关于x的一元二次方程(m2 - 1) x2 — 2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围。
3、例3、关于x的方程：x2-(m+2)x+2m-1=0一定有两个不相等的实根吗？为什么？
练习巩固：
（一）必做题：
1、若关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+4=0 有实数根，则m的取值范围是 。
2、当k取什么值时，已知关于x的方程：2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；
3、关于x 的一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0 一定有实数根吗？为什么？
（二）提高题:（选做）
1.已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2 ax=0有两个相等的实数根。请判断ΔABC的形状。
2. 若关于x的方程(m2 — 1) x2 — 2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围。
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