2019届黑龙江省大庆市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.集合A{0,1,2,3,4}，B{x|(x2)(x1)0}，则AB（ ）

A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2,3} C．{0,1,2} D．{0,1}

2.设i是虚数单位，复数

ai1i为纯虚数，则实数a的值为（ ） A．1 B．-1 C．12 D．-2

3.设a12，数列{1an}是以3为公比的等比数列，则a4（ ） A．80 B．81 C．54 D．53

4.已知向量a(1,2)，b(2,m)，若a//b，则|2a3b|等于（ ） A．70 B．35 C．45 D．25 5.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）

A．2cm3 B．3cm3 C．33cm3 D．3cm3

6.执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（ ）

A．4 B．8 C．12 D．16

7.已知l，m，n为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）

A．若m//，n//，则m//n

B．若m，n//，，则mn C．若l，m//，m//，则m//l

D．若m，n，lm，ln，则l

8.直线xy30被圆(x2)2(y2)22截得的弦长等于（ ）

A．6 B．3 C．23 D．6 29.高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，某学校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表，若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（ ）

A．

511243 B． C． D．

51001225x2y21的左焦点，A(1，10.已知F是双曲线4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF||PA|的最小值412为（ ）

A．5 B．543 C．7 D．9

11.函数f定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质： （1）f(x,x)x； （2）f(x,y)f(y,x)；

（3）(xy)f(x,y)yf(x,xy) 则f(12,16)f(16,12)的值是（ ） A．24 B．48 C．64 D．96

2212.已知函数f(x)xsinx(xR)，且f(y2y3)f(x4x1)0，则当y1时，

xy1的

x1取值范围是（ ）

A．[,] B．[0,] C．[,] D．[1,]

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

57447457437313.已知抛物线yax2的准线方程是y1，则a________. 414.已知函数f(x)sin(x)(0,02)的部分图象如图所示，则的值为_______.

15.已知ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为是________.

16.若存在实数a、b使得直线axby1与线段AB（其中A(1,0)，B(2,1)）只有一个公共点，且不等式

3，则这个三角形最小角的正弦值21p2220(ab)(0,)成立，则正实数p的取值范围为________. 对于任意sin2cos22三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知等差数列{an}满足：a37，a5a726，{an}的前n项和为Sn. （Ⅰ）求an和Sn； （Ⅱ）令bn

4*(nN)，求数列{bn}的前n项和Tn. 2an118. （本小题满分12分）已知函数f(x)2sin2x23sinxcosx1. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若x[

19. （本小题满分12分）

某市“时代广场”五一期间举办“时代杯”投掷飞镖比赛，每3人组成一队，每人投掷一次.假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形

,]，求f(x)的最大值和最小值.

63ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数yAsinx的图象）.每队有3人“成功”获一等

奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）.

（Ⅰ）某队员投掷一次“成功”的概率；

（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望.

AB到D，使得20. （本小题满分12分）已知三棱柱在ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长ABBD，平面AACC1A1A11C平面ABB1A1，AC112AA1，

（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF//平面ABB1A 1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值.

21. （本小题满分12分）

4.

x2y2已知椭圆C:221(ab0)，圆Q(x2)2(y2)22的圆心Q在椭圆C上，点P(0,2)到

ab椭圆C的右焦点的距离为6. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，

B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求MAB面积的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数f(x)a(x1)24lnx，aR. （Ⅰ）若a1，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； 2（Ⅱ）若对任意x[1,e]，f(x)1恒成立，求实数a的取值范围.

2019届黑龙江省大庆市高三上学期第一次模拟考试

数学（理）试题参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比

照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影

响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题

1.D 2.A 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D 9.A 10.D 11.D 12.A 二、填空题 13.1 14.三、解答题

17.（本题满分10分）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，

a12d7， ......................2 由a37，a5a726，得：2a110d2633 15. 16.1, 314

（Ⅱ）bn∴Tn144111， 22an1(2n1)1n(n1)nn1111n1． .................10 nn1n1n111122318.（本题满分12分）解：（Ⅰ）f(x)3sin2xcos2x2sin(2x ∴f(x)的最小正周期为T 令2x6) …4

2， ……5 26k，则xk(kZ)， 212k,0),(kZ)； ……6 2125（Ⅱ）∵x[,] ∴2x ..............8

636661∴sin(2x)1 ∴1f(x)2 ..............10

26∴f(x)的对称中心为(∴当x6时，f(x)的最小值为1；当x

6

时，f(x)的最大值为2。 ……12

19.（本题满分12分）解：（）由题意知：S矩形1010100， S阴影25sinxdx200π……….2

记某队员投掷一次 “成功”事件为A，则P(A)S阴影S矩形2011005……….4

（）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4.

1011123121， P(X2)C3， P(X1)C3(1)(1)55125551251481364101，P(X4)C3…….9 P(X3)C(1)2(1)5125512555131032即X分布列为： X 1 2 3 4 P(X) 1 12512 12548 12564 125……10

所以，X的期望EX1

112486417234 ………12 125125125125520.（本题满分12分）解：（1）取AC11的中点G, 连接FG,EG,在A1B1C1中，EG为中位线,

GEA1B1,GE 平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,GE平面ABB1A1,

同理可得GF平面ABB1A1, ................2 又GFGEG,所以平面GEF平面ABB1A1,

EF平面GEF,EF平面ABB1A1. .................4

（2）连接AC1,在AAC11中,

C1A1A4,AC2AA1, 11222所以由余弦定理得AC12AAAC2AAACcosAACAA1AC1,A1AC1是等腰直111111111,AA角三角形,AC1AA1 , .........................6 又因为平面AAC11C平面ABB1A1,平面AAC11C平面ABB1A1AA1,AC1平面ABB1A1,

AB平面ABB1A1,AC1AB, ......................7

又因为侧面ABB1A1,为正方形,AA1,AB,AC1所在直线作为x轴, y轴,z轴建立如1AB, 分别以AA图所示的空间直角坐标系,

设AB1, 则A0,0,0,A,0,0,B11,1,0,C10,0,1,C1,0,1,D0,2,0 11CB12,1,1,CD1,2,1,AC,0,1,,AB,0, .........8 111110,1x1z10设平面A1B1C1的一个法向量为mx1,y1,z1,则mA,令x11,则1C10,mA1B10,即y01y10,z11,

故m1,0,1为平面A1B1C1的一个法向量, ...........9

2x2y2z20 设平面CB1D的一个法向量为nx2,y2,z2,则nCB10,nCD0,即,令x21,

x2yz0222则y21,z23,

故n1,1,3为平面CB1D的一个法向量, ...........10 所以cosm,nmn110113222, 22211mn2113222. ............12 11平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值

21.（本题满分12分）解：（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点Fc,0,PF6,c2, ....1

(2,2)在椭圆C上,22421, ..................2 a2b22x2y21. ..........4 由ab4得a8,b4,,所以椭圆C 的方程为842（Ⅱ）由题意可得l1的斜率不为零, 当l1垂直x轴时,MAB的面积为

1424, ..5 2当l1不垂直x轴时, 设直线l1的方程为：ykx2,则直线l2的方程为：

x2y21122yx2,Ax1,y1,Bx2,y2,由8消去y得12kx42kx40,所以4kykx2x1x242k4, ..........7 ,xx122212k12k24(1k2)(4k21)则AB1kx1x2, ....................8 22k1又圆心Q2,2到l2的距离d121k22得k21, ................9

又MPAB,QMCD,所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离, 设为d2,即

d22k221k22k1k2, .....................10

所以MAB面积

4k4k211k2(4k21)sABd24, .............11

22k21(2k21)2222t3t1113145112令t2k13,,则0,,S44,4, 2t22t283t345综上, MAB面积的取值范围为3,4. ................12

22.（本题满分12分）解：（1）由a1得f(1)=2 ..........1 24f/(x)x1,f/(1)2 ..........................3

x则所求切线方程为y22(x1),即y2x4 ..................4

42(ax2ax2),x0 ................5 （2)f(x)2a(x1)xx/令g(x)ax2ax2。

/当a0时，f(x)40，f(x)在1,e上单调递减， xf(x)maxf(1)01,恒成立，符合题意。 ....................6

当a0时，g(x)ax2ax2，开口向下，对称轴为x/1,且g(0)20， 2所以当x1,e时，g(x)0,f(x)0,f(x)在[1,e]上单调递减，

f(x)maxf(1)01,恒成立，符合题意。 ....................8

2当a0时，g(x)axax2的开口向上，对称轴为x21,g(0)20， 2所以g(x)axax2在（0，）单调递增，故存在唯一x0(0,)，

使得g(x0)0,即f/(x0)0 .........................9

当0xx0时，g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减；当xx0时，g(x)0,f(x)0,f(x)单调递增，

//f(1),f(e). 所以在[1,e]上，f(x)maxman所以4a1f(1)111a.0a得所以 。..................11 ,得,244f(e)1a(e1)4114综上，a得取值范围是(,)。 .....................12